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5.4 求和常用方法（精讲）
考向一 公式法求和
【例1】（2024 嘉兴）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）令
，求数列
的前
项和
．
【一隅三反】
1.（2025·安徽滁州）已知等差数列
的前
项和为
，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
．
2．（2025·陕西）在等差数列
中，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
考向二 裂项相消求和
【例2-1】（2025·四川成都·模拟预测）已知数列
的首项
，且满足
．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)记
，数列
的前n 项和
，证明：
．
【例2-2】（2025 高三·全国·专题练习）已知递增等比数列
中，
，设
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前
项和
．
【例2-3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知各项都是正数的数列
，其前
项和为
，
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求证：
.
【例2-4】（2025·陕西渭南·二模）已知等差数列
满足
是关于
的方程
的两个根.
(1)求
.
(2)求数列
的通项公式.
(3)设
，求数列
的前
项和
.
【一隅三反】
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列
的首项为
，前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知
，记数列
的前
项和为
，求证：
．
2．（2025·河北保定·一模）记数列
的前n 项和为
，已知
，
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求数列
的前n 项和
.
3．（24-25 黑龙江）已知数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
4．（2025·福建龙岩·二模）已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
考向三 错位相加法求和
【例3-1】（2025·海南·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列
的前
项和为
，
，数列
为等比数列，首项
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【一隅三反】
1．（2025·海南·模拟预测）已知数列
的前
项和
，数列
是首项为
的等比数列，且有
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
求数列
的前
项和
．
2．（2025·辽宁盘锦·三模）已知数列
的前
项和为
，其中
，
．
(1)求
的值以及数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
3．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列
是等差数列，且
，数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
考向四 分组转化求和
【例4-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且满足：
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前
项和
．
【例4-2】（2025·云南玉溪·模拟预测）设
是等差数列，
是等比数列，
，且
.
(1)求
与
的通项公式；
(2)设
，求
的前
项和
．
【例4-3】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知
为公差不为零的等差数列，
，记
、
分
别为数列
、
的前
项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前
项和
．
【一隅三反】
1．（2025 河北沧州·阶段练习）已知数列
是由正数组成的等比数列，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
满足
，求数列
的前
项和
．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
是等差数列，
是各项都为正数的等比数列，且
，
，
，
.
(1)求
，
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
3．（2025·浙江嘉兴·三模）记
为数列
的前
项和，已知
，
，数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，若对任意
，
，求实数
的取值范围.
考向五 奇偶并项求和
【例5】（24-25 高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知数列
的首项为
，且满足
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求数列
的前
项和为
；
(3)求数列
的前
项和.
【一隅三反】
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）数列
的前2025 项和为（ ）
A．1012
B．
C．1013
D．
2．（2025·江苏）已知数列
的前
项和
，其中
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前2023 项和
.
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知在正项数列
中，
，且
成等差数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前
项和
.
考向六 其他方法求和
【例6-1】（2028 河南）已知
，
．
【例6-2】（2025·广东广州·三模）已知数列
满足
，且对任意的
，都有
.
(1)设
，求数列
的通项公式；
(2)数列
表示不超过
的最大整数，求
的前350 项和
.
【例6-3】（2025·广东广州·三模）已知公差不为零的等差数列
和等比数列
满足
，且
成等比数列，
成等差数列.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)令
，去掉数列
中的第
项
，余下的项顺序不变，构成新数列
，写出数列
的前4
项并求
的前
项和
；
【一隅三反】
1．（2025 江苏常州·期中）已知函数
，仿照等差数列求和公式的推导方法，化简：
．
2．（2025·河南·二模）记
为正项数列
的前
项积，且
，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)
表示不超过
的最大整数，如
，
，设
，求数列
的前
项和.
3．（2025·湖南常德·模拟预测）记
为数列
的前
项和，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差
为的等差数列，求数列
的前2025 项和.
4．（2025·天津滨海新·三模）已知等差数列
与正项等比数列
满足：
，
．
(1)求
、
通项公式；
(2)若对数列
、
，在
与
之间插入
个
，组成一个新数列
，求数列
前100 项和
；
(3)若
（其中
），证明：
．
