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4.3 三角函数的性质（精讲）
考向一 周期
【例1-1】（2025·吉林·模拟预测）函数
的最小正周期为
【例1-2】（2025·湖北十堰·三模）函数
的最小正周期为 ．
【例1-3】（24-2 云南 ）（多选）下列四个函数中，以
为周期，且在区间
上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025·河南·模拟预测）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·陕西渭南·二模）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三下·甘肃白银·阶段练习）现给出四个函数①
，②
，③
，④
，其中所有周期函数的序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．①②④
D．①②③④
4．（2025·贵州毕节·二模）已知函数
，且
的最小值为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
考向二 单调性
【例2-1】（2025·陕西汉中·二模）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-2】（2025·重庆·模拟预测）下列四个函数中，以
为最小正周期，且在
上是减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
在区间
内单调递增，则
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025·云南昆明·一模）下列函数中，最小正周期为
，且在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三下·上海青浦·阶段练习）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．
在
上单调递减
C．
在
上单调递增
D．
在
上单调递增
3 ．（2025·内蒙古包头·二模）已知
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向三 奇偶性
【例3-1】（2025·湖北鄂州·一模）将函数
向右平移
个单位后，所得的函数
为
奇函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-2】（2025·山东聊城·模拟预测）若
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【一隅三反】
1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数
，且
是偶函数，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．2
2．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数
，则“
是函数
为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2024·四川乐山·三模）已知
，若存在常数
，使得
为奇函数，则
的可能
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向四 伸缩平移
【例4-1】（2025·湖北·二模）函数
的图象向右平移
个单位长度后，其图象
关于
轴对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-2】（2025·山西太原·一模）将函数
的图象先向左平移
个单位，再向上
平移1 个单位后，所得的图象经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025·江苏南京·二模）把函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），再将图象
上所有的点向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
.
2．（2025·安徽安庆·二模）若将函数
的图象向右平移
个单位，所得图象关于原点成中心
对称，则
的最小正值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖南·模拟预测）函数
的图象可以由（ ）
A．
的图象向右平移
个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）得到
B．
的图象向左平移
个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）得到
C．
的图象上各点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），再向右平移
个单位长度得到
D．
的图象上各点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位长度得到
4 ．（24-25 辽宁大连·阶段练习）已知函数
的部分图象如图所示，将
的图象
向左平移
个单位长度，再把所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2 倍，得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．0
5．（2025·辽宁·一模）若函数
的图象向右平移
个单位后得到函数
的图象，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向五 最值
【例5-1】（2025·贵州·二模）函数
的最大值为（ ）
A．4
B．7
C．
D．15
【例5-2】（2025·河北·模拟预测）函数
在
上的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-3】（2025·云南）若函数
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【例5-4】（2025·宁夏吴忠·一模）函数
的最小值为（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
【例5-5】（2024·江西上饶·一模）函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-6】（2025·甘肃甘南·模拟预测）函数
的最小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【例5-7】（2024·广西桂林·三模）已知函数
在
上有最小值没有最大
值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（23-24 上海奉贤·期中）函数
的值域为 ．
2．（24-25 湖北）设当
时，函数
取得最大值，则
.
3．（2025·湖南·三模）若函数
是奇函数，则函数
在
上的最大
值是 .
4．（24-25 山东烟台·期中）若函数
在
上的最小值为
，则t 的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三下·广东茂名·阶段练习）已知函数
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·河南·二模）若函数
在区间
内没有最小值，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向六 函数性质的综合应用
【例6-1】（2025·河南郑州·三模）（多选）函数
，则下列关于
的说法中正确的
是（ ）
A．最小正周期是
B．最大值是2
C．是区间
上的增函数
D．图象关于点
中心对称
【例6-2】（2025·甘肃·模拟预测）（多选）已知函数
的部分图象
如图，则（ ）
A．
B．
C．函数
的图象关于点
对称
D．函数
在区间
上单调递增
【例6-3】（2025·河南南阳·模拟预测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
的值域为
C．不存在
，使得
D．
在区间
上单调递减
【例6-4】（2025·广东佛山·二模）（多选）已知函数
，则
（ ）
A．最小正周期为
B．是奇函数
C．在
上单调递增
D．最大值为1
【一隅三反】
1．（2025·河南安阳·三模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的值域是
B．
C．
在区间
上单调递增
D．
是奇函数
2．（2025·河南·二模）（多选）已知如图是函数
，（
，
）的部分图象，
则（ ）
A．
的图象关于
中心对称
B．
在
单调递增
C．
在点
处的切线方程为
D．
的图象向左平移
个单位长度后为偶函数
3．（2025·山东日照·二模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
是偶函数
B．
的最小正周期是π
C．
的值域为
D．
在
上单调递增
考向七 零点或交点
【例7-1】（2025·甘肃金昌·二模）函数
与
的图象在区间
上的交点个数为（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
【例7-2】．（2025·山东·模拟预测）某导航通讯的信号可以用函数
近似模拟，若方程
在
上有3 个根，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025·河北·二模）已知函数
满足
恒成立，则当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知函数
，则此函数在区间
内零点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数
，记方程
在
上
的根从小到大依次为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数
，若
在区间
上有且
仅有一个零点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
考向八 ω 的求法
【例8-1】（24-25 高三下·重庆·阶段练习）记函数
的最小正周期为T．若
，且
对
恒成立，则
最小值为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．9
【例8-2】（2025·甘肃金昌·二模）已知
，函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象
B．若将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，则实数
的最小值为
C．若
在区间
上单调递增，则
的取值范围为
D．若
在区间
上只有一个零点，则
的取值范围为
【一隅三反】
1．（24-25 四川南充·期中）已知函数
的最大值为2，若
在
区间
上有2 个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·全国·模拟预测）已知函数
在
上恰好有一个零点，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·山西吕梁·一模）（多选）已知
，若对
，使得
成立，若
在区间
上的值域为
，则实数
的值可能是
（ ）
A．
B．1
C．
D．
4．（2025·辽宁·模拟预测）设
，已知函数
在区间
内恰有2025 个零点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
