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4.4 正余弦定理（精讲）
考向一 边角互换
【例1-1】（24-25 广东东莞）在
中，角
的对边为
，已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-2】（2025·福建福州·模拟预测）已知
分别为
的三个内角
的对边，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-3】（2025·湖南·三模）在
中，角
的对边分别为
，若
.则角
的大
小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-4】（2025·浙江·模拟预测）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-5】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知
的内角
的对边分别为
，若
，
，则角
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025·福建泉州·模拟预测）已知
分别为
三个内角
的对边，
，且
，则
2.（2025 高三·全国·专题练习）记
的内角
的对边分别为
，若
，则
．
3．（2025·河南·模拟预测）在
中，内角
所对边分别为
，若
，则
.
4．（2024·四川攀枝花·二模）
的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，且
，则
．
5．（2025·福建泉州·模拟预测）
的内角
的对边分别为
，且
.
则角
=
6．（2025·甘肃定西·模拟预测）记
的内角
所对的边分别为
，已知
，则B=
考向二 判断三角形的形状
【例2-1】（24-25 江苏无锡·期中）已知
的内角
所对的边分别为
，若
，则
的形状为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
【例2-2】（24-25 湖北·期中）设
的面积为，角
所对的边分别为
，且
，若
，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【例2-3】（24-25 安徽芜湖·期中）在
中，若
，且
，那么
一定
是（ ）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等边三角形
【一隅三反】
1．（2025·内蒙古赤峰·三模）在
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
，
，则
的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不确定的
2．（2024·河北秦皇岛·三模）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，
，则
（ ）
A．
为直角三角形
B．
为锐角三角形
C．
为钝角三角形
D．
的形状无法确定
3．（2024·陕西渭南·三模）已知
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，若
，且
，则
是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
4．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知
的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，满足
，
且
，则
的形状为（ ）
A．等边三角形
B．顶角为
的等腰三角形
C．顶角为
的等腰三角形
D．等腰直角三角形
5．（23-24 浙江·期中）（多选）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是
（ ）
A．若
，则
是直角三角形
B．若
，则
是锐角三角形
C．若
，则
是等腰三角形
D．若
，则
是等边三角形
考向三 三角形的外接圆
【例3-1】（2025 河南）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，且
，则该三角形外接圆的半径为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【例3-2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，且
，则
的外接圆的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·广东肇庆·一模）在
中，
，
，分别是角
，
，
的对边，
，
，
，则
的外接圆半径是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三上·江苏徐州·阶段练习）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
，则
外接圆的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知
的内角
所对的边分别为
，若
，函数
的最小值为
，则
的外接圆的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向四 三角形的面积公式
【例4-1】（2025·山西·三模）在
中，
，
，
，则
的面积是（ ）
A．
B．
C．3
D．12
【例4-2】（2024·贵州 ）在锐角三角形
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
，
，
，则
的面积为______.
【一隅三反】
1．（2025·湖南邵阳·三模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，．已知
，
，
且
，则此
的面积为（ ）
A．176
B．88
C．44
D．22
2．（2025·广东广州·三模）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，则
的面积为 ．
3．（2025·北京昌平·二模）在
中，
为锐角，
．
(1)求
；
(2)若
，求
的面积．
考向五 三角形个数的判断
【例5-1】（2025·江西·二模）在
中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【例5-2】（2025·四川达州·模拟预测）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，.下列条件中能使
唯一确定的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【例5-3】（2025·河北秦皇岛·一模）已知
的内角
的对边分别为
，且满足
的三
角形有两个，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025 河南）在
中，内角
所对的边分别为
，则下列条件能确定三角形有两解的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·湖北·模拟预测）在
中，已知
，
，
，若存在两个这样的三角形
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知
的内角A，B，C 的对边分别为
，则能使同时满足条件
的三角形不唯一的a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向六 正余弦定理在几何中的应用
【例6-1】（2025·福建泉州·模拟预测）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
且
．
(1)求
；
(2)如图所示，
为
外一点，
，
，
，求
．
【例6-2】（2025·湖北·模拟预测）已知
的角A，B，C 所对的边为a，b，c，且
，
，
延长
到点D.
(1)若
，求
的长；
(2)若
，
，求
的长.
【一隅三反】
1．（2025·河南许昌·三模）（多选）如图，在平面四边形
中，
，
，
，
.则下列结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
中
边上高的长度为
2.（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面四边形
中，
，
，
，
，
，
，求：
(1)四边形
的面积；
(2)
的值；
(3)
的面积.
3．（2024·北京大兴·三模）如图，平面四边形
中，对角线
与
相交于点
，
，
，
，
.
(1)求
的面积；
(2)求
的值及
的长度.
考向七 正余弦定理在实际生活中的应用
【例7】（24-25 湖北武汉·期中）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临
万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度
，在黄鹤楼的正东方向找
到一座建筑物
，高约为
，在地面上点
处（
，
，
三点共线）测得建筑物顶部
，黄鹤楼顶部
的仰角分别为30°和45°，在
处测得楼顶部
的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（24-25 重庆·阶段练习）2025 年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人
的记忆．剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首
座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，
D（其中A，B，C，D 四点在同一个铅垂平面内），在点C 处测得点A 的仰角为
，在点D 处测得点A，B 的
仰角分别为
，
，测得
，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ）
A．68m
B．70m
C．72m
D．74m
2．（24-25 高三下·山东·开学考试）墙上挂着一幅高为1m 的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地
面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B 与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B 与摄像机在同一竖直
平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意
移动时，最佳视角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591 年），因鸿雁南北迁徙时常
在境内停留而得名.1983 年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限
制，分别选择C 点和一建筑物DE 的楼顶E 为测量观测点，已知点A 为塔底，
在水平地面上，来雁塔
AB 和建筑物DE 均垂直于地面（如图所示）.测得
，在C 点处测得E 点的仰角为30°，在E
点处测得B 点的仰角为60°，则来雁塔AB 的高度约为（ ）（
，精确到
）
A．
B．
C．
D．
考向八 三角形中周长与面积的最值
【例8-1】（2025·宁夏石嘴山·三模）在
中，
.
(1)求
；
(2)若
，求
的周长的最大值.
【例8-2】（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角C 的大小；
(2)若
，求
周长的取值范围．
【例8-3】（2025·新疆喀什·模拟预测）
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围．
【一隅三反】
1．（2025·广东·模拟预测）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
.
(1)求A；
(2)若
，求
周长的取值范围.
2．（2025·重庆·模拟预测）已知锐角
的内角
的对边分别为
，且
成等
差数列.
(1)若
，求
面积的最大值；
(2)若
，求
周长的取值范围.
3．（23-24 辽宁·期中）已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期及其单调递增区间，
(2)若
为锐角
的内角，且
，求
面积的取值范围．
考向九 三角形的中线、角平分线与高
【例9-1】（2025·江西·二模）在
中，内角
所对的边分别是
，已知
.
(1)求角
；
(2)已知角
的平分线与边
相交于点
，且
，求
的面积.
【例9-2】（2025·河北石家庄·三模）设
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，且
，求
边上中线
的长．
【例4-3】（2025·河南郑州·一模）记
的内角A，B，C 的对边为a，b，c，已知
，
(1)求
(2)设
，求
边上的高.
【一隅三反】
1.（2025·辽宁沈阳·一模）
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
的平分线交
于点
，
为
的中线．若
，
，
．
(1)求
的长；
(2)求
的长.
2.（24-25 贵州·阶段练习）
的内角
，
，
的对边分别是
，
，，
，
，____________.
(1)若在横线处填入
，求
；
(2)给出两个条件：
①内角
的平分线长为
；
②BC 边上的中线长为
.
从条件①②中选择一个填入横线，求
的面积.（若选择①②分别作答，则按选择①给分）.
3.（2025·湖北武汉·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)在
边上存在一点
，使得
，连接
，若
的面积为
的平分线交
于
点，
求
的值．
4．（2025·四川·模拟预测）在
中，内角
的对边分别为
的面积满足：
(1)求
；
(2)若
平分
，且
，求．
考向十 三角形的取值范围
【例10-1】（2025·吉林·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
，且
，
.
(1)若
，求
的周长；
(2)若
内切圆，外接圆的半径分别为
，求
的取值范围.
【例10-2】（2025·江苏·模拟预测）在
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、，且
.
(1)求角
；
(2)若
是锐角三角形，且
，求
的取值范围.
【例10-3】（2025·辽宁·二模）已知锐角
，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，
．
(1)求
；
(2)求
的取值范围．
【一隅三反】
1．（2025·黑龙江·二模）记
中，内角
所对的边分别为
.已知
.
(1)求
；
(2)若
，求
的最大值.
2．（2024·广东·模拟预测）在
中，角
的对边分别是
，且
．
(1)证明：
．
(2)若
是锐角三角形，求
的取值范围．
3（2025·新疆喀什·二模）记
的内角
所对的边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
的取值范围．
4．（2025 山东枣庄·期中）
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知
.
(1)求
的值；
(2)若BD 是
的角平分线.
（i）证明：
；
（ii）若
，求
的最大值.
