文档文本内容
第14 讲 导数的概念与运算 · 讲义
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
知识点一：导数的概念和几何性质......................................................................................2
知识点二：导数的运算..........................................................................................................2
三、典题精练......................................................................................................................................3
考点一：导数的概念与物理意义..........................................................................................3
考点二：导数的运算..............................................................................................................4
考点三：导数的几何意义......................................................................................................5
考点四：牛顿迭代法（拓展）..............................................................................................7
四、高考真题......................................................................................................................................8
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份
题号与题型
分值
考察类型
考察内容与方式
2026
第4 题 单选
5 分
直接
导数的几何意义，求曲线在某点处的切线方程
2026
第6 题 单选
5 分
间接
利用导数求函数的最值
2025
第12 题 填
空
5 分
直接
导数的几何意义，已知切线求参数
2025
第16 题 解
答
15 分
直接
导数的运算，多项式求导与数列结合
2025
第19 题 解
答
17 分
间接
利用导数研究三角函数的单调性与最值
2024
第6 题 单选
5 分
间接
利用导数研究分段函数的单调性
2024
第10 题 多
选
6 分
间接
利用导数研究函数的单调性与极值
2024
第13 题 填
空
5 分
直接
导数的几何意义，求两曲线的公切线
2024
第18 题 解
答
17 分
间接
利用导数研究函数的单调性、最值及恒成立问题
近三年全国一卷中，对导数的概念与运算的直接考查主要集中在导数的几何意义（切
线问题）和导数运算上，常以单选题或填空题形式出现.同时，导数运算作为工具，在解
答题中被广泛间接考查，是解决压轴题的必备技能.
2. 命题角度与特色
核心考点：导数的几何意义（切线方程、公切线问题、已知切线求参数）是高考高频
考点，常在客观题中直接考查.导数的运算则是解决所有导数应用题的基础.
命题趋势：基础题型以切线问题为主，难度中等，侧重考查“在某点处”与“过某
点”的切线区别，以及公切线问题.导数运算常与数列、三角函数等其他知识交汇考查.
试题特点：切线问题常结合指数函数、对数函数进行考查，要求熟练掌握基本初等函
数的导数公式.解答题中的导数应用题则对导数运算的准确性提出了极高要求.
3. 备考策略
· 熟练掌握基本初等函数的导数公式及四则运算法则，确保求导过程准确无误.
· 深刻理解导数的几何意义，牢记“切点既在曲线上，又在切线上”这一核心条件，
熟练处理“在点处”和“过某点”的切线问题.
· 掌握公切线问题的通法，即“双切点法”，通过设出两个切点构建方程组求解.
二、知识清单
知识点一：导数的概念和几何性质
1. 概念
函数f ( x)在x = x0处瞬时变化率是lim ¿Δ x→0
Δ y
Δ x =lim ¿Δ x→0
f ( x0+ Δ x)- f ( x0)
Δ x
¿¿，我们
称它为函数y = f ( x)在x = x0处的导数，记作f
'( x0)或y
'|x = x0.
知识点诠释：
①增量Δ x可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0. Δ x→0的意义：Δ x与0之间
距离要多近有多近，即| Δ x -0|可以小于给定的任意小的正数；
②当Δ x→0时，Δ y在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在
一个常数与Δ y
Δ x = f ( x0+ Δ x)- f ( x0)
Δ x
无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即
是位移在这一时刻的瞬间变化率，即f
'( x0)=lim ¿Δ x→0
Δ y
Δ x =lim ¿Δ x→0
f ( x0+ Δ x)- f ( x0)
Δ x
¿¿.
【易错提醒】利用导数定义求极限时，必须严格保证函数值之差中的自变量增量与分母上
的增量在形式上完全一致.
2. 几何意义
函数y = f ( x)在x = x0处的导数f
'( x0)的几何意义即为函数y = f ( x)在点P( x0, y0)处的切
线的斜率.
3. 物理意义
函数s= s(t )在点t0处的导数s
'(t0)是物体在t0时刻的瞬时速度v，即v = s
'(t0)；v = v(t )在
点t0的导数v
'(t0)是物体在t0时刻的瞬时加速度a，即a= v
'(t0).
知识点二：导数的运算
1. 求导的基本公式
基本初等函数
导函数
f ( x)=c（c为常数）
f
'( x)=0
f ( x)= x
a（a∈Q）
f
'( x)=a x
a-1
f ( x)=a
x（a>0，a≠1）
f
'( x)=a
x ln a
f ( x)= loga x（a>0，a≠1）
f
'( x)=
1
x ln a
f ( x)=e
x
f
'( x)=e
x
f ( x)= ln x
f
'( x)= 1
x
f ( x)=sin x
f
'( x)=cos x
f ( x)=cos x
f
'( x)=-sin x
2. 导数的四则运算法则
（1） 函数和差求导法则：[ f ( x)± g( x)]
' = f
'( x)± g
'( x)；
（2） 函数积的求导法则：[ f ( x)g( x)]
' = f
'( x)g( x)+ f ( x)g
'( x)；
（3） 函数商的求导法则：g( x)≠0，则[
f ( x)
g( x)]
'
= f
'( x)g( x)- f ( x)g
'( x)
g
2( x)
.
3. 复合函数求导数
复合函数y = f [ g( x)]的导数和函数y = f (u)，u= g( x)的导数间关系为y x
' = yu
' ⋅ux
' .
【防坑警示】复合函数求导时，务必由外向内逐层求导，切勿遗漏内层函数的导数，且求
导后要将中间变量替换回原自变量.
三、典题精练
考点一：导数的概念与物理意义
考法1：利用导数定义求极限
例1.若函数f ( x)在x0处可导，且lim ¿Δ x→0
f ( x0+2 Δ x)- f ( x0)
2 Δ x
=1¿，则f
'( x0)=
A. 1
B. -1
C. 2
D. 1
2
考法2：导数的物理与实际意义
例2.（2026·青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，
破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量Q随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一
稳定水平时，臭氧含量Q与时间t之间满足关系式Q =Q0e
-0.0025t，其中Q0是臭氧的初始含量，
则
A. 随着时间t的增加，臭氧含量在增加
B. 当t从1变化到2时，臭氧含量减少Q0e
-0.0025
C. 当t从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为0.5Q0e
-0.005
D. 当t =2时，臭氧含量的瞬时变化率为-0.0025Q0e
-0.005
【考点一 方法总结】
· 利用导数定义求极限时，核心是凑成导数定义的标准形式，即确保分子中自变量
的增量与分母完全一致.
· 处理实际背景下的变化率问题，需明确：平均变化率是函数增量与自变量增量的
比值，而瞬时变化率则是函数在该点处的导数值.
考点二：导数的运算
考法1：导数运算法则与公式
例3.求下列函数的导数：
（1）y =(3 x
2+2 x +1)cos x；
（2）y = 3 x
2+ x ❑√x -5 ❑√x +1
❑√x
；
（3）y = x
18+sin x - ln x；
（4）y =2
xcos x -3 x log3 x；
（5）y =3
xsin x -3 log3 x；
（6）y =e
xcos x + tan x.
考法2：利用导数值求参数或函数值
例4.（2026·泰山联盟·四月）若函数f ( x)=e
x - f
'（1）x，则
A. f （1）=-e
2
B. f
'（1）=-e
2
C. f （2）=e
2-e
D.
f
'（2）=e
2-e
【考点二 方法总结】
· 求导时应遵循“先化简，后求导”的原则.对于分式形式且分母为单项式的函数，
先化简为幂函数的代数和再求导.运用乘积或商的求导法则时，务必注意各项的符号和公
式的准确性.
· 复合函数求导时，务必由外向内逐层求导，切勿遗漏内层函数的导数，且求导后
要将中间变量替换回原自变量.
· 处理含有特定点导数值的函数解析式问题，核心思想是“整体代换”，将该导数
值视为常数，求导后代入该特定点的值，通过解方程求出该常数.
考点三：导数的几何意义
考法1：求曲线在某点处的切线方程
例5.（2026·济宁·二模）曲线y =e
x+ x在(0,1)处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.
考法2：求过某点的切线方程
例6.过点(- 2
3 ,0)作曲线y = x
3的切线，写出一条切线方程：＿＿＿＿＿＿.
考法3：已知切线求参数
例7.（2025·五个一·四月）若曲线y = x
3+2 x在点(1,3)处的切线也与曲线y = x
2+ x +m相切，
则m=
A. 4
B. -2
C. - 4
D. 2
考法4：公切线问题
例8.（2026·周口一高·一模）已知曲线y = ln x +2与y = ln( x +1)的公切线为l，则l在y轴上的
截距为＿＿＿＿＿＿.
考法5：两曲线间的最短距离
例9.设点P在曲线y =e
2 x上，点Q在曲线y = 1
2 ln x上，则| PQ|的最小值为
A.
❑√2
2 (1- ln 2)
B. ❑√2(1- ln 2)
C. ❑√2(1+ ln 2)
D.
❑√2
2 (1+ ln 2)
【考点三 方法总结】
· 求“在点处的切线方程”：已知点即为切点，直接求导代入横坐标得斜率，用点
斜式写方程即可.公式：y - f ( x0)= f
'( x0)( x - x0).
· 求“过某点的切线方程”：必须先判断该点是否在曲线上.若不在或不确定，一律
设出切点坐标( x0, y0)，以切点为核心构建切线方程y - y0= f
'( x0)( x - x0)，再代入已知点求
解.
· 直线与二次曲线相切的问题，通常联立方程组消元后，令一元二次方程的判别式
等于0 来求解参数.
· 处理双曲线公切线问题的通法是“双切点法”：分别设出两个切点，写出两个切
线方程，利用对应项系数相等构造方程组求解.
· 遇到指数函数与对数函数同框求最短距离时，优先考虑两者是否互为反函数.利用
对称性将两曲线间的距离转化为单曲线到对称轴直线的距离，再结合导数平行切线法求解.
考点四：牛顿迭代法（拓展）
考法1：牛顿迭代法的应用
例10.（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法. 具体步骤如
下：设r是函数y = f ( x)的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，过点( x0,f ( x0))作曲
线y = f ( x)的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1 次近似值；过点
( x1,f ( x1))作曲线y = f ( x)的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，称x2为r的2 次近似值. 一
般地，过点( xn,f ( xn))(n∈N
*)作曲线y = f ( x)的切线ln+1，记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1，
并称xn+1为r的n+1次近似值. 对于方程x
3- x +1=0，记方程的根为r，取初始近似值为
x0=-1，下列说法正确的是
A. r ∈(-2,-1)
B. 切线l2：23 x - 4 y +31=0
C. | x3- x2|> 1
8
D. xn+1= 2 xn
3-1
3 xn
2-1
【考点四 方法总结】
· 解决新定义背景下的切线迭代问题，关键是读懂题意，将文字描述转化为求切线
与x轴交点的数学操作，推导出递推关系式后按部就班计算即可.
四、高考真题
1.（2026·全国一卷）曲线y =5 x +8ln x在点(1,5)处的切线方程为
A. y =3 x +2
B. y =5 x
C. y =8 x -3
D. y =13 x -8
2.（2025·全国一卷）若直线y =2 x +5是曲线y =e
x+ x +a的切线，则a=＿＿＿＿＿＿.
3.（2024·全国一卷）若曲线y =e
x+ x在点(0,1)处的切线也是曲线y = ln( x +1)+a的切线，则
a=＿＿＿＿＿＿.
4.（2025·全国一卷）设数列{an}满足a1=3，an+1
n = an
n+1 +
1
n(n+1)
（1）证明：{nan}为等差数列；
（2）设f ( x)=a1 x +a2 x
2+⋯+am x
m，求f
'(-2).
5.（2026·全国一卷）已知函数f ( x)= x +2
e
x+a 的最大值为1，则a=
A. 1
2
B. 1
C. 3
2
D. 2
6.（2024·全国一卷）已知函数为f ( x)={
- x
2-2ax -a, x<0
e
x+ ln( x +1), x ≥0，在R上单调递增，则a取值的范
围是
A. (-∞,0]
B. [-1,0]
C. [-1,1]
D. [0,+∞)
7.（2024·全国一卷）（多选）设函数f ( x)=( x -1)
2( x - 4)，则
A. x =3是f ( x)的极小值点
B. 当0< x<1时，f ( x)<f ( x
2)
C. 当1< x<2时，- 4<f (2 x -1)<0
D. 当-1< x<0时，f (2- x)>f ( x)
8.（2024·全国一卷）已知函数f ( x)= ln
x
2- x +ax +b( x -1)
3
（1）若b=0，且f
'( x)≥0，求a的最小值；
（2）证明：曲线y = f ( x)是中心对称图形；
（3）若f ( x)>-2当且仅当1< x<2，求b的取值范围.
9.（2025·全国一卷）
（1）设函数f ( x)=5cos x -cos5 x，求f ( x)在[0, π
4 ]的最大值；
（2）给定θ∈(0,π )，设a为实数，证明：存在y ∈[a-θ ,a+θ ]，使得cos y ≤cosθ；
（3）若存在φ使得对任意x，都有5cos x -cos(5 x +φ)≤b，求b的最小值.
