文档文本内容
第12 讲：拓展五：利用洛必达法则解决导数问题
目录
类型一：洛必达法则的简单计算.............................................................................................2
类型二：洛必达法则在导数中的应用......................................................................................4
一、
型及
型未定式
1、定义：如果当
（或
）时，两个函数
与
都趋于零（或都趋于无
穷大），那么极限
（或
）可能存在、也可能不存在.通常把这种极限
称为
型及
型未定式.
2、定理1（
型）：（1）设当
时，
及
；
（2）在
点的某个去心邻域内（点
的去心邻域
内）都有
，
都存在，且
；
（3）
；
则：
.
3 、定理2 （
型）： 若函数
和
满足下列条件：(1)
及
；
(2)
，
和
在
与
上可导，且
；
(3)
，
那么
.
4 、定理3 （
型）：若函数
和
满足下列条件：(1)
及
；
(2)在点
的去心邻域
内，
与
可导且
；
(3)
，
那么
=
.
5、将上面公式中的
,
,
,
洛必达法则也成立.
6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止:
,如满足条件，可继续使用洛必达法则.
二、
型
、
、
、
型
1、
型的转化：
或
；
2、
型的转化：
3、
、
型的转化：幂指函数类
类型一：洛必达法则的简单计算
典型例题
例题1．（23-24 高二下·北京朝阳·期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存
在，也可能不存在，为此，洛必达在1696 年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、
分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
例题2．（24-25 高二下·重庆万州·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0 的分式结构
称为
型，比如：当
时，
的极限即为
型．两个无穷小之比的极限可能存在，
也可能不存在，为此，洛必达在1696 年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母
分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，则
．
精练高频考点
1．（23-24 高二下·吉林长春·期中）1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创
造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件
下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：
，按此法则有
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-2
2．（25-26 高二下·重庆江北·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0 的分式结构称为
型，比如：当
时，
的极限即为
型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能
不存在，为此，洛必达在1696 年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求
导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
3．（24-25 高三上·湖北襄阳）我们把分子，分母同时趋近于0 的分式结构称为
型，比如：
当
时，
的极限即为
型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早
在1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以
寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母
分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如：
，则
．
类型二：洛必达法则在导数中的应用
典型例题
例题1．（2025·江苏徐州·模拟预测）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法
则：给定两个函数
，当
时，
.已知函数
，
.
(1)对于
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)
，证明：
（附：
）.
例题2．（2024 高三·全国·专题练习）设函数
，
(1)若
，
（
为常数），求
的解析式；
(2)在（1）条件下，若当
时，
，求
的取值范围．
例题3．（24-25 高三上·湖北·期末）1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创
造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数
和
满足下列条件：
①
，
②在点a 的去心邻域内
与
可导，且
③
，那么
据此回答下面问题：
(1)求
的值，并用导数的定义证明：
(2)已知
（i）求函数
的单调递减区间;
（ii）若
对任意
恒成立，求实数a 的取值范围.
精练高频考点
1．（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式
型或
型极限的一种重要方法，其含义为：若函数
和
满足下列条件：
①
且
（或
，
）；
②在点
的附近区域内两者都可导，且
；
③
（
可为实数，也可为
），则
．
(1)用洛必达法则求
；
(2)函数
（
，
），判断并说明
的零点个
数；
(3)已知
，
，
，求
的解析式．
参考公式：
，
．
2．（23-24 高二下·山东泰安·期中）①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则
运算法则：如果
，
，则
，
，
若B≠0，则
；ii)洛必达法则：若函数
，
的导函数分别为
，
，
，
，则
；
②设
，k 是大于1 的正整数，若函数
满足：对
，均有
成
立，则称函数
为区间(0,a)上的k 阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题；
(1)计算：①
；
②
；
(2)试判断
是否为区间
上的2 阶无穷递降函数；并证明：
，
.
3．（24-25 高二下·辽宁鞍山·期中）极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求
极限是可以直接写出的，例如，
.如果当
（或
）时，两个函数
与
都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限
叫作未定式，并分别简
记为
或
.当
（或
），极限
为未定式且
、
、
存在
时，有：
.这种在一定条件下通过分子分
母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（
）.
(1)使用洛必达法则，求极限；
①
；②
；③
(2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计
分）：
①
；②
；③
；
(3)
且
，
，
恒成立.
①直接写出
解析式；
②求
的取值范围.
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，如果当
，且
时，
，求
的取值范围．
