专题24导数中的洛必达法则(原卷版)_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_专项复习_2023年新高考导数专项重点难点突破（新高考专用）

专题24 导数中的洛必达法则
函数与导数应用的问题中求参数的取值范围是重点考查题型．在平时教学中，教师往往介绍利用变量
分离法来求解．但部分题型利用变量分离法处理时，会出现“”型的代数式，而这是大学数学中的不定式
问题，解决这类问题的有效方法就是利用洛必达法则．
[洛必达法则]
法则1 若函数f(x)和g(x)满足下列条件
(1)lim f(x)＝0及lim g(x)＝0；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3) lim ＝l，那么lim ＝lim ＝l.
法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件
(1) lim f(x)＝∞及lim g(x)＝∞；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3) lim ＝l，那么lim ＝lim ＝l.
1．已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果当x>0，且x≠1时，f(x)>＋，求k的取值范围．
2．设函数f(x)＝1－e－x，当x≥0时，f(x)≤，求a的取值范围．
3．定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝ln x－ax＋1，若f(x)有5个零点，求实数a的取值范围．
4．已知函数f(x)＝ax＋＋c(a>0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.
(1)试用a表示出b，c；
(2)若f(x)≥ln x在[1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．5．已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R．若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
6．已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)，若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．
7．已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝－1处有极值，求a的值．
(2)当x>0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围．
8．已知函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)．若对任意x>0都有f(x)>ax成立，求实数a的取值范围．
9．设函数f(x)＝ln(x＋1)＋ae－x－a，a∈R，当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
10．设函数f(x)＝ex－1－x－ax2．
(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．y  f(x) (1, f(1)) x2y30
11．已知函数，曲线 在点 处的切线方程为 。
（Ⅰ）求a、b的值；
lnx k
f(x) 
（Ⅱ）如果当x0，且x1时， x1 x ，求k 的取值范围。
12．设函数 .当 时， ，求 的取值范围.
13．设函数 ．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围．
14．设函数 f (x)=(1−ax)ln(x+1)−bx ，曲线 y=f (x) 恒与x轴相切于坐标原点。（1）求常数 b 的值；( 1) n ( 1) n+1
1+ <e< 1+
（2）当 0≤x≤1 时， f (x)≥0 恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证： n n 恒成
立
15．已知 ．
（1）求 的单调区间；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
16．已知函数 ．
（1）若函数 在点 ， （1） 处的切线 经过点 ，求实数 的值；
（2）若关于 的方程 有唯一的实数解，求实数 的取值范围．
17．已知函数 在 处取得极值，且曲线 在点 处的切线与
直线 垂直.
(1)求实数 的值；(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.