1992年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析

更多考研资料分享+qq810958634 1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】3 dy dy/dt 3e3t f′(e3t −1) dy 【解析】由复合函数求导法则可得 = = ,于是 =3. dx dx/dt f′(t) dx t=0 【相关知识点】复合函数求导法则:如果u = g(x)在点x可导,而 y = f(x)在点u = g(x)可 导,则复合函数y = f [ g(x) ]在点x可导,且其导数为 dy dy dy du = f′(u)⋅g′(x) 或 = ⋅ . dx dx du dx π (2)【答案】 3+ 6 π π 【解析】令y′=1−2sinx=0,得[0, ]内驻点x= . 2 6 因为只有一个驻点,所以此驻点必为极大值点,与端点值进行比较,求出最大值. π π π π 又 y(0)=2,y( )= 3+ , y( )= , 6 6 2 2 π π 可见最大值为y( )= 3+ . 6 6 (3)【答案】0 1 1 【解析】由等价无穷小,有x→0时,1− 1−x2  − (−x2)= x2,故 2 2 1 − (−x2) 1− 1−x2 2 lim =lim , x→0 ex −cosx x→0 ex −cosx 0 上式为“ ”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,由洛必达法则,有 0 x 原式=lim =0. x→0 ex +sinx 1 (4)【答案】 ln2 2 【解析】令b→+∞, b dx b x2 +1−x2 b 1 x 原式= lim ∫ = lim ∫ dx = lim ∫ ( − )dx(分项法) b→+∞ 1 x(x2 +1) b→+∞ 1 x(x2 +1) b→+∞ 1 x x2 +1 = lim lnx b − lim 1 ∫ b 1 dx2 (凑微分法) b→+∞ 1 b→+∞2 1 x2 +1 = lim lnx b − lim 1 ln(x2 +1) b = lim ln b + 1 ln2 b→+∞ 1 b→+∞2 1 b→+∞ b2 +1 2 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 b2 1 1 1 = lim ln + ln2 =ln1+ ln2 = ln2. b→+∞ b2 +1 2 2 2 e (5)【答案】 −1 2 【解析】联立曲线和直线的方程,解得两曲线的交点为(0,0),(1,e),则所围图形面积为 1 S =∫ (ex−xex)dx,再利用分部积分法求解,得 0 1 e  1 e S =  x2 −xex  +∫ exdx= −1. 2  0 2 0 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计 算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验. 【相关知识点】分部积分公式：假定u =u(x)与v=v(x)均具有连续的导函数,则 ∫uv′dx=uv−∫u′vdx, 或者 ∫udv=uv−∫vdu. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B) x−sinx 0 【解析】lim 为“ ”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,连续 x→0 x2 0 x−sinx 1−cosx sinx 运用两次洛必达法则,有 lim =lim =lim =0,故选(B). x→0 x2 x→0 2x x→0 2 【相关知识点】无穷小的比较： α(x) 设在同一个极限过程中,α(x),β(x)为无穷小且存在极限 lim =l, β(x) (1) 若l ≠0,称α(x),β(x)在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若l =1,称α(x),β(x)在该极限过程中为等价无穷小,记为α(x)β(x)； (3) 若l =0,称在该极限过程中α(x)是β(x)的高阶无穷小,记为α(x)=o (β(x) ). α(x) 若lim 不存在(不为∞),称α(x),β(x)不可比较. β(x) (2)【答案】(D) 【解析】直接按复合函数的定义计算.  (−x)2, −x≤0 x2 −x,x<0, f(−x)= = (−x)2 +(−x), −x>0  x2, x≥0. 所以应选(D). 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 (3)【答案】(D) 【解析】对于函数在给定点x 的极限是否存在,需要判定左极限x→ x−和右极限 0 0 x→ x+是否存在且相等,若相等,则函数在点x 的极限是存在的. 0 0 x2 −1 1 1 lim ex−1 = lim(x+1)ex−1 =0, x→1− x−1 x→1− x2 −1 1 1 lim ex−1 = lim(x+1)ex−1 =∞. x→1+ x−1 x→1+ 0≠∞,故当x→1时函数没有极限,也不是∞.故应选(D). (4)【答案】(C) x2 【解析】 F′(x)=[∫ f(t2)dt]′= f[(x2)2]⋅(x2)′=2xf(x4), 0 故选(C). 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式： β(t) 若F(t)=∫ f(x)dx,α(t),β(t)均一阶可导,则 α(t) F′(t)=β′(t)⋅ f [β(t) ]−α′(t)⋅ f [α(t) ]. (5)【答案】(B) 【解析】由 f(x)的导函数是sinx,即 f′(x)=sinx,得 f(x)=∫ f′(x)dx=∫sinxdx=−cosx+C , 其中C为任意常数. 所以 f(x)的原函数 F(x)=∫ f(x)dx=∫(−cosx+C)dx=−sinx+C x+C ,其中C ,C 为任意常数. 1 2 1 2 令C =0,C =1得F(x)=1−sinx.故选(B). 1 2 三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.) 3 − (1)【答案】e 2 1 【解析】此题考查重要极限：lim(1+ )x =e. x→∞ x 将函数式变形,有 3+x x−1 3 6+x ⋅ −3 ⋅ x−1 lim( ) 2 =lim(1− ) −3 6+x 2 x→∞ 6+x x→∞ 6+x −3 x−1 −3 x−1 3 ⋅ lim ⋅ − =lime6+x 2 =ex→∞6+x 2 =e 2 . x→∞ 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 (2)【答案】2e2 【解析】函数y = y(x)是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方法1：在方程两边对x求导,将y看做x的函数,得 ey y′−ey −xey⋅y′=0,即 y′= , 1−xey 把x=0,y =1代入可得y′(0)=e. 两边再次求导,得 eyy′(1−xey)+ey(ey +xeyy′) y′′= , (1−xey)2 d2y 把x=0,y =1,y′(0)=e代入得y′′(0)= =2e2. dx2 x=0 方法2：方程两边对x求导,得 y′−ey −xeyy′=0； 再次求导可得y′′−eyy′−(eyy′+xeyy′2 +xeyy′′)=0, d2y 把x=0,y =1代入上面两式,解得y′(0)=e,y′′(0)= =2e2. dx2 x=0 【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果u = g(x)在点x可导,而y = f(x)在点u = g(x) 可导,则复合函数y = f [ g(x) ]在点x可导,且其导数为 dy dy dy du = f′(u)⋅g′(x) 或 = ⋅ , dx dx du dx 2.两函数乘积的求导公式： [ f(x)⋅g(x) ]′ = f′(x)⋅g(x)+ f(x)⋅g′(x). ′ u u′v−uv′ 3.分式求导公式： = .   v v2 3 (3)【答案】(1+x2)2 − 1+x2 +C 其中C为任意常数. 【解析】方法1：积分的凑分法结合分项法,有 x3 1 x2 1 (1+x2)−1 ∫ dx= ∫ d(1+x2)= ∫ d(1+x2) 1+x2 2 1+x2 2 1+x2 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 1 1 = ∫( 1+x2 − )d(1+x2) 2 1+x2 1 1 1 = ∫ 1+x2d(1+x2)− ∫ d(1+x2) 2 2 1+x2 1 3 = (1+x2)2 − 1+x2 +C 其中C为任意常数. 3 方法2：令x=tant ,则dx=sec2tdt, x3 ∫ dx=∫tan3tsectdt =∫tan2td(sect)=∫(sec2t−1)d(sect) 1+x2 1 1 3 = sec3t−sect+C = (1+x2)2 − 1+x2 +C ,其中C为任意常数. 3 3 1 方法3：令t = x2,则x= t,dx= , 2 t x3 1 t ∫ dx= ∫ dt 此后方法同方法1,积分的凑分法结合分项法 1+x2 2 1+t 1 1 1 3 = ∫( 1+t − )dt = (1+x2)2 − 1+x2 +C,其中C为任意常数. 2 1+t 3 (4)【答案】4( 2−1) 【解析】注意 f(x)2 = f(x) ≠ f(x),不要轻易丢掉绝对值符号；绝对值函数的积分实 际上是分段函数的积分. α α 由二倍角公式 sinα=2sin ⋅cos ,则有 2 2 α α α α  α α 2 1−sinα=sin2 +cos2 −2sin ⋅cos = sin −cos  . 2 2 2 2  2 2  2 π π  x x π x x 所以 ∫ 1−sinxdx=∫ sin −cos  dx=∫ sin −cos dx 0 0  2 2 0 2 2 π x x π x x =∫2cos −sin dx+∫ πsin −cos dx 0  2 2  2 2 2 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 π π  x x 2  x x =2sin +cos  +2 −cos −sin   2 2  2 2π 0 2 =4( 2−1). 1 (5)【答案】y =C x − x3,其中C为任意常数 5 1 1 【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为 y′− y =− x2. 2x 2 由一阶线性微分方程的通解公式,得 ∫ 1 dx  1 −∫ 1 dx  y =e 2x ∫− x2e 2x dx+C  2  1 =C x − x3 其中C为任意常数. 5 【相关知识点】一阶线性非齐次方程y′+P(x)y =Q(x)的通解为 −∫P(x)dx ∫P(x)dx  y =e ∫Q(x)e dx+C,其中C为任意常数.   四、(本题满分9分) 【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积 分变量,若先作变量代换,往往会简化计算. 令x−2=t,则dx=dt.当x=1时,t =−1；当x=3时,t =1,于是 ∫ 3 f(x−2)dx=∫ 1 f(t)dt分段∫ 0( 1+t2 ) dt+∫ 1 e−tdt 1 −1 −1 0 0 =  t+ 1 t3   −e−t 1 = 7 − 1 .  3  0 3 e −1 五、(本题满分9分) 【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程 r2 −3r+2=0有两个根为r =1,r =2,而非齐次项xeαx,α=1=r 为单特征根,因而非齐 1 2 1 次方程有如下形式的特解Y = x(ax+b)ex, 1 代入方程可得a=− ,b=−1,所求解为 2 x y =Cex +C e2x − (x+2)ex,其中C ,C 为任意常数. 1 2 2 1 2 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设 y*(x)是二阶线性非齐次方程 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 y′′+P(x)y′+Q(x)y = f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程 y′′+P(x)y′+Q(x)y =0的通解,则y =Y(x)+ y*(x)是非齐次方程的通解. 2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解 Y(x),可用特征方程法求解：即y′′+P(x)y′+Q(x)y =0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程 变为y′′+ py′+qy =0.其特征方程写为r2 + pr+q=0,在复数域内解出两个特征根r,r ； 1 2 分三种情况： (1) 两个不相等的实数根r,r ,则通解为y =Cerx 1 +C er 2 x; 1 2 1 2 (2) 两个相等的实数根r =r ,则通解为y =( C +C x ) erx 1; 1 2 1 2 (3) 一对共轭复根r =α±iβ,则通解为y =eαx( C cosβx+C sinβx ) .其中C ,C 1,2 1 2 1 2 为常数. 3.对于求解二阶线性非齐次方程 y′′+P(x)y′+Q(x)y = f(x)的一个特解 y*(x),可用待定 系数法,有结论如下： 如果 f(x)= P (x)eλx,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y*(x)= xkQ (x)eλx m m 的特解,其中Q (x)是与P (x)相同次数的多项式,而k按λ不是特征方程的根、是特征方 m m 程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2. 如果 f(x)=eλx[P(x)cosωx+P (x)sinωx],则二阶常系数非齐次线性微分方程 l n y′′+ p(x)y′+q(x)y = f(x)的特解可设为 y* = xkeλx[R(1)(x)cosωx+R(2)(x)sinωx], m m 其中R(1)(x)与R(2)(x)是m次多项式,m=max { l,n },而k按λ+iω(或λ−iω)不是特征 m m 方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. 六、(本题满分9分) 【解析】由于y =ln(1−x2), −2x (1+x2)2 1+x2 1 y′= ,1+ y′2 = , ds = 1+ y′2dx= dx,(0≤ x≤ ), 1−x2 (1−x2)2 1−x2 2 1/21+x2 1/22−(1−x2) 所以 s =∫ dx=∫ dx 0 1−x2 0 1−x2 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 1/2 2  1/2 1 1/2 1 1 =∫  −1dx=∫ dx+∫ dx− 0 1−x2  0 1−x 0 1+x 2 1/2 1+x 1 1 =ln  − =ln3− . 1−x 2 2 0 【相关知识点】平面曲线弧长计算：已知平面曲线  AB的显式表示为y = f(x) ( a≤ x≤b ), 则弧微分为 ds = 1+ f′2(x)dx,弧长s =∫ b 1+ f′2(x)dx,其中 f(x)在[ a,b ]有连续的 a 导数. 七、(本题满分9分) 【解析】过曲线上已知点(x ,y )的切线方程为 y− y =k(x−x ),其中当 y′(x )存在 0 0 0 0 0 时,k = y′(x ). 0 如图所示,设曲线上一点(t, t)处的切线方程为 y 1 y− t = (x−t), t 2 t x t 化简即得 y = + . 2 t 2 x O t 2 2  x t   1 4 面积 S(t)=∫  + − xdx= + t − 2 ,   0 2 t 2   t 3 1 1 t−1 其一阶导数 S′(t)=− t−3/2 + t−1/2 = . 2 2 2t t 令S′(t)=0解得唯一驻点t =1,而且S′在此由负变正,即S(t)在(−∞,1]单调递减,在 [1,+∞)单调递增,在此过程中S(t)在t =1时取极小值也是最小值,所以将t =1代入先前所 x 1 设的切线方程中,得所求切线方程为y = + . 2 2 八、(本题满分9分) 【解析】证法一：用拉格朗日中值定理证明.不妨设x > x >0,要证的不等式是 2 1 f(x +x )− f(x )< f(x )− f(0). 1 2 2 1 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 在[0,x ]上用中值定理,有 f(x )− f(0)= f′(ξ)x , 0<ξ< x , 1 1 1 1 在[x ,x +x ]上用中值定理,又有 f(x +x )− f(x )= f′(η)x ,x <η< x +x , 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 由 f′′(x)<0,所以 f′(x)单调减,而ξ< x < x <η,有 f′(ξ)> f′(η),所以 1 2 f(x +x )− f(x )< f(x )− f(0)= f(x ), 1 2 2 1 1 即 f(x +x )< f(x )+ f(x ). 1 2 1 2 证法二：用函数不等式来证明. 要证 f(x +x)< f(x )+ f(x),x>0. 1 1 令辅助函数ϕ(x)= f(x )+ f(x)− f(x +x),则ϕ′(x)= f′(x)− f′(x +x). 1 1 1 由 f′′(x)<0, f′(x)单调减, f′(x)> f′(x +x),ϕ′(x)>0,由此, 1 ϕ(x)>ϕ(0)= f(x )+ f(0)− f(x )=0(x>0). 1 1 改x为x 即得证. 2 【相关知识点】拉格朗日中值定理： 如果函数 f(x)满足在闭区间[a,b]上连续,在开区间( a,b )内可导,那么在( a,b )内至 少有一点ξ(a<ξ