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专题09 导数新定义问题
一、单选题
1．给出以下新定义：若函数 在D上可导，即 存在，且导函数 在D上也可导，则称
在D上存在二阶导函数，记 ，若 在D上恒成立，则称 在D上为凸函数．以
下四个函数在定义域上是凸函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．对于三次函数 ，现给出定义：设 是函数 的导数， 是
的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的
“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐
点”就是对称中心．设函数 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
3．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：当 时， 的极限即为 型．两个
无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过
对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如： ，则
（ ）
A．0 B． C．1 D．2
4．定义方程 的实根 叫做函数 的“新驻点”，若函数 ， ，的“新驻点”分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 及其导函数 ，若存在 使得 ，则称 是 的一个“巧值点”．
下列选项中没有“巧值点”的函数是（ ）
A． B．
C． D．
6．定义满足方程 的解 叫做函数 的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是
（ ）
A． B．
C． D．
7．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数 在闭区间 上的图象连
续不间断，在开区间 内的导数为 ，那么在区间 内至少存在一点c，使得
成立，其中c叫做 在 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得
函数 在 上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．已知函数 的定义域为 ，若 在 上为增函数，则称 为“ 阶比
增函数”．若函数 为“ 阶比增函数"，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题9．已知函数 及其导数 ，若存在 ，使得 ，则称 是 的一个“巧值点”，
下列函数中，没有“巧值点”的是（ ）
A． B．
C． D．
10．函数 在区间 ， 上连续，对 ， 上任意二点 与 ，有 时，我们
称函数 在 ， 上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函
数）在给定区间内恒为正，即 .下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数 及其导数 ，若存在 ，使得 ，则称 是 的一个“青山点”．下
列函数中，有“青山点”的是（ ）
A． B． C． D．
12．若函数 在区间D上是减函数，且函数 在区间D上也是减函数，其中 是函数
的导函数，则称函数 是区间D的上“缓减函数”，区间D叫作“缓减函数”．则下列区间
中，是函数 的“缓减函数”的是（ ）
A． B．
C． D．13．定义在区间 上的连续函数 的导函数为 ，若 使得 ，
则称 为区间 上的“中值点”.下列在区间 上“中值点”多于一个的函数是（ ）
A． B． C． D．
14．对于定义域为 的函数 ， 为 的导函数，若同时满足：
① ；
②当 且 时，都有 ；
③当 且 时，都有 ，则称 为“偏对称函数”.
下列函数是“偏对称函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
15．函数 的导函数为 ，若对于定义域内任意 ， ，有 恒成
立，则称 为恒均变函数．给出下列函数：① ；② ；③ ；④
；⑤ ．其中为恒均变函数的序号是__________________．（写出所有满足条件的函数的
序号）
16．我们把形如 的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两
边取对数得 ，两边对x求导数，得 于是
，运用此方法可以求得函数 在(1,1)处的切线方程是_________.
17．若 可以作为一个三角形的三条边长，`则称函数 是区间D上的“稳定函
数”．已知函数 是区间 上的“稳定函数”，则实数m的取值范围为___________．
18．设函数 在区间 上的导函数为 ， 在区间 上的导函数为 ，若区间
上 ．则称函数 在区间 上为“凹函数”，已知 在 上为“凹
函数”则实数m的取值范围为__________．
19．对于函数 可以采用下列方法求导数：由 可得 ，两边求导可得
，故 .根据这一方法，可得函数 的极小值为
___________.
20．设 与 是定义在同一区间 上的两个函数，若函数 在 上有两个不
同的零点，则称 与 在 上是“关联函数”．若 与 在 上是
“关联函数”，则实数 的取值范围是____________．
四、解答题
21．对于函数f（x），若存在实数 满足 ，则称 为函数f（x）的一个不动点.已知函数
，其中
(1)当 时，
（i）求f（x）的极值点；
（ii）若存在 既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值：(2)若f（x）有两个相异的极值点 ， ，试问：是否存在a，b使得 ， 均为f（x）的不动点？证明你
的结论.
22．已知函数 .
(1)若 在其定义域内是增函数，求 的取值范围；
(2)定义：若 在其定义域内单调递增，且 在其定义域内也单调递增，则称 为 的
“协同增函数”.
已知函数 ，若 是 的“协同增函数”，求 的取值范围.
23．记 ， 为 的导函数．若对 ， ，则称函数 为 上的
“凸函数”．已知函数 ， ．
（1）若函数 为 上的凸函数，求 的取值范围；
（2）若函数 在 上有极值，求 的取值范围．
24．设 是函数 的导函数，我们把使 的实数x叫做函数 的好点.已知函数，
（1）若0是函数 的好点，求a；
（2）若当 时，函数 无好点，求a的取值范围.
25．已知函数 .
（1）求函数 的图象在 （ 为自然对数的底数）处的切线方程；
（2）若对任意的 ，均有 ，则称 为 在区间 上的下界函数， 为 在区
间 上的上界函数.
①若 ，求证： 为 在 上的上界函数；
②若 ， 为 在 上的下界函数，求实数 的取值范围.
26．已知函数 ．
（1）求函数 的最小值；
（2）证明：对任意 恒成立；
（3）对于函数 图象上的不同两点 ，如果在函数 图象上存在点
（其中 ）使得点 处的切线 ，则称直线 存在“伴侣切线”．特别地，当 时，又称直线 存在“中值伴侣切线”．试问：当 时，对于函数 图象上不同两点 、 ，直线 是
否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．
27．如果 是定义在区间D上的函数，且同时满足：① ；② 与 的单调性相同，则
称函数 在区间D上是“链式函数”.已知函数 ， .
（1）判断函数 与 在 上是否是“链式函数”，并说明理由；
（2）求证：当 时， .
28．设函数 的图象在 处取得极值4.
（1）求函数 的单调区间；
（2）对于函数 ，若存在两个不等正数 ， ，当 时，函数 的值域是 ，则
把区间 叫函数 的“正保值区间”.问函数 是否存在“正保值区间”，若存在，求出所有的“正保值区间”；若不存在，请说明理由.
