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专题 18 洛必达法则
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题型01 洛必达法则的直接计算...............................................................................................................................1
题型02 洛必达法则解决最值问题...........................................................................................................................4
题型 01 洛必达法则的直接计算
【解题规律·提分快招】
一、前言
在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个
无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们
的比值，就需要运用到洛必达法则。
二、洛必达法则定义
在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。
三、法则形式
1、法则1（ 型）：若函数 和 满足下列条件：
（1）设当 时， 及 ；
（2）在点 处函数 和 的图像是连续的，即函数 和 在点 处存在导数；
（3） ；则： .
2、法则2（ 型）： 若函数 和 满足下列条件：
(1) 及 ；
(2)在点 处函数 和 的图像是连续的，即函数 和 在点 处存在导数；
(3) ，则： .3、法则3（ 型）：若函数 和 满足下列条件：
(1) 及 ；
(2)在点 处函数 和 的图像是连续的，即函数 和 在点 处存在导数；且 ；
(3) ，则： = .
【特别提醒】
（1）将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立。
（2）洛必达法则可处理 型。
（3）首先要检查是否满足 型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个
前提条件时，就不能用洛必达法则
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
（5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题。
四、适用类型的转化
（1） 型的转化： 或 ；
（2） 型的转化：
（3） 、 型的转化：幂指函数类
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·吉林长春·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，
用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再
求极限来确定未定式值的方法.如： ，按此法则有
（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-2
【答案】A
【分析】根据洛必达法则直接求导并代入计算即可.【详解】由题意可得
，
故选：A.
2．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：当 时， 的极限即为 型.两个
无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过
对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如： ，
则 （ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】判定当 时， 的极限即为 型，再利用给定法则计算即可得解.
【详解】显然，当 时， 的极限即为 型，
所以： .
故选：B
二、填空题
3． 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数
之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如： ，按此方法则有 ．
【答案】
【分析】由洛必达法则，分别对分子和分母求导，代入 即可求得该极限值.
【详解】由题意可得： ．
故答案为： .题型 02 洛必达法则解决最值问题
【典例训练】
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习） 恒成立,求 的取值范围
【答案】
【分析】常数分离得 ，判断 的单调性并用罗比塔法则求其最小值.
【详解】 ，
记 ， ，
则 ，
记 ，
则 ，
而 ，
所以, 在 单调递增,所以 ，
所以, 在 单调递增,所以 ，
即在 上 ,所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 .
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．当 时 ，求 的取值范
围．
【答案】
【分析】分离参数，构造新函数 ，及 ，判定其导函数的符号结合洛必达法则
计算即可.
【详解】由题意可知，当 时，即 等价于 ．
设 ，则设 ，则 ，因为 ，所以 ，
即当 时， ，所以 在 上单调递减，
当 时， ，当 时， 满足洛必达法则，
所以 ，
即当 时， 的取值范围是 ．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，如果当 ，且 时， ，
求 的取值范围．
【答案】
【分析】将题意转化为 ，令 ，利用洛必达法则求出 ，即可得出
答案.
【详解】根据题目的条件，当 且 时，
得 ，等价于 ．
设 ， ，
因为 ，设 ，
则 ，
所以ℎ(x)在 上单调递增，
因为ℎ(1)=0，所以当 时，ℎ(x)<0，
即 在 上单调递减，当 在 上单调递增．
当 趋近 时， 趋近 ，当 趋近 时， 趋近 ，
所以 符合洛必达法则的条件，
即 ，
所以当 时，所以 的取值范围是 ．
4．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若
函数 ， 的导函数分别为 ， ，且 ，则
.
②设 ，k是大于1的正整数，若函数 满足：对任意 ，均有 成立，且
，则称函数 为区间 上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断 是否为区间 上的2阶无穷递降函数；
(2)计算： ；
(3)证明： ， .
【答案】(1) 不是区间 上的2阶无穷递降函数；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数 为区间 上的k阶无穷递降函数的定义即可判断；
（2）通过构造 ，再结合 即可得到结果；
（3）通过换元令令 ，则原不等式等价于 ，再通过构造函数
，根据题干中函数 为区间 上的k阶无穷递降函数的定义证出
，即可证明结论.
【详解】（1）设 ，
由于 ，
所以 不成立，
故 不是区间 上的2阶无穷递降函数.（2）设 ，则 ，
设 ，
则 ，
所以 ，得 .
（3）令 ，则原不等式等价于 ，
即证 ，
记 ，则 ，
所以 ，
即有对任意 ，均有 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，证毕!
【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关
限制条件的转化.
一、单选题
1．（23-24高三下·北京朝阳·期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，
为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据洛必达法则求解即可.
【详解】 .
故选：B
2．（23-24高三下·新疆伊犁·期中）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：当
时， 的极限即为 型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出
洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：
，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据题意利用洛必达法则求解即可
【详解】由题意得 ，
故选：B
二、解答题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，当 时， ，求实数a的取值范
围.
【答案】
【分析】考虑 和 两种情况，参变分离，构造函数，求导得到其单调性，得到 ，结合
洛必达法则求出答案.
【详解】当 时， ，即 ，
①当 时， ， ，②当 时， 等价于 ，
即 ，
令 ， ，则 ，
记 ， ，
则 ，因此 在 上单调递增，
且 ，所以 ， 从而 在 上单调递增，
所以 ，
由洛必达法则得 ，
即 ，.
综上所述，实数a的取值范围为 .
4．（2024高三·全国·专题练习） ， 恒成立，求 的取值范围
【答案】
【分析】根据题意，先讨论 的情况，然后讨论 的情况，分离参数，利用导数求其最值，即可
得到结果.
【详解】当 时， ;
当 时，不等式可化为 .
记 ，
则 ，
记 ，则 ，
当 时，则 ; 当 时，则 .
因为 ，并且 ，所以 .
这时 符合题意.
综上可知， 的取值范围是 .
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若当 时，恒有 成立，求实数 的取值范围．
【答案】
【分析】由题意分离参数可得 ，令 ，对 求导，求出 的单调性结合
洛必达法则求出 的最大值.
【详解】∵ ，∴ ．
∴当 时， ，即 单调递减；
当 时， ，即 单调递增．
若当 时，恒有 成立，即恒有 成立．
当 时，不等式恒成立．
当 时，恒有 成立，
即 ，令 ，
则 ．
令 ，则 ，进一步 ，
∴ 在 上单调递减，∴ ．
∴ 在 上单调递减，∴ ．
即 在 上恒成立，∴ 在 上单调递减．
∴ ，∴ ．
综上， 的取值范围为 ．
6．（2024高三·全国·专题练习）设函数 ，
(1)若 ， （ 为常数），求 的解析式；
(2)在（1）条件下，若当 时， ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 ， 求解；（2）由（1）知 时， ，此时， ，将问题转化为 对 恒成立求解．
【详解】（1）解：因为 ， ，
所以 ， ，
解得 ，
所以 ；
（2）由（1）可知， 时， ，此时， ；
故 时， 成立 时， 成立，
对 恒成立，
即 对 恒成立；
记 ，则 ，
记 ，则 ，
记 ，则 ，
∴当 0时， ， 在 上单调递增；
，
所以 在 上单调递增； ；
∴ 时， 0，即 在 上单调递增；
记 ， ，
当 时， ， 符合洛必达法则条件，
∴ ，
∴ 时， ，
∴ ．
【点睛】方法点睛：不等式 恒成立问题，往往通过 求解或转化为 或
求解.
7．（23-24高三下·山东泰安·期中）①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果， ，则 ，
，若B≠0，则 ；ii)洛必达法则：若函数
， 的导函数分别为f′(x)， ， ， ，则
；
②设 ，k是大于1的正整数，若函数 满足：对 ，均有 成立，则称函数
为区间(0,a)上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题；
(1)计算：① ；
② ；
(2)试判断 是否为区间 上的2阶无穷递降函数；并证明： ， .
【答案】(1)①1；②
(2)是，证明见解析
【分析】（1）① 根据题干中洛必达法则进行计算即可得解；②设 ，根据洛必达法则求出
，利用变换 得解；
（2）方法一， ，均有 ，同理可得 ，利用洛必达法则1可得
，得证；
方法二，利用导数可得 在 上单调递增，又由 ，得
证．
【详解】（1）①根据洛必达法则， ；
②设 ，两边同时取对数得， ，
设 ， ，
∴ ，∴（2）∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴
∴ ，均有 ，
∴ 是区间 上的2阶无穷递降函数.
方法一：
以上同理可得 ，
由① ，得
∴ ， .
方法二：
设 ， ，
则
设 ， ，则
∴ 在 上单调递增，又 ，∴ 在 上恒成立，
∴φ′(x)>0∴φ(x)在 上单调递增，∵ ，∴ 在 上但成立，∴ ，
∴ 在 上单调递增，
又
∴ ， .
【点睛】思路点睛：本题考查新定义，注意理解新定义.第1小题，构造函数 ，根据洛必达法
则求出 ，得解； 第2小题，方法1先证明 是区间 上的2阶无穷递降函数，同理
可得 ，根据洛必达法则可得 ；方法2，利用导数可判断 在
上单调递增，再根据洛必达法则求出 ，即可.
8．（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式 型或 型极限的一种重
要方法，其含义为：若函数 和 满足下列条件：
① 且 （或 ， ）；
②在点 的附近区域内两者都可导，且 ；
③ （ 可为实数，也可为 ），则 ．
(1)用洛必达法则求 ；
(2)函数 （ ， ），判断并说明 的零点个数；
(3)已知 ， ， ，求 的解析式．
参考公式： ， ．
【答案】(1)
(2)仅在 时存在1个零点，理由见解析
(3)【分析】（1）利用洛必达法则求解即可；
（2）构造函数 ，结合 的单调性求解即可；
（3）利用累乘法求出 的表达式，然后结合 ，利用洛必达法则求极限即可.
【详解】（1）
（2） ， ，
所以 ， ．
当 时， ，函数 在(0,+∞)上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
， ，
当 时， ，所以仅在 时存在1个零点．
（3） ，所以 ， ，…，
将各式相乘得 ，
两侧同时运算极限，所以 ，
即 ，
令 ，原式可化为 ，又 ，由（1）得 ，
故 ，由题意函数 的定义域为 ，
综上，
【点睛】方法点睛：本题考查新定义，注意理解新定义，结合洛必达法则的适用条件，构造函数 ，
从而利用洛必达法则求极限.
