文档内容
专题 18 洛必达法则
目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
题型01 洛必达法则的直接计算...............................................................................................................................1
题型02 洛必达法则解决最值问题...........................................................................................................................3
题型 01 洛必达法则的直接计算
【解题规律·提分快招】
一、前言
在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个
无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们
的比值，就需要运用到洛必达法则。
二、洛必达法则定义
在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。
三、法则形式
1、法则1（ 型）：若函数 和 满足下列条件：
（1）设当 时， 及 ；
（2）在点 处函数 和 的图像是连续的，即函数 和 在点 处存在导数；
（3） ；则： .
2、法则2（ 型）： 若函数 和 满足下列条件：
(1) 及 ；
(2)在点 处函数 和 的图像是连续的，即函数 和 在点 处存在导数；
(3) ，则： .3、法则3（ 型）：若函数 和 满足下列条件：
(1) 及 ；
(2)在点 处函数 和 的图像是连续的，即函数 和 在点 处存在导数；且 ；
(3) ，则： = .
【特别提醒】
（1）将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立。
（2）洛必达法则可处理 型。
（3）首先要检查是否满足 型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个
前提条件时，就不能用洛必达法则
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
（5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题。
四、适用类型的转化
（1） 型的转化： 或 ；
（2） 型的转化：
（3） 、 型的转化：幂指函数类
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·吉林长春·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，
用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再
求极限来确定未定式值的方法.如： ，按此法则有
（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-2
2．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：当 时， 的极限即为 型.两个
无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如： ，
则 （ ）
A．0 B． C．1 D．2
二、填空题
3． 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数
之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如： ，按此方法则有 ．
题型 02 洛必达法则解决最值问题
【典例训练】
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习） 恒成立,求 的取值范围
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．当 时 ，求 的取值范
围．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，如果当 ，且 时， ，
求 的取值范围．
4．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若
函数 ， 的导函数分别为 ， ，且 ，则
.
②设 ，k是大于1的正整数，若函数 满足：对任意 ，均有 成立，且
，则称函数 为区间 上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断 是否为区间 上的2阶无穷递降函数；(2)计算： ；
(3)证明： ， .
一、单选题
1．（23-24高三下·北京朝阳·期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，
为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定
式值的方法，如 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
2．（23-24高三下·新疆伊犁·期中）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：当
时， 的极限即为 型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出
洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：
，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
二、解答题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，当 时， ，求实数a的取值范
围.
4．（2024高三·全国·专题练习） ， 恒成立，求 的取值范围
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若当 时，恒有 成立，求实
数 的取值范围．
6．（2024高三·全国·专题练习）设函数 ，
(1)若 ， （ 为常数），求 的解析式；
(2)在（1）条件下，若当 时， ，求 的取值范围．7．（23-24高三下·山东泰安·期中）①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果
， ，则 ，
，若B≠0，则 ；ii)洛必达法则：若函数
， 的导函数分别为f′(x)， ， ， ，则
；
②设 ，k是大于1的正整数，若函数 满足：对 ，均有 成立，则称函数
为区间(0,a)上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题；
(1)计算：① ；
② ；
(2)试判断 是否为区间 上的2阶无穷递降函数；并证明： ， .
8．（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式 型或 型极限的一种重
要方法，其含义为：若函数 和 满足下列条件：
① 且 （或 ， ）；
②在点 的附近区域内两者都可导，且 ；
③ （ 可为实数，也可为 ），则 ．
(1)用洛必达法则求 ；
(2)函数 （ ， ），判断并说明 的零点个数；
(3)已知 ， ， ，求 的解析式．
参考公式： ， ．
