第14 讲函数零点问题
（知识清单+5 典例精讲+7 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
零点存在性判定、零点个数判断，利用 f (a)⋅f (b)<0 判断区间零点
单选、填空
题
5 分
基础零点求解、零点与方程根的等价转化 f ( x)=0⇔ 方程根
单选题
5 分
数形结合判断零点个数，转化 f ( x)= g( x) 交点问题
填空题
5 分
复合函数零点、零点存在区间判断，结合单调性判定唯一零点
单选、多选
题
5 分/6 分
二分法区间判定、零点近似区间缩选，中点公式x0= a+b
2
应用
单选题
5 分
导数与零点综合，已知零点个数求参数范围，利用函数最值正负判定零点
解答题
5 分/ 12 分
指对函数零点问题、零点大小比较，结合函数单调性分析零点分布
单选题
5 分
含参函数零点存在性问题，利用 f (a)⋅f (b)<0 求参数取值范围
填空题
5 分
多零点存在性证明、零点个数讨论，结合导数分析函数极值与零点关系
解答题
5 分/ 12 分
【知识点01】函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x),我们把使f(x)＝0 的实数x 叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0 有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)
内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c 也就是方程f(x)＝0 的解.
【例1】求函数 f ( x)= x
2−5 x +6 的零点。
解析：令 f ( x)=0，得
x
2−5 x +6
=0
( x−2)( x−3)
=0
解得 x =2 或 x =3，故此函数零点为 2,3。
【知识点02】二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0 的函数y＝f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所
得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
【例2】已知函数 f ( x)= x
3−2 x −1 在区间 (1,2) 内存在唯一零点，用二分法确定第一次缩小区间。
解析：取区间端点 a=1,b=2
x0= 1+2
2
=1.5
代入求值：
f (1)
=1−2−1=−2<0
f (1.5)
=1.5
3−2×1.5−1=−0.625<0
f (2)
=8−4−1=3>0
由 f (1.5)⋅f (2)<0，可得零点所在区间缩小为 (1.5,2)。
【题型一】求函数的零点
【例1】（2025·河北邯郸·一模）已知函数
的定义域为
，
，且
，若
，则
的零点为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】首先分析
在
上单调递增，再利用换元法设
，得到
，解出值，则得到
，
再令
，解出即可.
【详解】由题意知
在
上单调递增，
设
，且为正常数。
则
，则
，
，解得
或
（舍去），
则
，
，令
，解得
.
故选：C.
【例2】（多选）（2025·广东广州·三模）函数
的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能
为函数
的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】求出
的零点和极值点，对
，
在取不同符号的值的情况下
可能的图象进行分类讨论，选出符合题
意的图象．
【详解】令
，得
，
，令
，得
，
若
，
，则
，且
时，
恒成立，
时，
，
递减，
，
，
递减，
，
，
递增，故D 正确；
若
，
，则
，且
时，
恒成立，
时，
，
递增，
时，
，
递减，
时，
，
递减，故B 正确；
若
，
，则
，且
时，
恒成立，
时，
，
递减，
时，
，
递增，
时，
，
递增，故C 错误；
若
，
，
，且
时，
恒成立，
时，
，
递增，
，
，
递增，
，
，
递减，故A 错误；
综上，A,C 错误，B,D 正确．
故选：BD．
【例3】（2025·山东·模拟预测）函数
的零点为________.
【答案】5
【分析】令
，得
解出即可求解.
【详解】令
，得
，所以
，解得
或
（舍去）.
故答案为：5
【变式1】（2026·河南濮阳·一模）已知函数
的零点分别为
，
则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将问题转化为图象交点的横坐标，数形结合可得；或利用函数的单调性以及零点存在性定理可比较.
【详解】法1：由题意可知，
分别为
与
的函数图象的交点的横坐标，
图象如图：
由图可知，
；
法2：易知，
均为增函数，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
.
故选：A
【变式2】（多选）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】对于选项A 和C，都满足定义域关于原点对称且
，所以是偶函数，令
能解出实数解，
所以存在零点；对于选项B，不满足
，所以函数不是偶函数；对于选项D，令
不能解出实数解，
所以不存在零点.
【详解】对于选项A，因为函数
的定义域为
，且
，所以
是偶函数；令
解得
，所以函数存在零点，
故选项A 正确.
对于选项B，因为
，所以该函数不是偶函数，故选项B 错误.
对于选项C，因为函数
的定义域为
，且
，所以
是偶函数；令
解得
，所以函数存在零点，
故选项C 正确.
对于选项D，令
，即
，无实数解，所以函数不存在零点，
故选项D 错误.
故选：AC
【变式3】（2025·全国·模拟预测）我们不妨定义：使函数值为0 的自变量的值，称为该函数的零点.例如：函数
的零点为1 和
.若函数
的零点是
和
，则函数
的零点是______.
【答案】
和
【分析】先根据函数零点的定义得到关于
、
的等式，再将其代入到所求函数中，最后求解该函数的零点.
【详解】先将二次函数
展开得到
.
根据韦达定理，若方程的两根为
和
，得出
，
.
已知
，
令
，解得
,
.
故答案为：
和
.
【题型二】求函数零点或方程根的个数
【例4】（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数
和
，下列说法中正确的有
（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
与
有相同的最大值
C．
与
有相同的最小正周期
D．
与
的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A 选项，令
，解得
，即为
零点，
令
，解得
，即为
零点，
显然
零点不同，A 选项错误；
B 选项，显然
，B 选项正确；
C 选项，根据周期公式，
的周期均为
，C 选项正确；
D 选项，根据正弦函数的性质
的对称轴满足
，
的对称轴满足
，
显然
图像的对称轴不同，D 选项错误.
故选：BC
【例5】（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为
的函数
满足
，当
时，
，则
当
时，函数
的零点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据递推关系可得
的解析式，将问题转化为函数
与直线
交点个数问题，采用数形结
合的方式可求得结果.
【详解】
，
，
，
，
，
，
；
函数
的零点个数等价于函数
与直线
的交点个数；
作出
与
的图象如下图所示，
结合图象可知：当
时，
与
在每个区间
上有且仅有一个交点，则当
时，
与
共有
个交点；
当
时，
与
没有交点，即当
时，
与
没有交点；
当
时，
与
有且仅有一个交点
，即当
时，
与
有且仅有个交点；
当
时，
，
，二者没有交点，即当
时，
与
没有交点；
综上所述：当
时，函数
的零点个数为
个.
【例6】（2024·广东·一模）已知
，函数
.
(1)求
的单调区间.
(2)讨论方程
的根的个数.
【答案】(1)减区间为：
，
；增区间为：
.
(2)
【分析】（1）求导，利用导函数的符号可确定函数的单调区间.
（2）利用函数的单调性，确定函数值的符号和最值，可确定方程零点的个数.
【详解】（1）因为
（
）.
所以：
.
由
，又函数定义域为
，
所以函数在
和
上单调递减，在
上单调递增.
（2）因为
，所以：当
时，
，方程
无解；
当
，函数在
上递减，在
递增，
所以
，所以方程
无解.
综上可知：方程
的根的个数为
.
【变式1】（2024·河南·二模）已知函数
是偶函数，对任意
，均有
，当
时，
，则函数
的零点有__________个.
【答案】4
【分析】转化为函数
的图象与
的图象的交点个数即可求解.
【详解】函数
是偶函数，说明函数
的图象关于
轴对称，
说明
的周期是2，
在同一平面直角坐标系中画出函数
的图象与
的图象，如图所示：
如图所示，共有4 个不同的交点，即
有4 个零点.
故答案为：4.
【变式2】（2026·江苏徐州·模拟预测）设函数
和
的定义域为D，若存在非零实数
，使得
，则称函数
和
在D 上具有性质
.现有下列三组函数：
①
，
；②
，
；③
，
．
其中具有性质
的是_______.（填序号）
【答案】①③
【分析】通过验证每组函数对应的
是否存在非零实数解，判断其是否具有性质
.
【详解】对于①，令
，即
，
因式分解得
，解得
或
，
为非零实数，故满足性质
.
对于②，令
，即
，变形为
，
两边取自然对数得
，整理得
，解得
，
无满足条件的非零实数，故不满足性质
.
对于③，令
，即
，化简为
，
当
时，左边
，右边，等式成立；
当
时，左边
，右边
，等式成立；
和
为非零实数，故满足性质
.
故答案为：①③.
【变式3】（2025·安徽·一模）已知函数
.
(1)若
，求
在
上的极大值；
(2)若函数
，讨论函数
在
上零点的个数.
【答案】(1)极大值为0，
(2)答案见详解
【分析】（1）求出导数，列表分析
随
变化情况，根据单调性和极值定义求解；
（2）化简得
，令
，得
或
，分
或
，
，
，
讨论判断方程
解得个数得解.
【详解】（1）当
时，
，
则
，
令
，得
或
或
，
因此，当
变化时，
，
的变化情况如下表所示：
0
+
0
0
单调递减
单调递增
单调递减
单调递增
所以当
时，
有极大值，极大值为
.
（2）
，
当
时，由
，得
或
，
其中
，
，则
，
当
或
时，方程
无解，此时函数
只有一个零点
，
当
时，方程
只有一解为
，此时函数
只有一个零点，
当
时，方程
有两个不同的解且均不等于
，此时函数
有三个零点，
当
时，方程
有一解且不等于
，此时函数
有两个零点.
综上，当
或
时，函数
只有一个零点，
当
时，函数
有三个零点，
当
时，函数
有两个零点.
【题型三】函数零点存在性定理
【例7】（2026·山东泰安·一模）函数
的零点所在的大致区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】计算函数在各区间端点的函数值，利用零点存在定理，判断函数值异号的区间，从而确定零点所在的大致区
间.
【详解】
因为
，且函数
是连续函数，所以零点在区间
内.
故选：C
【例8】（多选）（2025·甘肃兰州·一模）已知函数
和
，以下判断正确的是（ ）
A．函数
在区间
内有唯一的零点
B．
时，
C．
时，
D．存在正实数a，当
时，对于任意大于1 的正实数N，
【答案】AD
【分析】利用不等式性质以及零点存在性定理，可得答案.
【详解】由于
，
当
时，
，则
，
当
时，
，
故当
时，
，则
，
故必有
，使
，因此A 正确，B 错误．
对于任意正数
，
当
时，
，
取
，当
时，对于任意大于1 的正实数N，
因此D 正确，而当
时
，故C 错误．
故选：AD.
【例9】（2025·湖南·模拟预测）已知
，若
在
上有解，则
的最小值是_____．
【答案】12
【分析】根据题意，
的最小值即为原点到直线
的距离的平方，从而求解．
【详解】因为函数
，
又
在
上有解，
设这个解是
，则
，
则
，即
，
即点
可看作在动直线
上，则
可转化为点
到原点距离的平方的最小值．
则
，令
，
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，此时
，
则
．
故答案为：12.
【变式1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数
，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题得
，令
，由函数性质可知
为增函数，
又
，
，根据零点存在性定理可知：
，
即
的取值范围为
.
【变式2】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数
，若
在
有唯一的极值点且为极大
值点，则a 的取值范围为____________.
【答案】
【分析】先对函数进行求导，根据题意由零点的存在性定理得
，再由对称轴
在区间
右侧可
推出
，解不等式组即可求解.
【详解】解：函数
，则
，
因为
在
有唯一的极值点且为极大值点，
所以根据零点的存在性定理得
，
的图象是开口向上的抛物线，对称轴为
，
由于对称轴
在区间
右侧，
要使
在
内有唯一的变号零点，则需满足
，
而
，
，
则不等式组
可化为
，解得
，
综上,
的取值范围为
.
故答案为：
.
【变式3】（2026·浙江·模拟预测）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)试判断曲线
与直线
在
上公共点的个数；
【答案】(1)单调递增区间
，
；单调递减区间为
，
(2)2
【分析】（1）对函数求导，利用正弦函数的图象性质求解导函数不等式即得函数的单调区间；
（2）令
，利用导数判断其单调性，结合特殊值
与零点存在定理求出函数
的
零点个数，即曲线
与直线
在
上公共点的个数.
【详解】（1）由题意，
，
因为
，则由
可得
，
即当
，
时，
单调递增；
由
可得
，
即当
，
时，
单调递减，
综上，函数
的单调递增区间为
，
；单调递减区间为
，
.
（2）令
，则
，
设
，则
，
所以当
时，
，则
（即
）在
上单调递增；
当
时，
，
（即
）在
上单调递减，
因为
，
，
，
所以存在唯一的
，使得
，
故当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
又
，
，
所以存在唯一的
，使得
，
综上可得函数
在
上存在两个零点0 和
，
所以曲线
与直线
在
上公共点的个数为2.
【题型四】函数零点的分布
【例10】（2024·全国甲卷·高考真题）曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的取值
范围为______．
【答案】
【分析】将函数转化为方程，令
，分离参数
，构造新函数
结合导数求得
单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令
，即
，令
则
，令
得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
，
因为曲线
与
在
上有两个不同的交点，
所以等价于
与
有两个交点，所以
.
故答案为：
【例11】（2026·河南南阳·二模）已知函数
，若
在区间
上恰有5 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意，
，
，
因为
在区间
上恰有5 个零点，所以由正弦函数性质得
，
解得
．
【例12】（多选）已知函数
为定义在
上的单调函数，且
10.若函数
有3 个零点，则
的取值可能为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】BC
【分析】令
，然后可得
，进一步作出图象可得结果.
【详解】因为
为定义在
上的单调函数，所以存在唯一的
，使得
，
则
，
即
，
因为函数
为增函数，且
10，所以
.
当
时，由
，得
；当
时，由
，得
.
结合函数的图象可知，若
有3 个零点，则
.
故选：BC
【变式1】（2026·河北沧州·一模）已知函数
,若函数
至少有7 个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用分类讨论
，再通过数形结合来研究函数零点个数，即可得参数范围.
【详解】当
时，
，对称轴为
，所以
在
上单调递增，函数图象如下：
令
，解得
或
，
即
或
，根据图象
有2 个解，
有1 个解，所以此时
有3 个零点，不符合题意；
当
，
时，
，对称轴为
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，函数图象如下：
令
，解得
或
或
，
根据图象
有2 个解，
有3 个解，
又
至少有7 个零点，所以
至少有2 个解，
即
，解得
．
故选:D．
【变式2】（2025·山西临汾·二模）已知
，函数
，若函数
有三个零点，则实数
的取值范围是______.
【答案】
【分析】分
与
两种情况讨论方程
根的情况可求得实数
的取值范围.
【详解】因为函数
有三个零点，即方程
有三个解，
当
时，方程为
，即
，即
，
因为
，所以
，所以方程有两个根，又
，
所以
有一个正根与一个负根，
又
，所以
有一正的零点，
当
时，方程为
，即
因为函数
有三个零点，所以方程
有两个非正根，
所以
，解得
，又
，所以
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式3】（2024·河南·模拟预测）设
且
，函数
.
(1)当
时，求不等式
的解集；
(2)若函数
在区间
上有零点，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）化简不等式
为
，按照
和
分类讨论，利用对数函数
的单调性解不等式即可；
（2）将零点问题转化为
有解，设
，则
，利用函数
的单调
性求解参数范围即可.
【详解】（1）当
时，不等式
可化为
，
若
，则
，解得
，
所以不等式
的解集为
；
若
，则
，解得
，
所以不等式
的解集为
；
综上所述，当
时，不等式
的解集为
；
当
时，不等式
的解集为
；
（2）由题意可知
，
令
，即
，因为
，所以
，
所以
，所以
，
设
，则
，
因为函数
在
上单调递减，
所以
，所以
.
【题型五】用二分法求方程的近似解
【例13】（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数
在
内的零点近似值，若精确度要求为
，则需重复相同步骤的次数至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】二分法每次取区间中点，区间长度变为原来的一半，由题可得区间初始长度为，则第一次使用二分法后区
间长度变为
，第二次使用二分法后区间长度变为
，第三次使用二分法后区间长度变为
，以此类推，当区
间长度小于精确度时即可停止.
【详解】解：原始区间长度为
，
第一次，区间长度减半，为
，
第二次，区间长度减半，为
，
第三次，区间长度减半，为
，
第四次，区间长度减半，为
，
故至少需要重复四次.
故选：B.
【例14】（多选）（2024·广东东莞·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．方程
的解在
内
B．函数
的零点是
C．函数
有三个不同的零点
D．用二分法求函数
在区间
内零点近似值的过程中得到
，则零
点近似值在区间
上
【答案】ACD
【分析】对A，构造函数
，利用零点存在性定理和单调性可得；对B，根据零点定义可知；对C，作
出
的图象，观察其交点个数可得；对D，根据零点存在性定理可得.
【详解】对A，记
，易知
都在
单调递增，
所以
在
上单调递增，又
，
所以
存在唯一零点
，且
，
即方程
的唯一解在
内，所以A 正确；
对B，令
，解得
或
，
所以函数
的零点是
或，所以B 错误；
对C，作出
的图象如图：
当
时，函数
和
的图象显然有一个交点，
又
，所以函数
和
的图象在
处相交，
所以
有三个不同的零点，所以C 正确；
对D，因为
，所以由零点存在性定理可知，零点近似值在区间
上，所以D 正确.
故选：ACD
【例15】已知方程
的根在区间
上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．
【答案】
【分析】由题意构造函数
，求方程的一个近似解，就是求函数在某个区间内有零点，分析函数值的
符号是否异号即可．
【详解】解：令
，其在定义域上单调递增，
且
，
，
，
由f（2.5）f（3）＜0 知根所在区间为
．
故答案为：
．
【变式1】用二分法求方程
近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先判断函数
的单调性，再判断区间端点处的函数值的符号，结合零点存在性定理判断即可.
【详解】设函数
，
因为函数
和
都是增函数，
所以函数
在
上单调递增；
又
，
，
因此，所取的第一个区间可以是
，
故选：B.
【变式2】（多选）（2024·江苏无锡·模拟预测）下列命题错误的是（ ）
A．当
时，函数
的图象是一条直线
B．命题“
，都有
”的否定是“
，使得
”
C．用二分法求函数
在区间
内的零点近似值，至少经过
次二分后精确度达到
D．某同学用二分法求函数
的零点时，计算出如下结果：
，
，
，
，
，
，则1.375 和1.4 都是精确度为
的近似零点
【答案】ABD
【分析】根据幂函数的性质即可求解A，根据全称命题的否定为特称命题即可求解B,根据二分法的性质即可求解CD.
【详解】对于A, 当
时，函数
，故图象是两条射线，A 错误，
对于B，命题“
，都有
”的否定是“
，使得
”，故B 错误，
对于C，开区间
的长度等于1，每经过一次操作长度变为原来的一半，
则经过
次操作之后，区间的长度变为
，故由
，得
，所以
，
即至少经过4 次二分后精确度达到0.1，故C 正确；
对于D，由于
，所以
的任何一个值均为精确度为
的近似
零点，故D 错误，
故选：ABD
【变式3】若函数
有零点，但不能用二分法求其零点，则实数
的值为______．
【答案】2 或
或2
【分析】根据题意，可知函数
图象在
轴上方或下方（包括
轴），且与
轴有交点，分类讨论当
时，
能用二分法求零点，不符合题意；当
，再根据二次函数的图象与性质，可知二次函数
的
图象与
轴有1 个交点，由
即可求出
的值.
【详解】解：由题意得，函数
有零点，但不能用二分法求其零点，
可知函数
图象在
轴上方或下方（包括
轴），且与
轴有交点，
当
，即
时，
，能用二分法求零点，不符合题意；
当
，即
时，此时
为二次函数，
而
有零点，但不能用二分法求其零点，
可知函数
的图象与
轴有1 个交点，
即
有两个相等实根，
所以
，解得：
或
.
故答案为：2 或
.
【解题大招01】零点等价转化技巧
将零点问题、方程根问题、图象交点问题三者互相转化，是解决所有零点题型的通用思路
【例1】判断方程 2
x= x +2 零点个数
解析：将方程转化为两个函数图象交点问题：令 y =2
x , y = x +2
通过图象可判断两函数有2 个交点，故方程有2 个零点。
【解题大招02】零点存在性快速判定技巧
连续函数区间端点函数值异号，则区间内必有零点；若函数单调，则零点唯一。
核心公式
f ( x)在[a,b]连续,f (a)⋅f (b)<0⇒∃x0∈(a,b),f ( x0)=0.
【例2】判断f ( x)= x
3+ x −1 在区间 (0,1) 内零点情况
解析：f (0)
=0+0−1=−1<0
f (1)
=1+1−1=1>0
f (0)⋅f (1)<0，且 f
'( x)=3 x
2+1>0，函数单调递增
故函数在 (0,1) 内有且仅有一个零点。
【解题大招03】零点个数数形结合速判技巧
复杂方程不求解，拆分两个初等函数，利用图象交点个数判定零点个数，规避复杂运算。
转化思路
f ( x)=0⇒g( x)=h( x)，交点个数即为零点个数
【例3】求函数 f ( x)= ln x +2 x−6 零点个数
解析：定义域 (0,+∞)，y = ln x 与 y =−2 x +6 在定义域内仅有1 个交点，故函数仅有1 个零点。
【解题大招04】区间存在零点求参数技巧
一次、二次函数在开区间存在零点，优先使用端点异号法列不等式求解参数范围。
核心结论
一次函数 f ( x)=kx +b 在 (m,n) 存在零点 ⇒f (m)⋅f (n)<0
【例4】已知 f ( x)=mx +2 在 (1,3) 内存在零点，求 m 的取值范围
解析：
f (1)⋅f (3)<0
(m+2)(3m+2)<0
解得：−2<m<−2
3
即 m∈(−2,−2
3 )
【解题大招05】二分法区间快速锁定技巧
区间中点，代入函数判断符号，依据异号缩小区间。
核心公式x0= a+b
2
判定规则{f (a)⋅f ( x0)<0⇒零点∈(a, x0)
f ( x0)⋅f (b)<0⇒零点∈( x0,b)
【例5】已知 f ( x) 在 (2,3) 有零点，f (2)<0,f (2.5)>0，锁定零点区间
解析：f (2)⋅f (2.5)<0，故零点所在区间为 (2,2.5)。
【解题大招06】复合函数零点分层换元技巧
由外到内分层换元，先解外层方程，再回代求解内层方程，分层计数不重不漏。
解题步骤
令 t = g( x)，先解 f (t )=0，再解 g( x)=t
【例6】求 f ( x)=( x
2−2)
2−1=0 的零点个数
解析：令 t = x
2−2
t
2−1
=0
t
=±1
① x
2−2=1⇒x
2=3⇒x =± ❑√3
② x
2−2=−1⇒x
2=1⇒x =±1
综上，函数共有4 个零点。
【解题大招07】零点有无最值判定技巧
利用函数最值正负，快速判定区间内有无零点，规避繁琐讨论。
核心结论
1. f ( x)min>0⇒ 区间内无零点
2. f ( x)max<0⇒ 区间内无零点
【例7】判断 f ( x)= x
2−2 x +2 有无零点
解析：f ( x)=( x −1)
2+1，f ( x)min=1>0
函数恒大于0，故无零点。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数
，则方程
根的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】根据分段函数的组成，分别求解方程计算即得.
【详解】因
，
当
时，
即
，解得
或
，均符合题意；
当
时，
即
，解得
，符合题意.
故方程
根的个数为3.
2．（2026·山东青岛·三模）函数
在
的零点个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】方法一求出
的范围，再由函数值为零，得到
的取值即得零点个数，方法二先求出函数的所有零
点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点即可．
【详解】方法一：
，
，
由题可知
，
或
，
解得
，
，或
，故有3 个零点．
方法二：令
，
即
，
，解得
，
，
分别令
，解得
，
，
，
所以函数
在
的零点的个数为3.
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】解法一：令
，分析可知曲线
与
恰有一个交点，结合偶函数的
对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得
，并代入检验即可；解法二：令
，可知
为偶函数，根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，即可得
，并代入检验即可.
【详解】解法一：令
，即
，可得
，
令
，
原题意等价于当
时，曲线
与
恰有一个交点，
注意到
均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，
可得
，即
，解得
，
若
，令
，可得
因为
，则
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
则方程
有且仅有一个实根0，即曲线
与
恰有一个交点，
所以
符合题意；
综上所述：
.
解法二：令
，
原题意等价于
有且仅有一个零点，
因为
，
则
为偶函数，
根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，
即
，解得
，
若
，则
，
又因为
当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
即
有且仅有一个零点0，所以
符合题意；
故选：D.
二、多选题
4．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数
，函数
，下列选项正确的是
（ ）
A．方程
无实数解
B．方程
有且仅有两个解
C．方程
有且仅有三个解
D．方程
有且仅有四个解
【答案】BC
【分析】对于A，由题
等价于
，解方程
即可判断A；对于B，直接解方程
即可得判断；对于C，直接解方程
即可得解判断；对于D，由题
等
价于
，解方程
即可得解.
【详解】对于A，由题可知
，故
等价于
，
即
，故方程
有实数解，故A 错误；
对于B，方程
即
，
故
，解得
，故B 正确；
对于C，方程
即
，
故解方程
得
或
，故C 正确；
对于D，因为
，方程
等价于
，
故由函数
得方程
的解为
，故D 错误.
故选：BC.
三、填空题
5．（2025·全国·模拟预测）已知函数
有三个零点，则实数
的取值范围是______.
【答案】
【分析】分析函数
的零点个数，利用导数法讨论函数
的单调性与最值,再判断函数
在每段上的零点个数,根据零点分布情况建立不等式组，求得实数
的取值范围.
【详解】由题可得，函数
最多只有一个零点.
若零点
存在，则
，解得
，
又由
，得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
，
且当
时，
，
所以
最多有两个零点.
因为
有三个零点，所以
有两个零点，
则
，
解得
，所以实数
的取值范围为
.
综上可得：实数
的取值范围为
.
故答案为：
6．（2025·广东江门·一模）若多项式
能被
整除，则
______.
【答案】2
【分析】由题意
和
是
的零点，进而列方程组求得
，即可得解.
【详解】因为多项式
能被
整除，而
，
所以
和
是
的零点，
所以
即
，解得
，所以
.
故答案为：2
7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
则
的零点之和为_____________．
【答案】1
【分析】分
和
直接解方程即可.
【详解】当
时，令
，得
；
当
时，令
，得
,
所以
的零点之和为
．
四、解答题
8．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数
．
(1)求函数
的单调递增区间；
(2)若函数
有且仅有三个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用求导，导数值大于0 来求单调递增区间即可；
（2）利用函数的单调性和取值情况，分析可得
的取值范围.
【详解】（1）由
，得
，
令
，得
，解得
．
所以
的单调递增区间为
（2）令
，解得
或
．
当
变化时，
，
的变化情况如下表所示：
0
2
0
0
单调递
减
1
单调递
增
单调递
减
由函数
有且仅有三个零点，
得方程
有且仅有三个不等的实数根，
所以函数
的图象与直线
有且仅有三个交点．
显然，当
时，
；当
时，
．
所以由上表可知，
的极小值为
，
的极大值为
，
故
．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2025·江苏扬州·三模）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】根据五点法作图，在同一坐标系中画出函数图形，判断交点个数.
【详解】作
图像，列表：
0
0
1
0
0
1
0
0
作
图像，列表：
0
0
2
0
0
2
0
在同一坐标系中画出图形，如下图所示，
则两个函数在
上有4 个交点.
故选：B.
2．（2026·江苏镇江·二模）已知函数
有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出函数
的导数，再按
分类讨论函数单调性，结合有两个零点列出不等式求解.
【详解】函数
的定义域为R，求导得
，而
，
当
时，
，函数
在R 上单调递减，函数
最多一个零点，不符合题意；
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
而当
时，
，当
时，
，
函数
有两个零点，当且仅当
，令函数
，
而函数
在
上都单调递增，则函数
在
都单调递增，
又
，因此不等式
的解集为
.
所以实数m 的取值范围是
.
二、多选题
3．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数
与
的图象上存在关于
轴
对称的点，则实数
的取值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】求出函数
关于
轴对称的函数为
，转化为方程
在
时
有解，构造函数，利用函数的单调性和零点存在性定理，确定
的取值范围.
【详解】由题意等价于当
时，
与
的图象有交点，
又
，则
，即
，
即方程
在
时有解，
令
，显然
在
上单调递增，
当
时，
趋于
时，
，则只需
，即
；
当
时，
趋于
时，
趋于
时，
，即
在
上有解，
综上，实数
的取值范围为
.根据选项可得答案为A､B､C.
故选：ABC.
4．（2025·四川眉山·模拟预测）已知函数
函数
，则下列结论正
确的是（ ）
A．若关于
的方程
恰有1 个实数根，则
的取值范围是
B．若关于
的方程
恰有2 个不同的实数根，则
的取值范围是
C．若
有5 个零点，则
的取值范围是
D．
可能有6 个零点
【答案】BC
【分析】作出
的大致图象，对于A 和B，只需通过平移直线观察它与的图象的交点情况即可得解；对于CD，首
先若
，则有
或
，数形结合即可建立
的不等式组并求解，
即可判断.
【详解】如图，作出
的大致图象，
由图可知，
若关于
的方程
恰有1 个实数根，则
的取值范围是
，故A 错误；
若关于
的方程
恰有2 个不同的实数根，则
的取值范围是
，故B 正确.
令
，得
，解得
或
.
若
有5 个零点，则
或
解得
，故C 正确.
若
有6 个零点，则
解得
，则
最多有5 个零点，故D 错误.
故选：BC.
三、填空题
5．（2022·广东汕头·一模）为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、假设待检测的总人数是
（
）将
个人的样本混合在一起做第1 轮检测（检测一次），如果检测结果为阴性，可确定这批人未感染；如
果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组
人的样本混合在一起做第2 轮检测，
每组检测1 次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而将每轮检测后结果为阳性的组在平均分成两组，
做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必须通过检测来确定）.若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”
检测，经过4 轮共7 次检测后确定了所有感染者，则感染者人数最多为______人.若待检测的总人数为
，且
假设其中有不超过2 名感染者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n 的最大值为______.
【答案】 2
【分析】利用二分检测法求解.
【详解】若待检测的总人数为8，则第一轮需检测1 次，第2 轮需检测2 次，第3 轮需检测2 次，第4 轮需检测2 次，
则共需检测7 次，此时感染者人数最多为2 人；
若待检测的总人数为
，且假设其中有不超过2 名感染者，
若没有感染者，则只需1 次检测即可；
若只有1 个感染者，则只需
次检测；
若只有2 个感染者，若要检测次数最多，则第2 轮检测时，2 个感染者不位于同一组，
此时相当两个待检测均为
的组，
每组1 个感染者，此时每组需要
次检测，
所以此时两组共需
次检测，
故有2 个感染者，且检测次数最多，共需
次检测，
所以采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n 的最大值为
.
故答案为：2，
四、解答题
6．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
.
(1)若
为
上的单调函数，求k 的取值范围；
(2)若函数
，求证：k 可以取无数个值，使得每一个
的取值
都恰有三个不同的零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数的单调性可得
或
，继而即可求解；
（2）
是奇函数，所以只需证明：
存在无数个取值使得
在
上恰有一个零点.利用二次求导分析
的单调性，结合零点存在定理即可证明.
【详解】（1）
，
因为
为
上的单调函数，
所以对任意
，有
；或对任意
，有
，
即
恒成立，或
恒成立，
所以
的取值范围是
.
（2）
，且
，
所以
是奇函数，
所以只需证明：
存在无数个取值使得
在
上恰有一个零点.
，令
，
由（1）知，
时，
在
上是减函数.
所以，
在
上是减函数.
，故存在
.
当
变化时，
的变化情况如下表：
0
2
+
0
0
极大值
故
时，
.
故存在唯一的
.
于是
时，
在
上存在唯一的零点.
于是
存在无数个取值使得
恰有三个不同的零点.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
的零点分别为
，则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，再利用数形结合即可求出结果.
【详解】由
及
得
，
由
及
得
，
由
及
得
，
由函数
的零点分别为
，
可得函数
，
，
与
图象交点的横坐标分别为
，
在同一坐标系中分别作出函数
，
，
，
的图象如图，
由图知
2．（2026·四川绵阳·三模）将函数
的零点从小到大排列构成数列
，则
的前8
项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简函数，然后直接求出零点即可得解.
【详解】
，
令
，则
或
，
所以
或
，
将
的零点从小到大排列：
，
所以数列
的前8 项和为
.
二、多选题
3．（2026·重庆·三模）已知函数
则（ ）
A．∃a R
∈，使得f（x）为偶函数
B．∃a R
∈，使得f（x）存在零点
C．∀a R
∈，f（x）为增函数
D．∃a R
∈，使得f（x）的最小值为0
【答案】ABD
【详解】对A，若
为偶函数，则
，即
，则
时，
为偶函数，A 正确；
对B，当
时，
，
当
时，
单调递增，
单调递减，因此
在
上单调递增，
又
，由零点存在定理，
在
时必然存在零点，B 正确；
对C
时，
，故
不是单调递增函数，C 错误；
对D，设
，则
，在坐标系中作出
和
的图象，则
的图象是
向上和向右分别移动
个单位形成．
如图2 所示，当
与
的图象在第二象限相切时，
的最小值为零．D 正确.
三、填空题
4．（2026·广西崇左·二模）已知函数
有且仅有1 个零点，则
______．
【答案】1 或
【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性，根据偶函数的图象可判断零点位置．
【详解】因为
，且
的定义域为R，
故
为偶函数；
要使得
有且仅有1 个零点，必有
，
化简得:
，解得
或
；
验证：
当
时，
，
当
时，
，故
是零点，
当
时，因为
，
故
，因此，
仅有
这一个零点．
当
时，
，
当
时，
，故
是零点，
当
时，因为
，
故
，因此，
仅有
这一个零点．
经验证，
或
符合题意．
四、解答题
5．（2026·湖南湘潭·模拟预测）已知函数
，直线
与曲线
相切．
(1)求实数a 的值；
(2)若
是函数
的极大值点，求实数b 的取值范围；
(3)若
，且
在
上有且只有一个零点，求b 的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
【分析】（1）求定义域，求导，根据切线斜率得到方程，求出实数a 的值；
（2）求导，分
，
，
和
四种情况，分类讨论，得到答案；
（3）分
和
两种情况，分类讨论，解方程，求出答案
【详解】（1）
的定义域为
，
，
直线
与曲线
相切，设切点为
，
则
，故
，
，
又
，将
代入可得
，
解得
；
（2）
，
定义域为
，
，
显然
，
若
，则
恒成立，令
得
，令
得
，
故
为
的极小值点，不合要求；
若
，当
时，令
得
或
，
令
得
，
故
是函数
的极大值点，满足要求；
当
时，令
得
或
，令
得
，
故
是函数
的极小值点，不满足要求；
当
时，
恒成立，所以
在
上单调递增，
无极值点，不满足要求，舍去；
综上，
；
（3）
，定义域为
，
若
，此时
恒成立，不合要求；
若
，令
得
，解得
，函数在
上只有一个零点，满足要求，
综上，
即可
