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5.3 利用递推公式求通项公式（精讲）
考向一 公式法求通项
【例1-1】（24-25 四川）已知数列
的前
项和为
，且
，则
.
【例1-2】（24-25 上海）数列
的前n 项和
，则其通项公式
.
【例1-3】（2025·宁夏银川）已知数列
满足
，则数列
的通项公式为 .
【例1-4】（24-25 高二下·四川成都·期末）已知数列
的前n 项和为
，若
，则
．
【例1-5】（24-25 云南昭通·期中）已知数列
的首项
，
的前n 项和为
，且满足
，则数列
的通项公式为 ．
【一隅三反】
1．（24-25 辽宁）已知数列
中，前n 项和
，求
的通项公式为 .
2．（2025 广东中山）已知数列
的前
项和为
，且
，则数列
的通项公式是 .
3．（2025·山东济南·二模）已知数列
的前
项和为
，且满足
，则
4．（24-25 甘肃）在数列
中，
，则
的通项公式为 .
5．（2024·广东佛山·二模）设数列
的前
项之积为
，满足
（
），则
考向二 累加法求通项
【例2-1】（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
中，
，
，则
．
【例2-2】（2025·四川）已知数列
满足
，对任意
，
，
，则数列
的通项
公式为
.
【一隅三反】
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知
，
，则通项公式
.
2.（24-25 河北）在数列
中，
，
，则
的通项公式为
3.（23-24 四川绵阳）已知数列
满足
，
，则其通项公式为 .
4．（24-25 河南）记数列
的前
项和为
，已知
且
，则
.
考向三 累乘法求通项
【例3-1】（24-25 广东）在数列
中，
，
，则数列
的通项公式为
【例3-2】（2026 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，则数列
的通项公式为 ．
【例3-3】（2024 高三·全国·专题练习）在数列
中，
，前
项和
，则数列
的通项
公式为
【一隅三反】
1．（24-25 江苏连云港）已知数列
中，
，则
.
2．（24-25 黑龙江）已知数列
的各项为正数，且
，
，则
3．（2025·黑龙江）数列
中，
，当
时，
，则数列
的通项公式为 .
4（2024·四川泸州·三模）已知
是数列
的前
项和，
，
，则
.
考向四 构造等比数列（待定系数法）
【例4-1】（24-25 山西）若数列
的首项
，且满足
，则数列
的通项公式为
【例4-2】（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，且
，
，则数列
的通项公式为
.
【例4-3】（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，则数列
的通项公式为
.
【一隅三反】
1.（2024·河南·模拟预测）已知数列
满足
，且
，则an=
2.（23-24 上海·期末）数列
满足
，则数列
的通项公式为
.
3.（2024 广东）在数列
中，
，且
，则
的通项公式为 ．
考向五 构造等差数列（倒数法）
【例5-1】（24-25 河南）已知数列
中，
，且
，则
．
【例5-2】（2025 云南临沧）已知数列
中，
数列
的通项公式
【例5-3】（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
中，
，
，
，则数列
的通
项公式为 ．
【一隅三反】
1．（2025 湖北）若数列
满足
，且
，则数列
的通项公式为
_________.
2（2025·山西）已知数列{an} 满足a1=1，且
，且n N*
∈
），则数列{an}的通项公式为
3．（2025·山东青岛·二模）记等差数列
的前
项和为
，且
，则
．
考向六 其他方法求通项
【例6-1】（2025 山西）数列
，4，
，20，
的一个通项公式可以是（
……
）
A．
B．
C．
D．
【例6-2】（2025 湖北）已知
，且
，则数列
的通项公式为___________.
【一隅三反】
1．（2024·贵州黔南·二模）
，数列1，
，7，
，31，
的一个通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 海南）已知数列
中，
且
，则数列
的通项公式为____.
3．（2025·云南）设数列
的前
项和为
，且
.求
=
4（2025·北京）已知数列
满足
，
，则数列
的通项公式为
_____________.
5．（2024 黑龙江）已知数列{an}的前n 项和为
，
，
，求{an}的通项.
