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专题14 用导数研究函数的极值（最值）（一题
多变）
【典例展示】（2022·全国·高考真题）已知
和
分别是函数
（
且
）的极小值点和极大值点．若
，则a 的取值范围是 ．
【思路分析】思路一：转化法，零点的问题转为函数图象的交点.依题可知，方程
的两个根为
，即函数
与函数
的图象有两个不同的
交点，构造函数
，利用指数函数的图象和图象变换得到
的图象，利用导
数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.思路二：构造新函数，
二次求导.依题可知，设函数
，再次求导数，分类讨论.
【精细解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为
，所以方程
的两个根为
，
即方程
的两个根为
，
即函数
与函数
的图象有两个不同的交点，
因为
分别是函数
的极小值点和极大值点，
所以函数
在
和
上递减，在
上递增，
所以当时
，
，即
图象在
上方
当
时，
，即
图象在
下方
，图象显然不符合题意，所以
．
令
，则
，
设过原点且与函数
的图象相切的直线的切点为
，
则切线的斜率为
，故切线方程为
，
则有
，解得
，则切线的斜率为
，
因为函数
与函数
的图象有两个不同的交点，
所以
，解得
，又
，所以
，
综上所述，
的取值范围为
．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0 的两个根为
因为
分别是函数
的极小值点和极大值点，
所以函数
在
和
上递减，在
上递增，
设函数
，则g
，
若
，则
在
上单调递增，此时若
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，此时若有
和
分别是函
数
且
的极小值点和极大值点，则
，不符合题意；
若
，则g
在
上单调递减，此时若
，则
在
上单调递增，
在
上单调递减，令
，则
，此时若有
和
分别是函数
且
的极小值点和极大值点，且
，则需满足
，
，即
故
，所以
.
【题后反思】
本例是根据函数的极值点求参数范围，其中方法一，根据题意，转化成利用函数的零点与
两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，避免了繁琐计算，是该题
的最优解；方法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出
不等式，解出a 的范围，属于通性通法．作为该题的两种解法，都涉及到了“构造函数”，
值得注意.另外，某些“恒成立”问题，也可以转化成最值问题求解.
应用导数研究函数的极值、最值问题，是高考命题的热点，常见题型包括：
（1）求极值点、最值点；
（2）求极值、最值；
（3）根据极值点、最值点求参数范围；
（4）根据极值、最值求参数范围；
（5）极值点、最值点的辨析.
（6）函数的优化问题即实际问题中的最值问题.
【追根溯源】
1．求可导函数
极值的步骤
（1）第一步，求导数
．
（2）第二步，求方程
的所有实数根．
（3）第三步，考察每个根．
附近，从左到右，若导函数
的符号由正变负，则
是极大值；若导函数
的符号由负变正，则
是极小值，若在
的根
的左、右侧，
的符号不变，则
不是极值，所以，可导函数
在点
处取得极值的充要条件是
是
的变号零点．
2．函数的最大值与最小值
（1）设
是定义在区间
上的函数，且在
内有导数，求函数
在
上的最大值与最小值可分两步进行．
第一步，求
在
内的极值；
第二步，将
在各极值点的极值与
、
比较，其中最大的一个为最大值，
最小的一个为最小值．
（2）若函数
在
上是单调增函数，则
为函数的最小值，
为函数的最大
值；若函数
在
上是单调减函数，则
为函数的最大值，
为函数的最小
值．
3．极值与最值的关系
极值只是对某点附近而言，是局部最值；而最值是对整个区间或是对所考查问题的整体而
言．
4.利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的主要策略：①构造函数，利用导数求出最值，
进而求出参数的取值范围；②分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
有些不易分参的也可采用“同构”技巧．
5.解决恒成立、能成立问题的基本策略：分离变量，①构造函数，直接把问题转化为函数
的最值问题．②转化策略：a≥f (x)恒成立⇔a≥f (x)max ；a≤f (x)恒成立⇔a≤f (x)min；a≥f (x)
能成立⇔a≥f (x)min；a≤f (x)能成立⇔a≤f (x)max.
【变化角度】根据含参数函数的极值点，确定参数的大小关系.
（2021·全国·高考真题）设
，若
为函数
的极大值点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点
的性质，对
进行分类讨论，画出
图象，即可得到
所满足的关系，由此确定正确
选项.
【详解】若
，则
为单调函数，无极值点，不符合题意，故
.
有
和
两个不同零点，且在
左右附近是不变号，在
左右附近是变号的.
依题意，a 为函数
的极大值点，
在
左右附近都是小于零
的.
当
时，由
，
，画出
的图象如下图所示：
由图可知
，
，故
.
当
时，由
时，
，画出
的图象如下图所示：
由图可知
，
，故
.
综上所述，
成立.
故选：D
【变换角度】根据函数极值点的存在性，确定参数不等关系.
（2023·全国·高考真题）若函数
既有极大值也有极小值，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【思路分析】求出函数
的导数
，由已知可得
在
上有两个变号零点，
转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数
的定义域为
，求导得
，
因为函数
既有极大值也有极小值，则函数
在
上有两个变号零点，而
，
因此方程
有两个不等的正根
，
于是
，即有
，
，
，显然
，即
，A 错
误，BCD 正确.
故选：BCD
【变换角度】与导数的几何意义相结合，根据函数极值点情况求参数范围.
（2024·全国·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
【思路分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）思路一：求导，分析
和
两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得
，构建函数解不等式即可；思路二：求导，可知
有零点，可得
，进而利用导数求
的单调性和极值，分析可得
，构建函数解不等
式即可.
【详解】（1）当
时，则
，
，
可得
，
，
即切点坐标为
，切线斜率
，
所以切线方程为
，即
.
（2）解法一：因为
的定义域为
，且
，
若
，则
对任意
恒成立，
可知
在
上单调递增，无极值，不合题意；
若
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
有极小值
，无极大值，
由题意可得：
，即
，
构建
，则
，
可知
在
内单调递增，且
，
不等式
等价于
，解得
，
所以a 的取值范围为
；
解法二：因为
的定义域为
，且
，
若
有极小值，则
有零点，
令
，可得
，
可知
与
有交点，则
，
若
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
有极小值
，无极大值，符合题意，
由题意可得：
，即
，
构建
，
因为则
在
内单调递增，
可知
在
内单调递增，且
，
不等式
等价于
，解得
，
所以a 的取值范围为
.
【变换角度】研究函数的单调性并求极值，探索参数是否存在，使函数取得最小值.
（21-22 高三上·四川眉山·阶段练习）已知
，
，
，其中e
是自然对数的底数，
．
(1)讨论当a=1 时，函数
的单调性和极值；
(2)求证：在（1）的条件下
；
(3)是否存在正实数a，使
的最小值是3?若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．
【思路分析】（1）利用导数讨论得到函数的单调性，求出极值；
（2）先求出
在
上的最小值为1，再利用导数求
，
，即证；
（3）假设存在实数a，使
有最小值3.对a 进行分类讨论：①当
时，②当
时，分别求出最小值，解方程进行验证.
【详解】（1）∵当a=1 时，
，∴
．
∴当
时，
；当
时，
时.
∴
在区间
单调递减，在区间
单调递增，
∴
的极小值为
，无极大值．
（2）∵
的极小值为1，
∴
在区间
上的最小值为1，即
．
又
，∴当
时，
，
在区间
上单调递增．
∴
，∴
，
∴在（1）的条件下，
．
（3）假设存在正实数a，使
有最小值3，
则
．
①当
时，即
，由
，解得
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
所以
，
满足条件；
②当
时，即
，
，
在区间
上单调递减，
，
（舍去）．
综上，存在实数
使得当
时，
有最小值3
【点睛】方法点睛
（1）求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式求解，其判定方法为：设
函数
在某个区间内可导，如果
，则
在该区间内单调递增；如果
，则
在该区间内单调递减．
（2）利用导数证明不等式通常转化为最值问题.
（2024·云南·模拟预测）
1．已知函数
，且
在区间
上单调递增，则
的最小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．-1
【答案】C
【分析】根据题意，转化为
在
上恒成立，对于使得
取得最小值时，
直线
和函数
的图象相切，求得
上的一点
的切线方程为
，得到
，令
，利用导数求得函数的单调
性与最小值，即可求解.
【详解】由
在区间
上单调递增，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
对于使得
取得最小值时，直线
和函数
的图象相切，
又由
，可得
，则
，
可得
在点
的切线为
，即
，
令
，所以
，
令
，所以
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，
所以
的最小值为
.
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分
离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，
就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
（23-24 高二下·湖北荆州·阶段练习）
2．若关于x 的不等式
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】变形不等式得到
，设
，求导得到函数单调性，得到
，令
，则
求导得到函数单调性
和极值最值情况，求出
，设
，求导得到
单调性，并求出
，
，所以
，得到答案.
【详解】不等式
，即
，
所以
．设
，则
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，所以
．
令
，则
．
当
时，
，
单调递增，则
，
故
满足条件；
当
时，
在
单调递减；在
单调递增，则
；
设
，则
，则
在
上单调递减，
又
，所以
，
所以
，所以
的最大值为
．
故选：D
（2024·上海·三模）
3．若函数
在
上存在最小值，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，函数
的极小值点在
内，再结合
即可求出实数
的取值范围.
【详解】因为
，所以
，
令
得，
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以当
时，
有极小值，
因为函数
在
上存在最小值，
又
，
所以
，解得
，
所以实数a 的取值范围是
.
故答案为：
.
（2024·四川南充·模拟预测）
4．已知函数
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，函数
与函数
有相同的最大值，求
的值.
【答案】(1)答案见解析
(2)1
【分析】（1）求导，对
进行分类讨论，
即可.
（2）先对
求导，分析单调性，求出最大值，与
的最大值建立等量关系，求出
即可
【详解】（1）解
①当
时，当
时，
单调递增；当
时，
单调递减.
②当
时，
在
单调递增. .
综上所述，当
时，
在
单调递增，在
单调递减.
当
时，
在
单调递增.
（2）由（1）得当
时，当
时，
取得最大值
，
,易知
单调递减 ，令
，
，
当
时，
0，
单调递增; 当
时，
单
调递减，
所以，当
时，
取得最大值
依题意，有
，所以
令
则
由
的单调性可知，当
时，
在
时取得最大值0，即
,
从而可得
因此
在
上单调递减，又
,
所以
，
.
（2023·北京·高考真题）
5．设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
(3)求
的极值点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)3 个
【分析】（1）先对
求导，利用导数的几何意义得到
，
，从而得到
关于
的方程组，解之即可；
（2）由（1）得
的解析式，从而求得
，利用数轴穿根法求得
与
的解，由此求得
的单调区间；
（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间
，
，
与
上
的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得
的极值
点个数.
【详解】（1）因为
，所以
，
因为
在
处的切线方程为
，
所以
，
，
则
，解得
，
所以
.
（2）由（1）得
，
则
，
令
，解得
，不妨设
，
，则
，
易知
恒成立，
所以令
，解得
或
；令
，解得
或
；
所以
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
即
的单调递减区间为
和
，单调递增区间为
和
.
（3）由（1）得
，
，
由（2）知
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
当
时，
，
，即
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递减；当
时，
，则
单
调递增；
所以
在
上有一个极小值点；
当
时，
在
上单调递减，
则
，故
，
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递增；当
时，
，则
单调递减；
所以
在
上有一个极大值点；
当
时，
在
上单调递增，
则
，故
，
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递减；当
时，
，则
单调递增；
所以
在
上有一个极小值点；
当
时，
，
所以
，则
单调递增，
所以
在
上无极值点；
综上：
在
和
上各有一个极小值点，在
上有一个极大值点，共有
个极值点.
【点睛】关键点睛：本题第3 小题的解题关键是判断
与
的正负情况，充分利
用
的单调性，寻找特殊点判断即可得解.
（2023·全国·高考真题）
6．（1）证明：当
时，
；
（2）已知函数
，若
是
的极大值点，求a 的取值范围．
【答案】（1）证明见详解（2）
【分析】（1）分别构建
，
，求导，利
用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；
（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究
在
上的单调性，求导，分类讨
论
和
，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.
【详解】（1）构建
，则
对
恒成立，
则
在
上单调递增，可得
，
所以
；
构建
，
则
，
构建
，则
对
恒成立，
则
在
上单调递增，可得
，
即
对
恒成立，
则
在
上单调递增，可得
，
所以
；
综上所述：
.
（2）令
，解得
，即函数
的定义域为
，
若
，则
，
因为
在定义域内单调递减，
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
是
的极小值点，不合题意，所以
.
当
时，令
因为
，
且
，
所以函数
在定义域内为偶函数，
由题意可得：
，
（i）当
时，取
，
，则
，
由（1）可得
，
且
，
所以
，
即当
时，
，则
在
上单调递增，
结合偶函数的对称性可知：
在
上单调递减，
所以
是
的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当
时，取
，则
，
由（1）可得
，
构建
，
则
，
且
，则
对
恒成立，
可知
在
上单调递增，且
，
所以
在
内存在唯一的零点
，
当
时，则
，且
，
则
，
即当
时，
，则
在
上单调递减，
结合偶函数的对称性可知：
在
上单调递增，
所以
是
的极大值点，符合题意；
综上所述：
，即
，解得
或
，
故a 的取值范围为
.
【点睛】关键点睛：
1.当
时，利用
，换元放缩；
2.当
时，利用
，换元放缩.
