文档内容
第4讲 函数的极值、最值（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】...............................................................................................................................10
【考点一】利用导数研究函数的极值.............................................................................................10
【考点二】利用导数研究函数的最值.............................................................................................15
【考点三】极值、最值的简单应用................................................................................................21
【专题精练】...............................................................................................................................27
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，
难度中等偏上，属综合性问题．
真题自测
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
2．（2022·全国·高考真题）函数 在区间 的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·广东江苏·高考真题）设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
4．（2024·全国·高考真题）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
5．（2023·全国·高考真题）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）．
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
6．（2023·全国·高考真题）若函数 既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
三、填空题
8．（2022·全国·高考真题）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和
极大值点．若 ，则a的取值范围是 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B D ACD AD ABC BCD AC
1．B
【分析】根据题意可知 ， 即可解得 ，再根据f'(x)即可解出．
【详解】因为函数 定义域为(0,+∞)，所以依题可知， ， ，而 ，所以
，即 ，所以 ，因此函数 在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，
时取最大值，满足题意，即有 ．
故选：B.
2．D
【分析】利用导数求得 的单调区间，从而判断出 在区间 上的最小值和最大值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，
所以 在区间 和 上 ，即 单调递增；
在区间 上 ，即 单调递减，
又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
3．ACD
【分析】求出函数 的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数 在
上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，因为函数 的定义域为R，而 ，
易知当 时，f'(x)<0，当 或 时，f'(x)>0
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故 是函数 的极小
值点，正确；
对B，当 时， ，所以 ，
而由上可知，函数 在(0,1)上单调递增，所以 ，错误；
对C，当 时， ，而由上可知，函数 在 上单调递减，
所以 ，即 ，正确；
对D，当 时， ，
所以 ，正确；
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学科网（北京）股份有限公司故选：ACD.
4．AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为 ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 在
上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在
这样的 ，使得 为 的对称轴，则 为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这
样的 ，使得 为 的对称中心，则 ，据此进行计算判断，亦可利用拐点
结论直接求解.
【详解】A选项， ，由于 ，
故 时 ，故 在 上单调递增，
时， ， 单调递减，
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ， ，则 ，
根据零点存在定理 在 上有一个零点，
又 ， ，则 ，
则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A选项正确；
B选项， ， 时， ， 单调递减，
时 ， 单调递增，
此时 在 处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，
即存在这样的 使得 ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ，
于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，
则 ，事实上，
，
于是
即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
， ， ，
由 ，于是该三次函数的对称中心为 ，
由题意 也是对称中心，故 ，
即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1） 的对称轴为 ；（2） 关于 对称
；（3）任何三次函数 都有对称中心，对称中心是三次函数
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学科网（北京）股份有限公司的拐点，对称中心的横坐标是 的解，即 是三次函数的对称中心
5．ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例 即可排除选
项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数 进行判断即可.
【详解】方法一：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误.
方法二：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
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学科网（北京）股份有限公司又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到 ，
故可以设 ，则 ，
当 肘， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
显然，此时 是 的极大值，故D错误.
故选： .
6．BCD
【分析】求出函数 的导数 ，由已知可得 在 上有两个变号零点，转化为一元二次方程
有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
因为函数 既有极大值也有极小值，则函数 在 上有两个变号零点，而 ，
因此方程 有两个不等的正根 ，
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学科网（北京）股份有限公司于是 ，即有 ， ， ，显然 ，即 ，A错误，BCD正确.
故选：BCD
7．AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合 的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数
的几何意义判断D.
【详解】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A正
确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
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学科网（北京）股份有限公司令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：AC.
8．
【分析】法一：依题可知，方程 的两个根为 ，即函数 与函数 的图
象有两个不同的交点，构造函数 ，利用指数函数的图象和图象变换得到 的图象，利用
导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为 ，所以方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当时 ，f'(x)<0，即 图象在 上方
当 时，f'(x)>0，即 图象在 下方
，图象显然不符合题意，所以 ．
令 ，则 ，
设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
设函数 ，则 ，
若 ，则 在 上单调递增，此时若 ，
则f'(x)在 上单调递减，在 上单调递增，此时若有 和 分别是函数
且 的极小值点和极大值点，则 ，不符合题意；
若 ，则 在 上单调递减，此时若 ，则f'(x)在 上单调递增，在 上单调
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学科网（北京）股份有限公司递减，令 ，则 ，此时若有 和 分别是函数 且 的极
小值点和极大值点，且 ，则需满足 ， ，即
故 ，所以 .
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是
该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于
通性通法．
考点突破
【考点一】利用导数研究函数的极值
核心梳理：
判断函数的极值点，主要有两点
(1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点．
(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点．
一、单选题
1．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数 在区间 上的最大值为k，则函数 在
上（ ）
A．有极大值，无最小值 B．无极大值，有最小值
C．有极大值，有最大值 D．无极大值，无最大值
2．（2023·四川凉山·三模）已知函数 的导函数 ，若1不是函数 的极值
点，则实数a的值为（ ）．
A．－1 B．0 C．1 D．2
二、多选题
3．（22-23高三下·浙江·开学考试）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方程
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学科网（北京）股份有限公司有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都
有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 的对称中心为
，则下列说法中正确的有（ ）
A． ，
B．函数 既有极大值又有极小值
C．函数 有三个零点
D．过 可以作三条直线与 图象相切
4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）若函数 在 处取得极值，则（ ）
A．
B． 为定值
C．当 时， 有且仅有一个极大值
D．若 有两个极值点，则 是 的极小值点
三、填空题
5．（2023·云南红河·二模）若 是函数 的极小值点，则函数 在区间
上的最大值为 ．
6．（2024·江苏·模拟预测）已知 有两个极值点，则实数 的取值范围为 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D D AB ABC
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学科网（北京）股份有限公司1．D
【分析】利用导函数研究 单调性，结合区间最值求得 ，进而判断在 上的单调性，即可得
答案.
【详解】由 ，则 时 ， 时 ，
所以 在 上递增， 上递减，
而 ， 在 上的最大值为k，
所以 ，即 ，此时 在 上递减，且无极大值和最大值.
故选：D
2．D
【分析】根据极值点的定义即可求解.
【详解】由题意可知 ，若1不是函数 的极值点，则
，即 ，
当 时， ，故当 ，当 ，因此
是 的极值点，1不是极值点，故 满足题意，
故选：D
3．AB
【分析】利用导数结合已知求出 判断A；利用导数求出极值，结合三次函数的图象特征判断BC；求出
切线方程判断D.
【详解】由 ，求导得 ， ，
令 ，得 ，由函数 的对称中心为 ，
得 ，且 ，解得 ，A正确；
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学科网（北京）股份有限公司于是 ， ，
当 或 时， ，当 时， ，
则函数 在 ， 上都单调递增，在 上单调递减，
因此函数 既有极大值 ，又有极小值 ，B正确；
由于极小值 ，因此函数 不可能有三个零点， C错误；
显然 ，若 是切点，则 ，切线方程为 ；
若 不是切点，设过点 的直线与 图象相切于点 ， ，
由 ，解得 ，即切点 ，切线方程为 ，
过 只可以作两条直线与 图象相切，D错误.
故选：AB
4．ABC
【分析】求导 ，由题意可知， 是方程 的一个变号实数根，则 ，
即可判断A；由 判断 B；当 时，可得，当 时 ，当 时
，即可判断C；将 代入 整理得 ，则方程有不相等的实
数根 与 ，分类讨论，结合极值点的定义可判断D.
【详解】 的定义域为 ，则 ，
，
由题意可知， 是方程 的一个变号实数根，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，故A正确；
由 得， ，故B正确；
当 时，因为 ，
所以函数 开口向下，且与 轴正半轴只有一个交点，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 有且仅有一个极大值，故C正确；
将 代入 整理得 ，
则方程有不相等的实数根 与 ，即 ，
当 时， 时， 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 是 的极大值点， 是 的极小值点，
当 时， 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 是 的极大值点， 是 的极小值点，故D错误，
故选：ABC.
5． /
【分析】求导，根据极值点可得 ，进而解得 或 ，代入验证极值点可确定 ，进而根
据极大值以及端点处的函数值进行比较即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 ，得 ，
因为 是函数 的极小值点，所以 ，即 ，
即 ，解得 或 ．
当 时， ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以， 在区间 ， 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 是函数 的极大值点，不符合题意；
当 时， ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以 在区间 ， 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 是函数 的极小值点， 是函数 的极大值点，故
又因为 ， ，
所以函数 在 的最大值为 ．
故答案为： ．
6．
【分析】经求导转化可知，函数 有两个极值点，等价于函数 与 的图象有两
个交点.，故只需研究函数 的图象即可求得参数范围.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 求导， ，由 可得： ，
因 不满足此式，故可得： ，
则函数 有两个极值点，即函数 与 的图象有两个交点.
由 求导， ，则当 时， ，当 时， ，当 时
，
则函数 在 和 上是减函数，在 上是增函数，故 时， 取得极小值 .
且当 时， ，当 从0的左边趋近于0时， ，当 从0的右边趋近于0时，
，当 时， .
故可作出函数 的图象如图.
由图可知：函数 与 的图象有两个交点等价于 .
故答案为： .
规律方法：
(1)不能忽略函数的定义域．
(2)f′(x)＝0是可导函数f(x)在x＝x 处取得极值的必要不充分条件，即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点，
0 0
所以判断f(x)的极值点时，除了找f′(x)＝0的实数根x 外，还需判断f(x)在x 左侧和右侧的单调性．
0 0
(3)函数的极小值不一定比极大值小．
【考点二】利用导数研究函数的最值
核心梳理：
1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
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学科网（北京）股份有限公司(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
一、单选题
1．（2023·浙江·模拟预测）对函数 ( ， 且 )的极值和最值情况进
行判断，一定有（ ）
A．既有极大值，也有最大值 B．无极大值，但有最大值
C．既有极小值，也有最小值 D．无极小值，但有最小值
2．（2024·广东深圳·二模）设函数 ， ，若存在 ， ，使得 ，则
的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
二、多选题
3．（2023·重庆·模拟预测）已知函数 ， ，则（ ）
A． 与 的定义域不同， 与 的值域只有1个公共元素
B．在 与 的公共定义域内， 的单调性与 的单调性完全相反
C． 的极小值点恰好是 的极大值点， 的极大值点恰好是 的极小值点
D．函数 既无最小值也无最大值，函数 既有最小值也有最大值
4．（2024·广东广州·一模）已知直线 与曲线 相交于不同两点 ， ，曲线
在点 处的切线与在点 处的切线相交于点 ，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2023·吉林·二模）若P，Q分别是抛物线 与圆 上的点，则 的最小值为
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学科网（北京）股份有限公司．
6．（2024·江苏·一模）已知 ， ，则 的最小值为 .
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 C B BC ACD
1．C
【分析】先求出导数， ，然后讨论方程
根的情况，进而判断各选项
【详解】 ，下面讨论方程
根的情况.令 ， ，
（1）当 时(即 )， 仅有一个唯一的正零点，不妨设为 ，此时 有三个不同零
点，分别为 ，0， ；满足既有极小值，也有最小值；
（2）当 时(即 ) ；满足既有极小值，也有最小值；
（3）当 时(即 且 )，若 (即 且 )，则 仅有一个唯一的
极小值点为0，若 ，结合 分析可知：当
时， 有两个不同的正零点(令为 ， 且 ).此时 在 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司上单调递减，当 时，则 仅有一个唯一的极小值点为0. 满足既有极小值，也
有最小值；综上分析，
故选：C
【点睛】关键点睛：解题的关键在于：求导后讨论方程 根的情况，讨论的时候，
分情况：（1）当 ；（2）当 ；（3）当 ，进而判断各选项，属于
难题
2．B
【分析】根据题意，由条件可得 ，即可得到 ，构造函数 ，求导得其
最值，即可得到结果.
【详解】由题意可得 ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 在R上单调递增，
即 ，所以 ，
且 ，
令 ，x∈(0,+∞)，
则 ，其中 ，
令 ，则 ，
当x∈(0,1)时，h'(x)>0，则h(x)单调递增，
当x∈(1,+∞)时，h'(x)<0，则h(x)单调递减，
所以当 时，h(x)有极大值，即最大值，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
所以 .
故选：B
【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然后构造函数求
导即可得到结果.
3．BC
【分析】首先确定 定义域为 、 定义域为 ，再应用导数研究 与
符号，进而判断其单调性、极值点情况；判断 、 奇偶性，研究它们在 上的性质；
根据 的值域情况及 研究最值、及函数值是否有公共元素.
【详解】 定义域为 ，对于 有 ，即 ，故定义域不同，
由 ， ，且 ，
故在相同的区间内 与 符号相反，即对应 、 单调性相反，B正确；
由上， 、 的极值点恰好相反， 的极大值点为 极小值点， 的极小值点为 极大值
点，C正确；
由 ， ，均为偶函数，
只需研究在 上 、 的性质：
由 且 ，则 ，故 递增，则 ，故 ，
而 在 上连续，且函数值在 范围内波动，即函数值为正、负的区间交替出现，
结合 知： 取0时 趋向于无穷大（含正负无穷），无最值；D错误；
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学科网（北京）股份有限公司极小值 ，则 为 极大值，
极大值 ，则 为 极小值，
所以 、 值域不可能存在公共点，A错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：利用导数研究 、 单调性、极值情况，注意 函数的波动性及值域范围，
结合 研究最值.
4．ACD
【分析】对于A，构造函数 ，计算即可判断；对于B，写出 点处的切线程联立并化简得
，而 ，计算即可判断；对于C，根据斜率相等可得 ，
为两切线的交点代入化简得 ，再计算可得 ；对于D，根据
，计算即可判断.
【详解】令 ，则 ，
故 时， 递增； 时， 递减，
所以 的极大值 ，且 ， ，
因为直线 与曲线 相交于 ､ 两点，
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学科网（北京）股份有限公司所以 与 图像有2个交点，
所以 ，故A正确；
设 ，且 ，可得 ，
在 点处的切线程为
，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，故B错误；
因为 ，所以 ，
因为 为两切线的交点，
所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
故C正确；
因为 ，所以 ，所以 ，
同理得 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】方法点睛：判断B，关键在于根据切线方程联立求得 ，而 两点得斜率即
为直线得斜率得 ，化简可得；判断C，根据斜率相等得 ，根据 在切线
上，代入化简计算可得 ，计算得 后即可判断，判断D，关键
在于利用不等式 进行计算化简即可判断.
5． /
【分析】设点 ，圆心 ， 的最小值即为 的最小值减去圆的半径，求出 的最小值
即可得解．
【详解】依题可设 ，圆心 ，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，
的最小值即为 的最小值减去半径．
因为 ， ，
设 ，
，由于 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司所以函数 在 上递减，在 上递增，即 ，
所以 ，即 的最小值为 ．
故答案为： ．
6． /
【分析】依题意可得 ，则 ，令 ，利用导数求出 的最小值，即可
得解.
【详解】 ， ，
， ， ，
即 ，所以 ，
令 ，x∈(0,+∞)，
则 ，
所以当 时f'(x)<0，当 时 ，
所以 在(0,2)上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取得.
故答案为：
规律方法：
(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论．
(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，
画出函数图象，借助图象得到函数的最值．
【考点三】极值、最值的简单应用
一、单选题
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学科网（北京）股份有限公司1．（2023·湖南·模拟预测）已知函数 在 处取得极大值4，则 （ ）
A．8 B． C．2 D．
2．（23-24高二下·四川广元·阶段练习）如图是y=f (x)的导函数f'(x)的图象，对于下列四个判断，其中正
确的判断是（ ）
A．当 时， 取得极大值 B． 在 上是增函数
C．当 时， 取得极大值 D． 在 上是增函数，在[2,4]上是减函数
二、多选题
3．（2023·海南·一模）已知函数 的图象关于直线 对称,则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 在 上单调递增
C． 的图象关于点 对称
D．若 ,且 在 上无极值点,则 的最小值为
4．（23-24高三上·河北保定·期末）已知 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
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学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知函数 ，若 恒成立，则
.
6．（2023·湖北武汉·二模）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数 和
图象上的动点，若对任意 ，有 恒成立，则实数m的最大值为 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 B D ACD BCD
1．B
【分析】先求函数的导数，把极值点代入导数则可等于0，再把极值点代入原函数则可得到极值，解方程
组即可得到 ，从而算出 的值.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
经检验，符合题意，所以 .
故选：B
2．D
【分析】由导函数的图象，确定导函数的正负，由此得到函数 的单调性，由极值的定义判断函数
的极值，由此判断四个选项即可.
【详解】根据导函数f'(x)的图象可知，
当 时，f'(x)<0，当 时，f'(x)>0，
可知 在 内单调递减，在 单调递增，
所以当 时， 取得极小值，当 时， 取得极大值，当 时， 取得极小值，
故ABC错误，D正确.
故选：D.
28 / 51
学科网（北京）股份有限公司3．ACD
【分析】由 解得 ,求出 ,由 可判断A;求出 的范围,根据正
弦函数的单调性可判断B;计算 可判断C; ，可得
或 ，可得 的最小值为 可判断D.
【详解】因为函数 的图象关于直线 对称,
所以 ,即 ,解得 ,
,
且 ,
对于A, ,故A正确;
对于B, ,所以 ,
因为 在 上单调递减,在 上单调递增,故B错误;
对于C, ,故C正确;
对于D,根据题意 ,且函数 在 上单调.
若 ,则 ,
29 / 51
学科网（北京）股份有限公司可得 或者 , ,
即 , ,
当 时, 的最小值为 .
因为函数 在 上单调,即 在 上无零点,
因为 的半周期为 ,在 上无零点,则 的最小值为 满足题意,故D正确.
故选:ACD.
4．BCD
【分析】根据指数、对数的运算及指对函数的单调性举反例判断A，构造函数 ，利用导数
判断单调性可得 ，据此判断BC， ，令 ，由导数确定
可判断D.
【详解】由 ，可得 ，又 ，所以 ，解得 .
当 时， ，则 ，又 ，所以 ，
所以此时 ，故A错误；
令 ，则 ，当 时， 单调递增，当 时，
单调递减，所以 ，即 ，由 知 ，所以 ，所以
，故 正确；
由 可得 ，可得 （ 时取等号），因为 ，所以
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学科网（北京）股份有限公司，所以 ，故C正确；
因为 ，所以 .令 ，则 ，
令 ，所以 ，令 ，所以
，所以 在(1,+∞)上单调递增，所以 ，所以h'(x)>0，所以h(x)在
(1,+∞)上单调递增，所以 1，所以 ，故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：判断D选项时，对式子进行变形换元后得到 是解题的第一个关键，
构造函数 ，利用两次求导可得出函数的最小值是解题的第二个关键点.
5．1
【分析】对 求导，分 和 两种情况，判断 的单调性，求出 的最小值，再结合
恒成立求出 的取值范围.
【详解】由题可得 的定义域为 ，且 ，
①当 时， ，所以 在 上单调递增，所以当 时， ，与
矛盾；
②当 时，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
所以 ，
因为 恒成立，所以 ，记 当 时，
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学科网（北京）股份有限公司单调递增，
当 时 单调递减，所以 ，所以 在 上恒成立，
故要使 恒成立，则 ，所以 .
故答案为：1
6．
【分析】利用同构思想构造 ，得到其单调性，得到 ，再构造
， ，求导得到其单调性及其最小值，设设 ，利
用基本不等式得到 ，求出答案.
【详解】 ，令 ， ，
则
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
故 在 处取得极小值，也是最小值，故 ，
故 ，当且仅当 时，等号成立，
令 ， ，
则 ，
令 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
又 ，故当 时， ，当 时， ，
故 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
故 在 处取得极小值，也时最小值，最小值为 ，
设 ，
由基本不等式得，
，
当且仅当 ， ， 时，等号成立，
故 ，则 ．
故答案为：
【点睛】导函数求解取值范围时，当函数中同时出现 与 ，通常使用同构来进行求解，本题
变形得到 ，从而构造 进行求解.
规律方法：
方程、不等式恒成立，有解问题都可用分离参数法．分离参数时，等式或不等式两边符号变化以及除数不
能等于0，易忽视．
专题精练
一、单选题
1．（2023·河南·模拟预测）已知函数 ，则下列说法错误的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．当 时，函数 不存在极值点
B．当 时，函数 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心
D．若 是函数 的一条切线，则
2．（2022·四川·模拟预测）已知函数 在 上有零点，则m的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数 有极值 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．3
4．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）已知正数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
5．（2024·云南楚雄·一模）若 ，则函数 的图象可能是（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
6．（2023·上海松江·二模）已知函数 ， ，在区间 上有最大值，则实数
t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）等差数列 中的 ， 是函数 的极值点，
则 （ ）
A． B． C．3 D．
8．（2023·云南保山·二模）若函数 与函数 的图象存在公切线，则实
数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023·山西·二模）已知 在 处取得极大值3，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知 ， ，则（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
11．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数 ，下列结论中正确的是（ ）
A．函数 在 时，取得极小值
B．对于 ， 恒成立
C．若 ，则
D．若对于 ，不等式 恒成立，则 的最大值为 ， 的最小值为
三、填空题
12．（2023·广东·二模）已知函数 的最小值为0，则a的值为 .
13．（2023·河南郑州·模拟预测）在等比数列 中， 是函数 的极值点，则
＝ ．
14．（22-23高三下·湖北武汉·期中）已知函数 ，若有且仅有两个整数
，满足 ，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题
15．（2024·浙江杭州·二模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点，
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）证明：函数 有且只有一个零点．
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学科网（北京）股份有限公司16．（2024·陕西榆林·一模）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
.
(1)求 ；
(2)证明： .
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A B B A A AD ABCD
题号 11
答案 BCD
1．B
【分析】当 时，分析函数 的单调性，可判断A选项；利用导数分析函数 的单调性与极值，
结合零点存在定理可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；利用导数的几何意义可判断D选
项.
【详解】对于A选项，当 时， ，此时函数 在 上单调递增，
所以，当 时，函数 不存在极值点，A对；
对于B选项，当 时， ， ，
由 可得 ，由 可得 或 ，
所以，函数 的增区间为 、 ，减区间为 ，
函数 的极大值为 ，
极小值为 ，
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学科网（北京）股份有限公司又因为 ，
由零点存在定理可知，函数 在区间 有一个零点，
当 时， ，
因此，当 时，函数 有一个零点，B错；
对于C选项，对任意的 ， ，
所以，点 是曲线 的对称中心，C对；
对于D选项，设 是函数 的一条切线，设切点坐标为 ，
，由题意可得 ，①
所以，曲线 在 处的切线方程为 ，
即 ，则 ，②
联立①②可得 ，D对.
故选：B.
2．C
【分析】由函数 存在零点可知 有解，设 ，利用导
数求出函数的最小值，进而得出结果.
【详解】由函数 存在零点，则 有解，
设 ，
则 ，
当 时， ， 单调递减；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 单调递增．
则 时 取得最小值，且 ，
所以m的取值范围是 ．
故选：C
3．B
【分析】先求出函数 的导函数；再求出极值点，代入函数 解方程即可.
【详解】由题目条件可得：函数 的定义域为 ， .
令 ，得 ；
令 ，得 .
所以函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增.
则 是函数 的极小值点，
故 ，解得 .
故选：B
4．A
【分析】不等式可化为 ，分别构造函数，利用导数求出函数的最大、最小值，由不
等式左边最小值等于右边的最大值，建立方程即可得解.
【详解】由 ，
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时取等号；
设 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，故 ，
当且仅当 时取等号，
又 ，则 ，
此时 ，则 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：不等式中含有不相关的双变量，据此分别构造不同的函数，利用导数求最值是关键
之一，其次根据不等式左边的最小值与不等式右边的最大值相等，由不等式成立得出方程是关键点之二，
据此建立方程求解即可.
5．B
【分析】对比选项可知 ，由题意 ， （ ）是函数 的零点，
（ ）都是函数 的极值点，由此可以排除A，C；进一步对 和0
的大小关系分类讨论，得出函数在 处附件的增减变换情况即可.
【详解】对比各个选项可知 ，
由三次函数图象与性质可得 ， （ ）是函数 的零点，
令 ，
可知 （ ）且 ， 都是函数 的极值点，由此可以排除A，
C；
若 ，则函数 的图象形状为增减增，
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学科网（北京）股份有限公司具体为 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，可知B
符合；
若 ，则函数 的图象形状为减增减，
具体为 在 单调递减，在 单调递增，在 单调递减，可知D
不符合．
故选：B.
6．B
【分析】利用导数求出函数单调性，据此知函数有极大值，根据函数在开区间上有最大值可知，区间含极
大值点
【详解】 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数在 ， 上递增函数，在 上递减函数，
故 时函数有极大值，且 ，
所以当函数在 上有最大值，则-1∈ 且 ，
即 ，解得 .
故选：B.
7．A
【分析】利用导数求出函数 的两个极值点，再利用等差数列性质求出 即可计算得解.
【详解】由 求导得： ，
有 ，即 有两个不等实根 ，
显然 是 的变号零点，即函数 的两个极值点，
41 / 51
学科网（北京）股份有限公司依题意， ，在等差数列 中， ，
所以 .
故选：A
8．A
【分析】先求得公切线方程为 ，联立方程组，结合 ，得到 ，令
，求得 ，令 ，求得 和 ，得到函
数 的单调性和最小值 ，进而得到 ，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，
因为 ，设切点为 ，则 ，
则公切线方程为 ，即 ，
与 联立可得 ，
所以 ，整理可得 ，
又由 ，可得 ，解得 ，
令 ，其中 ，可得 ，
42 / 51
学科网（北京）股份有限公司令 ，可得 ，函数 在 上单调递增，且 ，
当 时， ，即 ，此时函数 单调递减，
当 时， ，即 ，此时函数 单调递增，
所以 ，且当 时， ，所以函数 的值域为 ，所以 且 ，
解得 ，即实数 的取值范围为 .
故选：A.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
9．AD
【分析】根据原函数极值点即为导函数零点可得 ，即可知 ，再根据极大值为3可解得
或 ；易知当 时， 在 处取得极小值，与题意不符，当 时，函数 在
处取得极大值，符合题意，可得 ， ，即 ，即可判断出结论.
【详解】由题意可得 ，
且 是函数 的极大值点，即 ，可得 ，
又极大值为3，所以 ，解得 或 ；
当 时， ，此时 ，
时， ， 时，
43 / 51
学科网（北京）股份有限公司所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
此时函数 在 处取得极小值，与题意不符，即 舍去；
当 时， ，此时 ，
时， ， 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
此时函数 在 处取得极大值，符合题意，
所以 ， ，即 ，所以A正确，B错误；
此时 ，所以 ， ，即C错误，D正确.
故选：AD
10．ABCD
【分析】对于A，由换底公式即可判断；对于BC，由基本不等式即可判断；对于D，构造函数
，利用导数可证得 ，由此即可判断.
【详解】对于A， ，故A正确；
对于B， ，在这里 ，所以严格来说有 ，故B
正确；
对于C， ，在这里 ，所以严格来说有 ，故C
正确；
对于D， ，而 ，
定义 ，则 ，
从而 单调递增，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，故D正确.
故选：ABCD.
11．BCD
【分析】对 求导，利用导函数的符号判断 在 上的单调性判断AB，构造 ，结合
AB中结论求解 的单调性判断CD.
【详解】选项A：由题意可得 ，
所以当 时 ， 在 单调递减，
所以 在 上不存在极值点，A说法错误；
选项B：因为 且由A可知 在 单调递减，
所以 ， 恒成立，B说法正确；
选项C：令 ， ，则 ，
由B可知 在 恒成立，所以 在 上单调递减，
所以当 时， ，即 ，C说法正确；
选项D：由C可知当 时， ，
所以对于 ，不等式 恒成立，则 的最大值为 ， 的最小值为 ，D说法正确；
故选：BCD
12． /0.5
【分析】对 求导，进而研究 的单调性，根据 有最小值为0，则 使
45 / 51
学科网（北京）股份有限公司，且 求出 ，即可求参数值.
【详解】由 ，且 ，
令 ，则 ，即 在 上递增，
所以 在 上递增，又 ， ， ， ，
所以， 使 ，且 时， ，
时， ，所以 在 上递减，在 上递增，
所以
由 ，得 ，
令函数 ， ，
所以 在 上是增函数，注意到 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，结合最小值为0可得到方程组 ，
消a得到关于 的方程，再利用函数的单调性及特殊点的函数值解方程可得.
13．
【分析】由题，利用导数及韦达定理可得 ，后利用等比中项性质可得答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，
由题 是方程 的两个不等实根，
则由韦达定理 ，所以
又 是 的等比中项且 与 同号，则 .
故答案为： .
14．
【分析】先对 全分离，即 ，构造新函数 ，求导求单调性判断最值点，
若有且仅有两个整数使得不等式成立，只需 大于 最小值点附近的两个整数处的函数值，且小于等于
该整数处相邻的整数点处函数值，列出不等式，解出即可.
【详解】解：若 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，记 ，
故只需有且仅有两个整数 使得 成立即可，
所以 ，
记 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以 ，使得 ，即 ，
在 上 ，即 ， 单调递减，
47 / 51
学科网（北京）股份有限公司在 上 ，即 ， 单调递增，所以 有最小值 ，
因为 ，且 ，
，而 ，
若使 有且仅有两个整数 ，
只需 即可，解得 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：该题考查函数与导数的综合应用，属于难题，关于不等式成立问题的方法有：
（1）对不等式进行全分离，使分母较简单或容易判断正负，以便少分类讨论；
（2）构造新函数，求导求单调性，判断极值点，在草稿纸上画出草图；
（3）根据题意转化为数学语言，建立不等式，解出即可.
15．(1)答案见解析；
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，再分 、 、 三种情况，分别求出函数的单调区间；
（2）（ⅰ）由（1）直接解得；（ⅱ）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
且 ，
当 时， 恒成立，所以 在 单调递减；
当 时，令 ，即 ，解得 ， ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以当 时 ，
48 / 51
学科网（北京）股份有限公司当 时 ，
当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上单调递减；
当 时，此时 ，
所以 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上可得：当 时 在 单调递减；
当 时 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）（ⅰ）由（1）可知 ．
（ⅱ）由（1） 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
又 ，所以 ，则 ，
又 ，
又 ，
49 / 51
学科网（北京）股份有限公司所以 在 上没有零点，
又 ，则 ，则 ， ，
则 ，
所以 ，所以 在 上存在一个零点，
综上可得函数 有且只有一个零点．
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据切线方程，求得切点与切线斜率，建立方程，可得答案；
（2）由（1）写出函数解析式，化简整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可
得答案.
【详解】（1）函数 的定义域为 .
将 代入 ，解得 ，即 ，
由切线方程 ，则切线斜率 .
故 ，解得 .
（2）证明：由（1）知 ，
从而 等价于 .
设函数 ，则 .
所以当 时， ，当 时， .
50 / 51
学科网（北京）股份有限公司故 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而 在 上的最小值为 .
设函数 ，
从而 在 上的最大值为 .
故 ，即 .
51 / 51
学科网（北京）股份有限公司
