概率与函数、导数
【知识拓展】
概率与函数、导数的综合问题主要涉及概率、均值的最值,解题的关键是搞清各数据、各事件之间
的联系,建立相应的数学模型,利用函数、导数或不等式求解.
【类型突破】
类型一 利用函数、导数求最值
例1 (2025·哈尔滨模拟改编)“冰雪同梦,亚洲同心”,2025 年第九届亚冬会在哈尔滨举办,本次赛
事共有6 个大项,11 个分项,64 个小项,有来自34 个国家和地区,1 200 多名运动员参赛,是一场令
人回味无穷的冬季体育盛会,亚冬会圆满结束后,我校团委组织学生参加与亚冬会有关的知识竞赛.
为鼓励同学们积极参加此项活动,比赛规定:答对一题得两分,答错一题得一分,选手不放弃任何一
次答题机会.已知小明报名参加比赛,每道题回答是否正确相互独立,且每次答对的概率不一定相等.
若前三道试题,小明每道试题答对的概率均为p,
(1)设p＝2
3,记小明答完前三道题得分为X,求随机变量X 的分布列和数学期望;
(2)若小明答完前四道题得8 分的概率为1
81,求小明答完前四题时至少答对三题的概率的最小值.
解 (1)由题意可知,随机变量X 的可能取值有3,4,5,6,
P(X＝3)＝(
1
3)
3
＝1
27,
P(X＝4)＝C3
1·2
3·(
1
3)
2
＝2
9,
P(X＝5)＝C3
2·(
2
3)
2
·1
3 ＝4
9,
P(X＝6)＝(
2
3)
3
＝8
27,
所以随机变量X 的分布列如下表所示:
X
3
4
5
6
P
1
27
2
9
4
9
8
27
所以E(X)＝3× 1
27＋4×2
9＋5×4
9＋6× 8
27＝5.
(2)因为前四道试题得8 分即全对的概率为1
81,
所以第四道试题答对的概率为
1
81 p
3,
所以小明答完前四题时至少答对三题的概率为f(p)＝1
81＋p3(1−
1
81 p
3)＋C3
2p2(1－p)·
1
81 p
3＝p3＋
1
27 p －1
27,
则f'(p)＝3p2－
1
27 p
2
＝81 p
4−1
27 p
2
＝(3 p−1)(3 p＋1)(9 p
2＋1)
27 p
2
,
当0<p<1
3时,f'(p)<0,此时,函数f(p)单调递减,
当1
3<p<1 时,f'(p)>0,此时,函数f(p)单调递增,
所以f(p)min＝f(
1
3)＝1
9.
所以小明答完前四题时至少答对三题的概率的最小值为1
9.
易错提醒 构造函数求最值时,要注意变量的选取,以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制.
训练1 (2025·深圳模拟)某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼,
也可选择不锻炼,一天最多锻炼一次,一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运
动场的概率均为1
2,每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为X,已
知X 的分布列如下:(其中a>0,0<p<1)
X
0
1
2
3
P
a(1－p)2
a
p
a
a(1－p)
记事件Ai表示王同学假期三天内去运动场锻炼i 次(i＝0,1,2,3),事件B 表示王同学在这三天内去
甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.
(1)当p＝1
2时,求P(B)的值;
(2)是否存在实数p,使得E(X)＝5
3?若存在,求p 的值;若不存在,请说明理由.
解 (1)当p＝1
2时,P(A0)＝a
4 ,P(A1)＝2a,P(A2)＝a,P(A3)＝a
2,
则a
4＋2a＋a＋a
2＝1,解得a＝4
15.
由题意,得P(B|A1)＝C1
1× 1
2,
P(B|A2)＝C2
2(
1
2)
2
,
P(B|A3)＝C3
2(
1
2)
3
＋C3
3(
1
2)
3
.
由全概率公式,得P(B)＝
3
∑
i=1
P(B|Ai)P(Ai)＝2a×1
2 ＋C2
2(
1
2)
2
a＋[C3
2(
1
2)
3
＋C3
3(
1
2)
3
]× a
2
＝a＋a
4 ＋a
4 ＝3
2a＝3
2 × 4
15 ＝2
5.
(2)由a
p＋a＋a(1－p)＋a(1－p)2＝1,
得1
a＝p2－3p＋1
p＋3.
假设存在p,
使E(X)＝a
p＋2a＋3a(1－p)＝5
3.
将上述两式左右分别相乘,
得1
p＋5－3p＝5 p
2
3 －5p＋5
3 p＋5,
化简得5p3－6p2＋2＝0(*).
设h(p)＝5p3－6p2＋2,
则h'(p)＝15p2－12p＝3p(5p－4).
由h'(p)<0,得0<p<4
5 ,
由h'(p)>0,得4
5<p<1,则h(p)在(0, 4
5)上单调递减,在(
4
5 ,1)上单调递增,
所以h(p)的最小值为h(
4
5)＝18
25>0,
即方程(*)无解,故不存在p 值,使得E(X)＝5
3.
类型二 利用作商法求概率的最值
例2 某市共有教师1 000 名,为了解老师们的寒假研修情况,评选研修先进个人,现随机抽取了10
名教师利用“学习APP”学习的时长数据(单位:小时):35,43,90,83,50,45,82,75,62,35,学习时长
不低于80 小时的教师评为“研修先进个人”.
(1)现从该样本中随机抽取3 名教师的学习时长,求这3 名教师中恰有2 名教师是研修先进个人的概
率.
(2)若该市所有教师的学习时长X 近似地服从正态分布N(μ,σ2),其中σ＝10,μ 为抽取的10 名教师学
习时长的样本平均数,利用所得正态分布模型解决以下问题:
①试估计学习时长不低于50 小时的教师的人数(结果四舍五入到整数);
②若从该市随机抽取的n 名教师中恰有ξ 名教师的学习时长在[50,70]内,则n 为何值时,P(ξ＝10)的
值最大?
附:若随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6 827,P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9
545,P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9 973.
解 (1)设“抽取的3 名教师中恰有2 名教师是研修先进个人”为事件A.
由题知样本中学习时长不低于80 小时的人数为3,时长低于80 小时的人数为7,
则P(A)＝
C3
2C7
1
C10
3
＝7
40,
所以这3 名教师中恰有2 名教师是研修先进个人的概率为7
40.
(2)①由样本数据知,
μ＝35＋43＋90＋83＋50＋45＋82＋75＋62＋35
10
＝60,σ＝10.
因为P(X≥50)＝P(X≥μ－σ)＝
P( μ−σ ≤X ≤μ＋σ )
2
＋1
2≈0.84 135,
所以0.84 135×1 000≈841,所以,估计学习时长不低于50 小时的教师人数为841.
②每名教师的学习时长在[50,70]内的概率为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6 827,
由题意可知ξ~B(n,0.6 827),
则P(ξ＝10)＝Cn
10×0.6 82710×0.3 173n－10,
设f(n)＝Cn
10×0.6 82710×0.3 173n－10(n≥10),
则f (n＋1)
f (n)
＝Cn＋1
10
×0.6 827
10×0.3 173
n−9
Cn
10×0.6 827
10×0.3 173
n−10
＝0.3 173n＋0.3 173
n−9
.
令0.3 173n＋0.3 173
n−9
>1,
得n<93 173
6 827 ＝134 422
6 827 ,
所以当n≤13 时,f(n＋1)>f(n),
令0.3 173n＋0.3 173
n−9
<1,得n>134 422
6 827 ,
所以当n≥14 时,f(n＋1)<f(n),
所以当n＝14 时,f(n)最大,
即使P(ξ＝10)最大的n 的值为14.
规律方法 求概率的最值,利用函数或导数不易求其最值时,可利用作商法判断概率表达式的单调
性,从而求出其最值.
训练2 (2025·长沙质检)某家畜研究机构发现每头成年牛感染H 型疾病的概率是p(0<p<1),且每头
成年牛是否感染H 型疾病相互独立.
(1)记10 头成年牛中恰有3 头感染H 型疾病的概率是f(p),求当概率p 取何值时,f(p)有最大值?
(2)若以(1)中确定的p 值作为感染H 型疾病的概率,设10 头成年牛中恰有k 头感染H 型疾病的概率
是g(k),求当k 为何值时,g(k)有最大值?
解 (1)依题意,10 头成年牛中恰有3 头感染H 型疾病的概率是
f(p)＝C10
3 p3(1－p)7,且0<p<1,
则有f'(p)＝C10
3 [3p2(1－p)7－7p3(1－p)6]
＝C10
3 p2(1－p)6(3－10p).
令f'(p)＝0,结合0<p<1,解得p＝0.3.
则当p∈(0,0.3)时,f'(p)>0;
当p∈(0.3,1)时,f'(p)<0.
即函数f(p)在(0,0.3)上单调递增,在(0.3,1)上单调递减,故当概率p＝0.3 时,f(p)有最大值.
(2)10 头成年牛中恰有k 头感染H 型疾病的概率是g(k)＝C10
k pk(1－p)10－k(k＝0,1,2,…,10),
由(1)知p＝0.3,
所以
g(k )
g(k −1) ＝
C10
k p
k(1−p)
10−k
C10
k −1 p
k −1(1−p)
11−k ＝
C10
k p
C10
k −1(1−p)
＝
10!
k !(10−k )!·(k −1)!(11−k )!
10!
·
p
1−p
＝11−k
k
·
p
1−p ＝3.3−0.3k
0.7 k
＝1＋3.3−k
0.7 k ,
所以当3.3－k>0,即k<3.3(k∈N)时,
g(k )
g(k −1)>1,g(k)>g(k－1),
当3.3－k<0,即k>3.3(k≤10,且k∈N)时,g(k)<g(k－1),
于是g(0)<g(1)<g(2)<g(3),
g(3)>g(4)>…>g(10),
所以当k＝3 时,g(k)有最大值.
【精准强化练】
1.(2025·重庆诊断)某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验,按
照国家标准规定,在一瓶水果罐头中,固形物含量不低于55%为优级品,固形物含量低于55%且不
低于50%为一级品,固形物含量低于50%为二级品或不合格品.
(1)现有6 瓶水果罐头,已知其中2 瓶为优级品,4 瓶为一级品.
①若每次从中随机取出1 瓶,取出的罐头不放回,求在第1 次抽到优级品的条件下,第2 次抽到一级
品的概率;
②对这6 瓶罐头依次进行检验,每次检验后不放回,直到区分出6 瓶罐头的等级时终止检验,记检验
次数为X,求随机变量X 的分布列与期望;
(2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为p(0<p<1),且各件产品是否为优级品相互独立,若在10
次独立重复抽检中,至少有8 次抽到优级品的概率不小于7×0.759(约为0.525 6),求p 的最小值.
解 (1)①设第1 次抽到优级品为事件A,第2 次抽到一级品为事件B,
则P(B|A)＝P( AB)
P( A ) ＝
C2
1C4
1
A6
2
2
6
＝4
5
,
故所求的概率为4
5 .
②根据题意可知X 的取值可能为2,3,4,5.
则P(X＝2)＝
A2
2
A6
2 ＝1
15,
P(X＝3)＝
C4
1C2
1 A2
2
A6
3
＝2
15,
P(X＝4)＝
A4
4＋C2
1C4
2 A3
3
A6
4
＝4
15,
P(X＝5)＝
C2
1C4
3 A4
4＋C2
1C4
1 A4
4
A6
5
＝8
15.
则X 的分布列为:
X
2
3
4
5
P
1
15
2
15
4
15
8
15
所以E(X)＝2× 1
15＋3× 2
15＋4× 4
15＋5× 8
15 ＝64
15.
(2)设在10 次抽检中至少有8 次抽到优级品的概率为f(p),
则f(p)＝C10
8 p8(1－p)2＋C10
9 p9(1－p)＋p10＝45p8(1－p)2＋10p9(1－p)＋p10
＝p8(36p2－80p＋45),其中0<p<1,
因为f'(p)＝360p7(p－1)2>0,
所以f(p)在(0,1)上单调递增.
注意到f(
3
4)＝7×(
3
4)
9
,
所以p≥3
4 ,故p 的最小值为3
4.
2.(2025·上饶模拟)为了普及奥运知识,M 大学举办了一次奥运知识竞赛,竞赛分为初赛与决赛,初赛
通过后才能参加决赛.
(1)初赛从6 道题中任选2 题作答,2 题均答对则进入决赛.已知这6 道题中小王能答对其中4 道题,
求小王在已经答对一题的前提下,仍未进入决赛的概率;
(2)M 大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩,决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励
规则如下:对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3 次,中奖1 次奖励120 元,中奖2 次奖励180
元,中奖3 次奖励360 元,若3 次均未中奖,则只奖励60 元,假定每次中奖的概率均为p(0< p< 3
4),
且每次是否中奖相互独立.
①记一名进入决赛的大学生恰好中奖1 次的概率为f(p),求f(p)的极大值;
②M 大学数学系共有9 名大学生进入了决赛,若这9 名大学生获得的总奖金的期望值不小于1 120
元,试求此时p 的取值范围.
解 (1)记事件A:小王已经答对一题,事件B:小王未进入决赛,
则小王在已经答对一题的前提下,仍未进入决赛的概率P(B|A)＝n( AB)
n( A) ＝
C4
1·C2
1
C4
1·C2
1＋C4
2 ＝
8
8＋6 ＝4
7
.
(2)①由题意知f(p)＝C3
1p(1－p)2＝3p3－6p2＋3p,0<p<3
4,
则f'(p)＝9p2－12p＋3＝3(3p－1)(p－1),
令f'(p)＝0,得p＝1
3或1(舍),
当p∈(0, 1
3)时,f'(p)>0,
当p∈(
1
3 , 3
4)时,f'(p)<0,
所以f(p)在(0, 1
3)上单调递增,在(
1
3 , 3
4)上单调递减,
所以当p＝1
3时,f(p)有极大值,
且极大值为f(
1
3)＝4
9.
②设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量Y,则Y 的可能取值为60,120,180,360,
则P(Y＝60)＝(1－p)3,
P(Y＝120)＝C3
1p(1－p)2,
P(Y＝180)＝C3
2p2(1－p),
P(Y＝360)＝p3,
所以E(Y)＝60(1－p)3＋120C3
1p(1－p)2＋180C3
2p2(1－p)＋360p3＝60(2p3＋3p＋1),
令9E(Y)≥1 120,即540(2p3＋3p＋1)≥1 120,
整理得2p3＋3p－29
27≥0,
因为2p3＋3p－29
27
＝2(p
3−1
3 p
2)＋2
3(p
2−1
3 p)＋29
9 (p−1
3)
＝(p−1
3)(2 p
2＋2
3 p＋29
9 ),
易知2p2＋2
3p＋29
9 ＝2(p＋1
6)
2
＋19
6 >0,
所以p－1
3≥0,即p≥1
3,
又0<p<3
4 ,
所以p 的取值范围为[
1
3 , 3
4)
