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专题12 均值不等式与不等式综合问题（一题多变）
【典例展示】（1）已知
，
且
，则
的最小值为______．
（2）设x、y 为实数，若
，则
的最大值为______．
（3）已知
，
，
，则
的最小值是（ ）．
A．3 B．4 C．
D．
【思路分析】 第（1）小题，有四种不同的思路：①直接法，从
出发，应用均
值不等式得到
，通过解不等式
来完成；②直接法，从
出发，变换得到
，解出
来完成．③消元法，
从
出发解出x 或y，代入xy 化为分式函数进一步转化求解.④令
，
，转化成三角问题.
第（2）小题，有三种不同的思路：①对
两边平方后用xy 表示，从已知条件解出xy
范围；②令
，使之与已知方程联立，根据方程组有解求t 范围．③ 利用配方变形
化为
，利用完全平方非负.
第（3）小题，有两种不同的思路：①由
．
转化成关于
的“一元二次不等式”问题.②利用消元法.
【精细解析】（1）解法一（直接法一）∵
，
，∴
，
∴
，
即
，当且仅当
，即当
，
时，
有最小值64．
解法二（直接法二）∵
，
，且
．
∴
，∴
，即
，
当且仅当
且
时，即当
，
时，
有最小值64．
解法三（消元法）∵
，∴
，∴
．
又∵
，
，∴
，∴
．
∴
．
当且仅当
，即当
，
时，
有最小值64．
解法四（三角换元法）∵
，
，∴
，
，
∵
，∴
，∴
．
∴
，当且仅当
，即
，
时，
有最小值
64．
（2）解法一 ∵
．
∴
，
∴
，即
，当
时，等号成立．
∴
的最大值是
．
解法二 令
，则原问题转化为求t 的最大值．
∴
有解，消去y，得关于x 的一元二次方程有解，
∴
，解得
．
∴
的最大值是
，此时
，
．
解法三 利用配方变形得到
，
故有
，由
，可知
．
当
时等号成立．∴
的最大值是
．
（3）解法一 ∵
．
∴
，∴
或
．
又∵
，
，∴
．∴
，故选B．
解法二 ∵
，∴
，∴
．
∴
，此时
，
，故选
B．
【题后反思】
这是一组运用均值不等式求最值的题目，也是求最值常用的一种“通法”，因为“积定和
最小、和定积最大”，所以，若求和的最小值则要分析其积是否为定值，若求积的最大值
就要分析其和是否为定值．
利用均值不等式求最值，必须牢记“一正二定三相等”的原则，任何一个条件不能忽略，
一旦忽略必导致解题错误，应引起足够的重视，在具体问题中，“正数”这个条件一般由
已知条件容易获得，“相等”这个条件也易确定，而获得“定值”则往往被设计为一个难
点，它需要一定的灵活性，因此，“定值”的获得是运用均值不等式求最值的关键．解题
时应根据题设适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造运用均值不等式及等号
成立的条件，使定值突现．当连续运用均值不等式时，各不等式取等号的条件应互不冲突，
否则也不能求出最值．作为均值不等式，考查的方式主要有三种，一是独立考查其应用于
不等式的证明之中；二是运用均值不等式求函数或代数式的最值，这是一种最为基本也最
易于与其它知识交汇的题型；三是应用于某些求参数问题中.在下面的变式及训练题中，将
展示在与其它知识交汇问题中的应用，注意体会多种方法的灵活妙用.
【追根溯源】
1．均值不等式
（1）若a，
，则
，
，当且仅当
时取“等号”．
（2）若a，
，则
，当且仅当
时取“等号”．
（3）若a，b，
，则
，当且仅当
时取“等号”．
（4）均值不等式的一般形式：
若
，
，
，…，
，则
，当且仅当
时
取“等号”，其中
为
，
，
，…，
的算术平均数，
为
，
，
，…，
的几何平均数．
（5）若a，
，则
．
若a，b，
，则
（三元均值不等式）
2．均值定理：已知x，
，
，
，则①如果P 是定值，那么当且仅当
时，S 的值最小；②如果S 是定值，那么当且仅当
时，P 的值最大．
用均值定理求代数式的最值可简化为“和定积最大，积定和最小”；
即两正数之和为定值时，其积可求最大值；两正数之积为定值时，其和可求最小值．
3．不等式的综合应用
不等式的综合应用主要体现在不等式内容自身的综合，以及不等式数学知识与其他数学知
识的综合上．通常有以下几种命题形式．
（1）利用均值不等式比较代数式的大小．
（2）灵活运用不等式的性质与均值不等式求函数的定义域、值域．
（3）运用均值不等式求最值．在运用公式时应严格按照“一正二定三相等”的原则实施，
有时还要进行灵活配凑，创造条件加以运用．
（4）利用均值不等式证明不等式、求解不等式恒成立问题．
（5）利用均值不等式解决实际应用问题．
（6）考查均值不等式在与函数、数列、解析几何、解三角形等知识交叉的综合题中的应用，
尤其是3 个“二次”间的转化，方程根的分布，数列的最大项、最小项，解析几何中的最
值问题等，体现了在学科知识网络交汇点上设计试题这一思想．
【变化角度】变为应用均值不等式证明不等式、确定“变量”的最值.
（2020·全国·高考真题）设a，b，c
R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c 中的最大值，证明：max{a，b，c}≥
．
【思路分析】（1）有五种思路，除从不等关系入手，应用不等式性质、均值不等式外，还
可以通过构造函数，转化成二次函数或三次函数问题；
（2）除利用均值不等式、不等式的性质如方法一：不妨设
，因为
，所以
，则
．
故原不等式成立．还可以利用反证法加以证明.
【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法
，
.
均不为
，则
，
．
［方法二］：消元法
由
得
，则
，当且仅当
时取等号，
又
，所以
．
［方法三］：放缩法
方式1：由题意知
，又
，故结论得证．
方式2：因为
，
所以
．
即
，当且仅当
时取等号，
又
，所以
．
［方法四］：
因为
，所以a，b，c 必有两个负数和一个正数，
不妨设
则
.
［方法五］：利用函数的性质
方式1：
，令
，
二次函数对应的图像开口向下，又
，所以
，
判别式
，无根，
所以
，即
．
方式2：设
，
则
有a，b，c 三个零点，若
，
则
为R 上的增函数，不可能有三个零点，
所以
．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
不妨设
，因为
，所以
，
则
．故原不等式成立．
［方法二］：
不妨设
，因为
，所以
，且
则关于x 的方程
有两根，其判别式
，即
．
故原不等式成立．
［方法三］：
不妨设
，则
，关于
c 的方程有解，判别式
，则
．故原不等式成立．
［方法四］：反证法
假设
，不妨令
，则
，又
，矛盾，故假设不成立．即
，命题
得证．
【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证
法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性
质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；
方法五：利用函数的性质证出．
（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用
消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可
证出．
【变换角度】与三角恒等变换、解三角形相结合，体现均值不等式在解三角形求最值问题
中的应用.
（2022·全国·高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若
，求B；
(2)求
的最小值．
【思路分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将
化成
，再结合
，即可求出；
（2）由（1）知，
，
，再利用正弦定理以及二倍角公式将
化
成
，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为
，即
，
而
，所以
；
（2）由（1）知，
，所以
，
而
，
所以
，即有
，所以
所以
．
当且仅当
时取等号，所以
的最小值为
．
【变换角度】根据二次函数在指定区间的单调性求参数的范围，根据函数的性质转化成均
值不等式求参数最值问题.
如果函数
在区间
上单调递减，则
的最大值
为（ ）．
A．16 B．18 C．25 D．
【思路分析】 首先根据二次函数的图像和性质 ，确定m,n 的关系式，而后利用
均值不等式求mn 的最值．
【详解】
当
时，抛物线的对称轴为
，当
时，抛物线开口向上，
∵函数
在区间
上单调递减，∴
，即
．
∵
，∴
，由
且
，得
，
．
当
时，抛物线开口向下，由题意得
，即
，
∵
，∴
．
由
且
得
，故应舍去；要使得
取得最大值，应有
，
∴
．
综上，可得
的最大值为l8，故选B
【变换角度】以几何图形、平面向量的运算为背景，确定平面向量数量积法最值.
（2023·天津·高考真题）在
中，
，
，记
，用
表示
；若
，则
的最大值为 ．
【思路分析】空1：根据向量的线性运算，结合
为
的中点进行求解；空2：用
表
示出
，结合上一空答案，于是
可由
表示，然后根据数量积的运算和基本不
等式求解.
【详解】空1：因为
为
的中点，则
，可得
，
两式相加，可得到
，
即
，则
；
空2：因为
，则
，可得
，
得到
，
即
，即
.
于是
.
记
，
则
，
在
中，根据余弦定理：
，
于是
，
由
和基本不等式，
，
故
，当且仅当
取得等号，
则
时，
有最大值
.
故答案为：
；
.
（23-24 高二下·天津滨海新·阶段练习）
1．对任意
，不等式
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设
为坐标原点，
是以
为焦点的抛物线
上任意一点，
是线段
上的点，且
,则直线
的斜率的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
（2024·浙江杭州·模拟预测）
3．已知
，
都是正实数，若向量
，
，且满足
，则
的
最小值是（ ）
A．50
B．
C．
D．
4．设
，且
，则
的最小值为
（2022·全国·高考真题）
5．已知
中，点D 在边BC 上，
．当
取得最小值
时，
．
（23-24 高一上·云南曲靖·期末）
6．已知
，
，且
，证明：
(1)
；
(2)
．
