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专题 03 均值不等式及不等式综合
目录
题型一：公式直接用.............................................................................................................................................................1
题型二：公式成立条件.........................................................................................................................................................3
题型三：对勾型凑配.............................................................................................................................................................6
题型四：“1”的代换：基础代换型...................................................................................................................................7
题型五：“1”的代换：有和有积无常数型.......................................................................................................................9
题型六：“1”的代换：有和有积有常数型.....................................................................................................................10
题型七：分母构造型：分母和定无条件型.......................................................................................................................12
题型八：分母构造型：分离型型.......................................................................................................................................14
题型九：分母构造型：一个分母构造型...........................................................................................................................16
题型十：分母构造型：两个分母构造型...........................................................................................................................17
题型十一：分离常数构造型...............................................................................................................................................19
题型十二：换元构造型.......................................................................................................................................................21
题型十三：分母拆解凑配型...............................................................................................................................................23
题型十四：万能“K”型....................................................................................................................................................26
题型十五：均值不等式应用比大小...................................................................................................................................27
题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型...................................................................................................................30
题型十七：因式分解型.......................................................................................................................................................32
题型十八：三元型不等式...................................................................................................................................................34
题型一：公式直接用
基本不等式：≤；
(1) 基本不等式成立的条件： a >0 ， b >0 ；
(2) (2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b .
(3) 基本不等式的变形：
①a＋b≥2，常用于求和的最小值；
②ab≤2，常用于求积的最大值；
1．（22-23高三·北京·阶段练习）若 ，且 ，则在下列四个选项中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】（1）先判断 ，可得 ，所以 ，排除A、D，再用作差法比较B、C的大小，
可得答案.
（2）也可以令 ， 取特殊值进行验证排除.
【详解】方法一：∵ 且 ，∴ ，可排除A；又 ，排除D；∵ ，
即 ，排除B.
故选：C.
方法二：因为 且 ，可取 ， .
则： ， ，因为 .
故选：C.
2．（22-23高三·全国·课后作业）若 ，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质及基本不等式化简判断即可.
【详解】因为 ，显然有 ，故A正确；
而 ，所以 ，故B正确；
又 ，所以 ，故C正确；
不妨令 则 ，故D错误.
故选：D.
3．（22-23高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）设 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．18 B．9 C．6 D．3
【答案】C
【分析】根据基本不等式，即可求解.
【详解】∵
∴ ，（当且仅当 ，取“=”）
故选：C.
4．（23-24高一下·河南·开学考试）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件和不等式的性质，分别判断各选项中的结论是否正确．
【详解】因为 ，所以 ，则 ，则A选项错误；
因为 ，所以 ，又 0，则 ，即 ，所以 ，即 ，则B
选项正确；
当 时， ，则C选项错误；
因为 ，由B选项可知 ，所以 ，则D选项错误.
故选：B
5．（2024·重庆·模拟预测）设 且 ，则 的最大值为
【答案】
【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式即可求解.【详解】因为 且 ，则 ，
解得： ，当且仅当 ， 时等号成立，所以 的最大值为 ，
则 ，
即 的最大值为
故答案为：
题型二：公式成立条件
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
1．（23-24高三·辽宁本溪·开学考试）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
举反例可判断A错误；由基本不等式可得B正确；由基本不等式和正弦函数的值域可判断 C错误；由基本
不等式和完全平方可判断D错误.
【详解】
A：当 时， ，故A错误；
B： ，当且仅当 ，即 时取等号，故B正确；
C：当 时， ， ，当且仅当 ，即 时取等号，因为
，故C错误；
D： ，当且仅当 ， 时取等号，又 ，故D
错误；
故选：B.
2．（23-24高三·安徽六安·开学考试）设 ， ，则“ ”是“ ”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
根据基本不等式以及必要不充分条件的定义求解.
【详解】∵ ， ，∴ ，当且仅当 时等号成立，若 时， ，则 ，
即“ ”是“ ”的必要不充分条件，
而 无法推出 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选： .
3．（23-24高三·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，且 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．对任意 ， 均成立.
【答案】A
【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项， ，当且仅当 时等号成立，A选项正确.
B选项，当 时， ，所以B选项错误.
C选项，当 时， ，所以C选项错误.
D选项，当 时， ， 不成立，所以D选项错误.
故选：A
4．（多选）（23-24高三·四川眉山·期中）下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 且 ，则 D．若 ，则
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式可判断ABC选项，利用特殊值法可判断D选项.
【详解】对于A选项， 若 ，则 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，A对；
对于B选项， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，B对；
对于C选项，若 且 ，则 ，当且仅当 时，即当 时，等号成立，C对；
对于D选项，若 ，取 ，则 ，D错.
故选：ABC.
5．（多选）（23-24高三·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（ ）
A．函数 的最大值是 B．函数 的最小值是2
C．函数 的最小值是6 D．若 ，则 的最小值是8
【答案】ACD
【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，对于函数 ，
，
当且仅当 时等号成立，所以A选项正确.
B选项， ，
当 无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误.
C选项，对于函数 ， ，
，
当且仅当 时等号成立，所以C选项正确.
D选项，由基本不等式得 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，所以D选项正确.
故选：ACD
6．（多选）（23-24高三·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．当 时，
B．若 ，则函数 的最小值等于
C．若 ，则 的取值范围是
D． 的最大值是
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式知识即可判断，需注意“一正二定三相等”.【详解】当 时，重要不等式 成立，故A正确；
选项中对于均值不等式的运用出错，不满足“一正二定三相等”中的“积为定值”条件，故B错误；
由于 ，当且仅当 时等号成立.
因此 ，
即 的取值范围是 ，故 正确；
由于 ，
根据均值不等式得 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
即 有最大值为 ，故D正确.
故选：ACD.
题型三：对勾型凑配
1.对勾型结构：
容易出问题的地方，在于能否“取等”,如 ，
2.对勾添加常数型
对于形如
，则把 转化为分母的线性关系： 可消去。不必记忆，直
1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数 ，则当 时， 有（ ）
A．最大值 B．最小值
C．最大值 D．最小值
【答案】B
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】由题意当 时， ，等号成立当且仅当 .
故选：B.
2．（23-24高三 ·陕西西安·阶段练习）函数 的最小值为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由 可得 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故选:D
3．（21-22高二上·陕西咸阳·期中）已知函数 的定义域为 ，则 的最大值
为（ ）
A．5 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】令 之后用基本不等式求函数的最值.
【详解】 令
当且仅当 即 时取得.
故选：C
4．（23-24高三·吉林·阶段练习）已知 ，则 的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.
【详解】由 ，则 ，
当且仅当 时等号成立，故最小值为 .
故选：C
5．（23-24高三·广东佛山·模拟）函数 ， 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【分析】利用配凑法结合基本不等式求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以函数 ， 的最小值为 .
故选：C.
题型四：“1”的代换：基础代换型“1”的代换
.利用常数 代换法。多称之为“1”的代换
1．（2022高三上·全国·专题练习）若 ， ， 且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】将 展开利用基本不等式求得最小值可得答案.
【分析】因为 且 ，所以 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值为2.
故选：A.
2．（23-24高三·贵州黔南·阶段练习）已知 且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为9.
故选：C
3．（23-24高三·河南南阳·阶段练习）若 ， ，则的 最小值是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．8
【答案】B
【分析】利用常数代换的思想和基本不等式即可求得.
【详解】因 ， ，故由 ，
当且仅当 时，等号成立.由 解得：
即当且仅当 时， 取最小值为4.
故选：B.
4．（22-23高一下·湖南邵阳·阶段练习）设 ， ，若 ，则 的最小值为（ ）A． B．4 C．9 D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】
，
当且仅当 时等号成立.
故选：D
5．（22-23高三·内蒙古呼和浩特·期中）已知x，y为正实数，且 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】结合基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意， ，
，
当且仅当 时等号成立.
故选：B
题型五：“1”的代换：有和有积无常数型
有和有积无常数
形如
，可以通过同除ab，化为 构造“1”的代换求解
1．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）若 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】 ， ，由 得 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为 .
故选：A
2．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知 且 ，则 的最小值为（ ）A． B．10 C．9 D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.
【详解】由 可得， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取得等号，
所以 的最小值为9，
故选:C.
3．（2022·四川乐山·一模）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得， ，再根据基本不等式乘“ ”法即可得最小值.
【详解】由题可知 ，乘“ ”得 ，当且仅
当 时，取等号，则 的最小值为 .
故选：A
4．（21-22高三·山西太原·阶段练习）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【详解】根据题意， ，
∴ ，当且仅当 且 时等号成
立，
∴ 的最小值为 ，
故选：D．
5．（23-24高一下·广西·开学考试）已知 ， ，且 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题干等式变形得出 ，可得出 ，将代数式 与 相乘，展开
后利用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】因为 且 ， ，所以 ，
则 ，
当且仅当 时，即当 ， 时，等号成立.因此， 的最小值是 .
故选：C.
题型六：“1”的代换：有和有积有常数型
有和有积有常数
形如 求
型，可以对“积 pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的
“和”的系数系数，如下：
1．（23-24高三·广西·模拟）已知 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得关于 的一元二次不等式，解不等式即可.
【详解】 ，则有 ，
可得 ，即 4，当且仅当 时，等号成立.
所以 的最大值为4.
故选：B
2．（23-24高三·甘肃·模拟）若正数a，b满足 ，则ab的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式 将等式转化为关于 的不等式即可求解.
【详解】 ，
，即 .
，又因为a，b为正数，所以 .
，即 ，当且仅当 等号成立，
故 的取值范围是 .
故选：C.
3．（23-24高三·江苏·模拟）已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】注意到不等式 ，所以可将条件等式转换为关于 的一元二次不等式，从而即可得
解.
【详解】注意到 ，等号成立当且
仅当 ，从而 ，
因为 ， 是正实数，
所以解得 或 （舍去），
即 的最小值是4，等号成立当且仅当 .
故选：C.
4．（23-24高三·安徽阜阳·模拟）已知正实数 满足 ，记 的最小值为 ；若 且
满足 ，记 的最小值为 .则 的值为（ ）
A．30 B．32 C．34 D．36
【答案】C
【分析】由条件 ，利用基本不等式可求得 ，可得 的值，又由“1”的代换可求得
的最小值，可得 的值，进而得解.
【详解】根据题意，∵
，当且仅当 时等号成立，
令 ，有 ，
解得 ，即 ， ；
，
，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
；
故选：C.
5．（23-24高三·福建莆田·模拟）已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求和的最小值.
【详解】由 ，得 ，又 ， ，即 ， ，
则 ，即 ，解得 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，所以 ，故选：C.
题型七：分母构造型：分母和定无条件型
无条件分母和定型
型 ， 满 足 （ 定 值 ） ， 则 可 以 构 造1．（2020高三·全国·专题练习） 的最小值为（ ）
A．2 B．16 C．8 D．12
【答案】B
【分析】先构造 ，再利用均值不等式求最值即可.
【详解】解：∵ ，
∴
，
当且仅当 ，即 ， 时“=”成立，
故 的最小值为16.
故选：B.
【点睛】本题考查了均值不等式的应用，重点考查了构造均值不等式求最值，属基础题.
2．（21-22高三·福建莆田·期末）当 时， 的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】利用 ， 借助基本不等式计算即可.
【详解】因为 ，所以 , ,
因为 ，
所以 ，
，
当且仅当 时，即 时， 取得最小值 .
故选：B.
3．（2024·山西临汾·三模）若 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，取得最小值 ，
故选：D．
4．（22-23高三·江苏南通·模拟）函数 （ ）的最小值是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 展开后，运用基本不等式可得所求最小值，注意取值
条件.
【详解】由 ，可得 ，
，
仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为 .
故选：B
5．（23-24高三·四川成都·期中）若 ，则 的最小值为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意确定 ，且 ，将 变形为 ，
展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】因为 ，故 ，则 ，
故
，
当且仅当 ，即 时等号成立，即 的最小值为 ，故选：D
题型八：分母构造型：分离型型
对勾分离常数型（换元型）
型，可以通过换元 分离降幂，转化为对勾型
1．（21-22高三·辽宁沈阳·模拟）若不等式 在区间 上有解，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】运用换元法，构造新函数，利用新函数的最值进行求解即可.
【详解】令 ，所以 ，
设 ， ，
函数 在 时，函数单调递减，在 时，函数单调递增，
因为 ， ，所以函数 在 时，最大值为 ，
要想不等式 在区间 上有解，只需 ，
故选：C
2．（23-24高三·海南海口·阶段练习）若函数 在 是增函数，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】变形换元得到 ， ，考虑 ， 和 三种情况，结合对勾函数
性质得到不等式，求出实数 的取值范围.
【详解】 ，
令 ，故 ， ，
当 ，即 时， 在 上单调递增，满足要求，
当 ，即 时， 在 上单调递增，满足要求，
当 ，即 时，由对勾函数性质得到 在 上单调递增，
故 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围是 .
故选：A
3．（2020高三·河北石家庄·阶段练习）已知 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．7
【答案】A
【分析】化简 为 ，利用均值不等式求解即可.
【详解】
，
， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为
故选：A
4．（20-21高三·辽宁大连·模拟）“ ”是“关于 的不等式 （ ）有解”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用基本不等式求得当 时， 的最小值为 ，结合充分条件、必要条件的判定方法，
即可求解.
【详解】由题意知 ，可得 ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以当 时， 的最小值为 ，
当 时，可得关于 的不等式 有解成立，即充分性成立，
反之：关于 的不等式 有解时， 不一定成立，即必要性不成立，
所以“ ”是“关于 的不等式 有解”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（20-21高三·浙江绍兴·期中）若 ，则 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
【答案】A
【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.
【详解】因 ，则 ，
于是得 ，当且仅当 ，即 时取
“=”，
所以当 时， 有最大值 .故选：A
题型九：分母构造型：一个分母构造型单分母
形如 ，求 型，则可以凑配 ，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
1．（23-24高三·浙江温州·模拟）已知非负实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得 且 ，利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为非负实数 满足 ，
显然 ，则 ，所以 ，
则
，当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：B
2．（23-24高一下·福建南平·期中）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 ，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解.
【详解】因为 ，可得 ，
且 ， ，可知 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为1.
故选：B.
3．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知实数 ， ，满足 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】实数 ， ，由 ，得 ，
因此 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：B
4．（23-24高三·浙江·模拟）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根据题意，以 与 为基本量加以整理，化简后利用基本不等式算出答案.
【详解】由 得 ，其中 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ，则 ， 时，等号成立，
故 的最小值为9.
故选：D
5．（23-24高三·广东肇庆·模拟）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【分析】通过配凑，借助基本不等式计算即可.
【详解】因为 ， ，所以 ，
，
当且仅当 ，即 ， 时， 有最小值 .
故选：C.
题型十：分母构造型：两个分母构造型双分母
形如 ，求 型，则可以凑配 ，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
1．（2024·全国·模拟预测）设正实数a，b满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得 ，根据“1”的代换化简得出 .进而根据
基本不等式，即可求得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
所以
，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 ．故选：C．
2．（23-24高三·浙江·期中）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】根据已知等式，结合基本不等式进行求解即可．
【详解】因为 ，所以 ，
则
当且仅当 ，即 时，等号成立．
故选：C．
3．（23-24高三·江苏徐州·阶段练习）已知正实数 满足 ，不等式 恒成立，则实
数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得当 时， ，即可求得实数m的取值范围
是 .
【详解】易知
，所以可得 ；当且仅当 ，即 时，等号成立；依题意需满足 ，所以 .故选：D
4．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知非负实数 ， 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 ，利用基本不等式“1”的代换求其最小值，注意取值条件.
【详解】非负实数 ， 满足 ，则 ，
则
，当且仅当 ，即 时等号
成立，
所以当 时， 的最小值为 .故选：D
5．（23-24高三·湖北·阶段练习）若 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用乘“1”法即可求解.
【详解】 可变形为 ，
所以
，
当且仅当 即 ， 时取等号，故选：C
题型十一：分离常数构造型
对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化
为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解
分离常数技巧：1．（23-24高三·广东佛山·阶段练习）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ．
因为 ，
所以
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，故 的最小值是 ．
故选：A.
2．（23-24高三上·广东东莞·期中）已知a，b为正实数，且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】正实数 满足 ，则
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取得最小值 .
故选：D
3．（23-24高三·全国·期末）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】C
【分析】根据题意整理可得 ，再利用基本不等式求解即可得.
【详解】由于 ， ，且 ，
则
，当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为 .故选：C.4．（23-24高三·湖北武汉·模拟）已知 且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】将已知化为 ， ，再利用
基本不等式即可求解.
【详解】 ， ， ，
，当且仅当 ，且 ，即 时等号成立，
的最小值为 .故选：A
5．（22-23高一下·云南·阶段练习）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】整理得出 ，由已知变形可得 ，展开
后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】因为 ， ，则 ，因为 ，则 ，
所以，
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 的最小值为 .故选：B.
题型十二：换元构造型若已知 （定值）， 型，则可通过线性换元，令 ，反解出
代入条件等式 中，换元为简单的条件不等式
1．（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知 且 ，则 的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】令 ，结合 可得 ，由此即得 ，
展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意 得， ，
令 ，则 ，
由 得 ，
故
，
当且仅当 ，结合 ，即 时取等号，
也即 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为9，
故选：B
2．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知实数x，y满足 ，且 ，则 的最小值
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】先得出 ，再根据基本不等式“1”的妙用求得结果.
【详解】设 ，
则 且 ，解得 .
所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时取等号，即 且 ，解得 .
故选：B.
3．（21-22高三·河南洛阳·阶段练习）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用双换元法化简后，根据基本不等式计算
【详解】 ，
令 ， ，则 ， ，
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，故 有最小值 ．
故选：B
4．（22-23高三上·江西南昌·阶段练习）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用及换元法即可求得结果.
【详解】 ，
令 ， ，则 ， ，
，
当且仅当 且 ，即 ， 时，等号成立，
所以 ，故 有最小值 .
故选：D.
5．（2022·安徽合肥·模拟预测）已知正数x，y满足 ，则 的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用换元法和基本不等式即可求解.【详解】令 ， ，则 ，
即 ，
∴
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
故选：A.
题型十三：分母拆解凑配型
凑配拆解型
形如 ，求 型，则可以凑配 ，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配
1．（22-23高三上·河北保定·阶段练习）不等式 的解集为 ，其中 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得 ，则有 ，所以
，化简后利用基本不等式可求得其最小值.
【详解】 方程 有两个不等的实数根，
，
，即 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为 .
故选：C2．（22-23高三·河北承德·期末）已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．12 D．10
【答案】B
【分析】利用 得出 ，结合基本不等式求解.
【详解】因为 ，所以 ，而 ，
，当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选：B
3．（19-20高三上·陕西榆林·阶段练习）已知 的值域为 ，当正数 满足
时，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据值域计算 ，变换 ，利用均值不等式得
到答案.
【详解】 ，当 时，函数有最小值 ，故 ；
即 ，
，
当 ，即 ， 时等号成立.
故选： .
【点睛】本题考查了函数值域，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
4．（2024·四川成都·模拟预测）若 是正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察等式分母可知 ，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.
【详解】因为
，
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 .
故选：A
5．（23-24高三下·河北·开学考试）已知 ， 均为正实数，且满足 ，则 的最小值为
（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】先将 化为 ，把待求不等式先通分，再利用均值不等式可得.
【详解】因为 ， 均为正实数，且 ，得 ，
所以 ，
又 ，
当且仅当 即 时取等号，所以 .
故选：B.
题型十四：万能“K”型
一般情况下的“万能K法”
设K法的三个步骤：
⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；
⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；
⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值。
求谁设谁，构造方程用均值
1．（22-23高三上·江苏南京·模拟）已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．9
【答案】D
【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.
【详解】因为 ，所以 ,
所以 ，
即
所以 ，解得 ，
当且仅当，解得 或 时等号成立，
所以当 时 有最大值为9.
故选:D.
2.（2022·全国·高一课时练习）已知 为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，化简得到 ，结合基本不等式，即可
求解.
【详解】由题意，可得 ，
则有 ，解得 ，
当且仅当 ， 取到最小值 .
故选：B.
3.（2022秋·四川成都·高一成都外国语学校校考期中）已知正数 满足 ，则 的最大
值是 .
【答案】
【分析】令 ，则 ， ，利用基本不等式，并结合一
元二次不等式的求法可得 的范围，进而得到答案.
【详解】令 ，因为 ， ，所以 .
则 ，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立.
所以 ，即 ，解得 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
4.（21-22高三上·湖北襄阳·期中）若正数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】由题意可得 ，化简利用基本不等式可得 ，从而可求出 的最小值.
【详解】解： ， ，
，
当且仅当 时等号成立， ，解得 ，
的最小值为 故选：C
题型十五：均值不等式应用比大小
几个重要不等式
（1） _ （ ）；
（2） （ ）；
（3） 2（ ）；
（4） _ _ 或 （ ）；
（5）
1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，由导数分析函数 在 上单调递减，所以得到
，得到 ，作差比较 的大小，利用基本不等式比较大小即可.
【详解】设 ，则 在 上单调递减，
所以 ，所以 ， ， ，
，
所以 ，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键是构造函数 ，由导数分析函数 在 上
单调递减，所以得到 ，利用基本不等式比较大小即可.
2．（2023·河南洛阳·一模）下列结论正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】运用作差法、对数运算公式及基本不等式可比较 与 ，再运用构造函数
研究其单调性可比较 与 .
【详解】∵ ，
，
∴ ，所以 .
∵
∴比较 与 的大小，即比较 与 的大小.
令 ，则 .
令 ，则 .
所以 在 上单调递减，
所以当 时， ，所以 ，所以 在 上单调递减.
又因为 ，
所以 ，即 .所以 ，即 .
综上所述， .
故选：B.
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓
住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
3．（22-23高三·江苏常州·模拟）若 且 ，设 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先将 与 常数进行比较，然后通过 与 比较大小，再通过基本不等式进行放缩，最后
通过 放缩
【详解】 ，可得： ， ，
可得： 且由基本不等式，可得：
又 ，可得： ，且 ，
可得： ，即
故选：A
4．（2022·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对已知等式两边分别取对数求出a，b，c，然后通过换底公式并结合基本不等式比较a，b的大小，
从而得到a，b，c的大小关系．
【详解】分别对 ， ， 两边取对数，得 ， ， ．
．
由基本不等式，得:
，
所以 ，
即 ，所以 ．
又 ，所以 .
故选：D．
5．（23-24高三·浙江温州·模拟）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断出 ， ，然后根据作差法结合基本不等式比较 .
【详解】由题意， ， ， ，
由换底公式， ，
，
由于 ，根据基本不等式， ，
故 ，即 ，于是 .故选：A
题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型恒成立：
①若 在 上恒成立，则 ；
②若 在 上恒成立，则 ；
③若 在 上有解，则 ；
④若 在 上有解，则 ；
函数最值，符合均值不等式条件的，可以构造均值不等式放缩求最值
1．（22-23高三·福建厦门·阶段练习）已知不等式 对满足 的所有正实数
a，b都成立，则正数x的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】先利用基本不等式证得 （此公式也可背诵下来），从而由题设条件证得
，结合题意得到 ，利用二次不等式的解法解之即可得到正数 的最小值.
【详解】因为 ，当且仅当
时，等号成立，
所以 ，
因为 为正实数，所以由 得 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，且 ，即 时，等号成立，
所以 ，即 ，
因为 对满足 的所有正实数a，b都成立，
所以 ，即 ，整理得 ，
解得 或 ，由 为正数得 ，
所以正数 的最小值为 .
故选：B.
2．（23-24高三·甘肃兰州·期末）对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数
的最大值（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】首先不等式变形为 恒成立，再利用两次基本不等式求 的最小值，即可求解
的取值.
【详解】不等式 恒成立，可转化为
恒成立，其中 ，
令 ，
，
，
第二次使用基本不等式，等号成立的条件是 且 ，
得 且 ，此时第一次使用基本不等式 ，说明两次基本不
等式能同时取得，
所以 的最小值为 ，
即 ，则 ，
所以实数 的最大值为 .
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求 的最值时，需变形为
，再通过两次基本不等式求最值.
3．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）不等式 对所有的正实数 , 恒成立，则 的
最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【分析】由题意可得 ，令 ，则有 ， ，结
合基本不等式求得 ，于是有 ，从而得答案.
【详解】解：因为 , 为正数，所以 ，所以 ，则有 ，令
，则 ，所以 ，当且仅当
时，等号成立，所以 ， ，又 ，所以 ，即 ，所以 的最小值为1，所以 ，即 的最大值为1.故选：D.
【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数(代数式)的最值即可得
解.
4．（22-23高三上·河南郑州·模拟）已知正数a，b满足 ，若 恒成立，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先参变分离得 ，再利用 ，与 相乘，然后连续运用两次基本不等式即可.
【详解】依题意， ．又 ，而
，
当且仅当 ，即 ， 时，前后两个不等号中的等号同时成立，所以 的取值范围为
故选：
题型十七：因式分解型
如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常见的因式分解：
1.（2023·全国·高三专题练习）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是 ．
【答案】10
【解析】将已知等式化为 ，所求式子化为 ，利用基本不等式即可求解.
【详解】
，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为：10
2.（22-23高三上·江西吉安·模拟）已知实数 ， 满足 ， ，且 ，则 的最大
值为（ ）
A．10 B．8 C．4 D．2
【答案】B
【分析】由 ，变形为 ，设 ，利用基本不等式得到 ，
进而化为 求解.
【详解】解：由 ，变形为 ，设 ，∵ ，当且仅当 时，取等号，即 ，
∴ ，∴ ，即 ， ，∴ ，∴ ，
此时， ，即 ， 时， 的最大值为8.故选：B.
3.（2023高三·全国·专题练习）已知 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式可得 ，结合条件可得 ，进而即得.
【详解】因为 ，由 ，可得 ，又 ，
可得 ，化为 ，
解得 ，则 的取值范围是 .故选：A.
4.（2023·全国·模拟预测）已知实数 、 、 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】设 ，由已知推出 ，将多变量问题转化为单变量问题，结合基
本不等式即可求得答案.
【详解】设 ，则 ，
，
则 ，则 ，
即有 ，
故
，
当且仅当 ，即 或 时取等号，
验证， 时， ，则 ，符合题意，；
时， ，则 ， ，符合题意，
故选：C
5.（22-23高三上·吉林·开学考试）已知 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【分析】对原式因式分解得 ，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】由 ，得 ，即 ，所以 ，当且仅当 ，
即 时，等号成立，所以 的最小值是4.
故选：D.
题型十八：三元型不等式
一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个：
从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法；
从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等；
从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构
的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件.
1.（20-21高三上·北京·强基计划）已知x，y，z是非负实数，且 ，则 的
最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】
利用基本不等式可求最大值.
【详解】
， ， ，
所以 ，
，
因此所求代数式的最大值为1．
故选：A.
2．（21-22高三·浙江温州·模拟）已知 且 ， ， ，则 的
最小值为
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【详解】∵ ，∴ ，
∵ ，
即 ,即 ，
∴ ，
即 解得 或 (舍)，
当且仅当 时取等号．
故选A.
点睛：由 ≥b≥c， +b+c=12可得 ≥4，利用（ -b）（ -c）≥0得出 ，故而45≥bc+ （12-
）= ，从而解出 的范围．3．（2023·安徽滁州·二模）若a，b，c均为正数，且满足 ，则 的最小值
是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】 ，
因为a，b，c均为正数，
所以有 ，
当且仅当 时取等号，即 时取等号，
故选：C
4．（22-23高三·江苏常州·阶段练习）实数a，b，c满足 ， ， ，则
的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】利用因式分式法，结合分式的运算性质、基本不等式进行求解即可.
【详解】 ， ，
， ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立， 的最小值为1，故选：B
【点睛】关键点睛：利用因式分法，得到 是解题的关键.
5．（22-23高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知实数 、 、 满足 ，则 的最大值为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由基本不等式可得 ，求出 的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得
的最大值.
【详解】因为 ，所以， ，
因为 ，可得 ，故当 时， 取最大值 .
故选：A.
