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专题 03 均值不等式及不等式综合
目录
题型一：公式直接用.............................................................................................................................................................1
题型二：公式成立条件.........................................................................................................................................................2
题型三：对勾型凑配.............................................................................................................................................................3
题型四：“1”的代换：基础代换型...................................................................................................................................4
题型五：“1”的代换：有和有积无常数型.......................................................................................................................4
题型六：“1”的代换：有和有积有常数型.......................................................................................................................5
题型七：分母构造型：分母和定无条件型.........................................................................................................................5
题型八：分母构造型：分离型型.........................................................................................................................................6
题型九：分母构造型：一个分母构造型.............................................................................................................................7
题型十：分母构造型：两个分母构造型.............................................................................................................................7
题型十一：分离常数构造型.................................................................................................................................................8
题型十二：换元构造型.........................................................................................................................................................9
题型十三：分母拆解凑配型.................................................................................................................................................9
题型十四：万能“K”型....................................................................................................................................................10
题型十五：均值不等式应用比大小...................................................................................................................................11
题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型...................................................................................................................12
题型十七：因式分解型.......................................................................................................................................................12
题型十八：三元型不等式...................................................................................................................................................13
题型一：公式直接用
基本不等式：≤；
(1) 基本不等式成立的条件： a >0 ， b >0 ；
(2) (2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b .
(3) 基本不等式的变形：
①a＋b≥2，常用于求和的最小值；
②ab≤2，常用于求积的最大值；
1．（22-23高三·北京·阶段练习）若 ，且 ，则在下列四个选项中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三·全国·课后作业）若 ，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．3．（22-23高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）设 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．18 B．9 C．6 D．3
4．（23-24高一下·河南·开学考试）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·重庆·模拟预测）设 且 ，则 的最大值为
题型二：公式成立条件
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
1．（23-24高三·辽宁本溪·开学考试）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三·安徽六安·开学考试）设 ， ，则“ ”是“ ”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（23-24高三·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，且 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．对任意 ， 均成立.
4．（多选）（23-24高三·四川眉山·期中）下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 且 ，则 D．若 ，则
5．（多选）（23-24高三·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（ ）A．函数 的最大值是 B．函数 的最小值是2
C．函数 的最小值是6 D．若 ，则 的最小值是8
6．（多选）（23-24高三·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．当 时，
B．若 ，则函数 的最小值等于
C．若 ，则 的取值范围是
D． 的最大值是
题型三：对勾型凑配
1.对勾型结构：
容易出问题的地方，在于能否“取等”,如 ，
2.对勾添加常数型
对于形如 ，则把 转化为分母的线性关系： 可消去。不必记忆，直
接根据结构转化
1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数 ，则当 时， 有（ ）
A．最大值 B．最小值
C．最大值 D．最小值
2．（23-24高三 ·陕西西安·阶段练习）函数 的最小值为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．7
3．（21-22高二上·陕西咸阳·期中）已知函数 的定义域为 ，则 的最大值
为（ ）
A．5 B． C．1 D．
4．（23-24高三·吉林·阶段练习）已知 ，则 的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．125．（23-24高三·广东佛山·模拟）函数 ， 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
题型四：“1”的代换：基础代换型
“1”的代换
.利用常数 代换法。多称之为“1”的代换
1．（2022高三上·全国·专题练习）若 ， ， 且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（23-24高三·贵州黔南·阶段练习）已知 且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．8 C．9 D．10
3．（23-24高三·河南南阳·阶段练习）若 ， ，则的 最小值是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．8
4．（22-23高一下·湖南邵阳·阶段练习）设 ， ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B．4 C．9 D．
5．（22-23高三·内蒙古呼和浩特·期中）已知x，y为正实数，且 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
题型五：“1”的代换：有和有积无常数型
有和有积无常数
形如
，可以通过同除ab，化为 构造“1”的代换求解
1．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）若 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
2．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知 且 ，则 的最小值为（ ）A． B．10 C．9 D．
3．（2022·四川乐山·一模）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（21-22高三·山西太原·阶段练习）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
5．（23-24高一下·广西·开学考试）已知 ， ，且 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
题型六：“1”的代换：有和有积有常数型
有和有积有常数
形如 求
型，可以对“积 pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的
“和”的系数系数，如下：
1．（23-24高三·广西·模拟）已知 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
2．（23-24高三·甘肃·模拟）若正数a，b满足 ，则ab的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三·江苏·模拟）已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
4．（23-24高三·安徽阜阳·模拟）已知正实数 满足 ，记 的最小值为 ；若 且
满足 ，记 的最小值为 .则 的值为（ ）
A．30 B．32 C．34 D．36
5．（23-24高三·福建莆田·模拟）已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
题型七：分母构造型：分母和定无条件型无条件分母和定型
型 ， 满 足 （ 定 值 ） ， 则 可 以 构 造
1．（2020高三·全国·专题练习） 的最小值为（ ）
A．2 B．16 C．8 D．12
2．（21-22高三·福建莆田·期末）当 时， 的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
3．（2024·山西临汾·三模）若 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．4 C． D．
4．（22-23高三·江苏南通·模拟）函数 （ ）的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三·四川成都·期中）若 ，则 的最小值为（ ）
A．12 B． C． D．
题型八：分母构造型：分离型型
对勾分离常数型（换元型）
型，可以通过换元 分离降幂，转化为对勾型
1．（21-22高三·辽宁沈阳·模拟）若不等式 在区间 上有解，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三·海南海口·阶段练习）若函数 在 是增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020高三·河北石家庄·阶段练习）已知 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．7
4．（20-21高三·辽宁大连·模拟）“ ”是“关于 的不等式 （ ）有解”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（20-21高三·浙江绍兴·期中）若 ，则 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
题型九：分母构造型：一个分母构造型
单分母
形如 ，求 型，则可以凑配 ，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
1．（23-24高三·浙江温州·模拟）已知非负实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．（23-24高一下·福建南平·期中）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知实数 ， ，满足 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三·浙江·模拟）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．95．（23-24高三·广东肇庆·模拟）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
题型十：分母构造型：两个分母构造型
双分母
形如 ，求 型，则可以凑配 ，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
1．（2024·全国·模拟预测）设正实数a，b满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三·浙江·期中）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．9 D．
3．（23-24高三·江苏徐州·阶段练习）已知正实数 满足 ，不等式 恒成立，则实
数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知非负实数 ， 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三·湖北·阶段练习）若 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
题型十一：分离常数构造型对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化
为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解
分离常数技巧：
1．（23-24高三·广东佛山·阶段练习）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·广东东莞·期中）已知a，b为正实数，且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三·全国·期末）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．5
4．（23-24高三·湖北武汉·模拟）已知 且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
5．（22-23高一下·云南·阶段练习）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型十二：换元构造型
若已知 （定值）， 型，则可通过线性换元，令 ，反解出
代入条件等式 中，换元为简单的条件不等式
1．（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知 且 ，则 的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．72．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知实数x，y满足 ，且 ，则 的最小值
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（21-22高三·河南洛阳·阶段练习）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高三上·江西南昌·阶段练习）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·安徽合肥·模拟预测）已知正数x，y满足 ，则 的最小值（ ）
A． B． C． D．
题型十三：分母拆解凑配型
凑配拆解型
形如 ，求 型，则可以凑配 ，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配
1．（22-23高三上·河北保定·阶段练习）不等式 的解集为 ，其中 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三·河北承德·期末）已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．12 D．10
3．（19-20高三上·陕西榆林·阶段练习）已知 的值域为 ，当正数 满足
时，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．4．（2024·四川成都·模拟预测）若 是正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三下·河北·开学考试）已知 ， 均为正实数，且满足 ，则 的最小值为
（ ）
A．2 B． C． D．
题型十四：万能“K”型
一般情况下的“万能K法”
设K法的三个步骤：
⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；
⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；
⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值。
求谁设谁，构造方程用均值
1．（22-23高三上·江苏南京·模拟）已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．9
2.（2022·全国·高一课时练习）已知 为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3.（2022秋·四川成都·高一成都外国语学校校考期中）已知正数 满足 ，则 的最大
值是 .
4.（21-22高三上·湖北襄阳·期中）若正数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
题型十五：均值不等式应用比大小几个重要不等式
（1） _ （ ）；
（2） （ ）；
（3） 2（ ）；
（4） _ _ 或 （ ）；
（5）
1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·河南洛阳·一模）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23高三·江苏常州·模拟）若 且 ，设 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高三·浙江温州·模拟）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型
恒成立：
①若 在 上恒成立，则 ；
②若 在 上恒成立，则 ；
③若 在 上有解，则 ；
④若 在 上有解，则 ；
函数最值，符合均值不等式条件的，可以构造均值不等式放缩求最值1．（22-23高三·福建厦门·阶段练习）已知不等式 对满足 的所有正实数
a，b都成立，则正数x的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（23-24高三·甘肃兰州·期末）对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数
的最大值（ ）
A．2 B．4 C． D．
3．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）不等式 对所有的正实数 , 恒成立，则 的
最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
4．（22-23高三上·河南郑州·模拟）已知正数a，b满足 ，若 恒成立，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
题型十七：因式分解型
如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常见的因式分解：
1.（2023·全国·高三专题练习）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是 ．
2.（22-23高三上·江西吉安·模拟）已知实数 ， 满足 ， ，且 ，则 的最大
值为（ ）
A．10 B．8 C．4 D．2
3.（2023高三·全国·专题练习）已知 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.（2023·全国·模拟预测）已知实数 、 、 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5.（22-23高三上·吉林·开学考试）已知 ，则 的最小值是（ ）A．2 B． C． D．4
题型十八：三元型不等式
一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个：
从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法；
从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等；
从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构
的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件.
1.（20-21高三上·北京·强基计划）已知x，y，z是非负实数，且 ，则 的
最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．以上答案都不对
2．（21-22高三·浙江温州·模拟）已知 且 ， ， ，则 的
最小值为
A．5 B．10 C．15 D．20
3．（2023·安徽滁州·二模）若a，b，c均为正数，且满足 ，则 的最小值
是（ ）
A．6 B． C． D．
4．（22-23高三·江苏常州·阶段练习）实数a，b，c满足 ， ， ，则
的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
5．（22-23高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知实数 、 、 满足 ，则 的最大值为（
）
A． B． C． D．
