文档文本内容
专题14 用导数研究函数的单调性（一题多变）
【典例展示】已知函数
，
．
（1）若
存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；
（2）若函数
在
上单调递减，求实数a 的取值范围．
【思路分析】 第（1）小题，首先确定函数的定义域，求导数
．根据
在
上存在单调递减区间，转化成
有解，
第（2）小题，由
在
上单调递减，应有当
时，
恒成立，
必须特别强调的是，在转化过程中一定要考虑定义域，且第（1）小题
，不能有等
号，第（2）小题
，必须有等号！
【精细解析】（1）根据题意得
．
，则
．
由于
在
上存在单调递减区间，
∴当
时，
有解，即
有解．
设
，又
，∴
，
∴只要
即可．
∴
，即实数a 的取值范围为
．
（2）由
在
上单调递减得，
当
时，
恒成立，即
恒成立．
设
，∴
．
∵
，又
，∴
．
∴
（此时
），
∴
，即实数a 的取值范围为
．
【题后反思】
本例两道小题，属于已知函数的单调情况求参数范围的题型，具体的说二者之间又存在一
定的差别：
其中（1）函数
在区间D 上存在递增（减）区间，其基本的转化方法是“
在区间D 上有解”；
（2）函数
在区间D 上递增（减），其基本的转化方法是“
在区间D 上
恒成立且
无连续零点”．
在这两道小题中，细节值得注意，即第（1）类
，不能有等号！第（2）类
，必须有等号！
事实上，应用导数研究函数的单调性问题，常见考查类型包括：
（1）利用导数判断函数的单调性．
（2）利用导数求函数的单调区间．
（3）已知函数的单调性，求参数的范围．
另外，作为导数研究函数单调性的应用还包括：
（4）函数图像的辨识；
（5）比较函数值大小；
（6）解不等式
【追根溯源】
1．导数法求函数单调区间的一般步骤
（1）第一步，求定义域：贯彻定义域优先原则首先求出
的定义域，并求导函数
．
（2）第二步，求根：求方程
在定义域内的根．
（3）第三步，划分区间：用求得的方程的根划分定义域所在的区间．
（4）第四步，定号：确定
在各个区间内的符号．
（5）第五步，得出结果：求得函数在相应区间上的单调性，即得函数
的单调区间．
2．导数法研究函数单调性的要点
若在
内，
，则
在此区间是增函数，
为
的单调增区间；
若在
内，
，则
在此区间是减函数，
为
的单调减区间．
3．在某区间内，f ′（x）>0（f ′（x）<0）是函数f （x）在此区间上单调递增（减）的充
分不必要条件．可导函数f （x）在（a，b）上单调递增（减）的充要条件是对∀x∈（a，
b），都有f ′（x）≥0（f ′（x）≤0）且f ′（x）在（a，b）上的任何子区间内都不恒为零．
4．构造函数解抽象不等式
（1）对于不等式f ′（x）>k（k≠0），构造函数g（x）＝f （x）－kx＋B．（2）对于不等
式xf ′（x）＋f （x）>0，构造函数g（x）＝xf （x）；对于不等式xf ′（x）－f （x）>0，
构造函数g（x）＝
（x≠0）．
（3）对于不等式xf ′（x）＋nf （x）>0，构造函数g（x）＝xnf （x）；对于不等式xf ′
（x）－nf （x）>0，构造函数g（x）＝
（x≠0）．
（4）对于不等式f ′（x）＋f （x）>0，构造函数g（x）＝exf （x）；对于不等式f ′（x）
－f （x）>0，构造函数g（x）＝
.
（5）对于不等式f ′（x）sin x＋f （x）cos x>0（或f （x）＋f ′（x）tan x>0），构造函
数g（x）＝f （x）sin x；对于不等式f ′（x）cos x－f （x）sin x>0（或f ′（x）－f
（x）tan x>0），构造函数g（x）＝f （x）cos x.
5.解不等式
（1）解函数不等式的关键是研究函数单调性，通过单调性将原问题转化为关于自变量的不
等关系，要注意将常数y0写成f （x0）的形式．
（2）常见的函数构造形式：
①g（x）＝eaxf （x），g′（x）＝eax[af （x）＋f ′（x）]；②g（x）＝
，g′（x）＝
6.含参数的函数的单调性讨论
（1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，应做到
“不重不漏”．
（2）确定函数的单调区间时，一要在函数定义域内讨论，二还要确定导数为零的点和函数
的间断点．
（3）要对分类讨论后的结论进行整合，体现“分类与整合”的数学思想．
7.函数图象的识辨
利用导数进行图象识别有以下三个结论：①在导函数图象中，在x 轴上方区域对应原函数
单调递增区间，在x 轴下方区域对应原函数单调递减区间；②在导函数图象中， 图象由x
轴上方到x 轴下方与x 轴的交点为极大值点；由x 轴下方到x 轴上方与x 轴的交点为极小值
点；③导函数与x 轴的交点不一定是极值点，交点两侧导函数值可能恒正或者恒负，若交
点是极值点，交点两侧导函数值必须异号．
8.已知函数单调性求参数的范围
根据函数单调性求参数的一般思路：①利用集合间的包含关系处理：y＝f （x）在（a，
b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集；②f （x）为增函数的充要条件是对
任意的x∈（a，b）都有f ′（x）≥0 且在（a，b）内的任一非空子集上f ′（x）不恒为零，
应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解；③函数在某个区间存在单调区间可转化为
不等式有解问题．
【变化角度】根据含参数函数不是单调函数，求参数范围.
（23-24 高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数
不是单调函数，
则a 的取值范围为 ．
【思路分析】求出函数
的导数，分类讨论解
或
即可.
【详解】函数
的定义域为
，
求导得
，
当
时，由
，得
，由
，得
，
函数
在
上递减，在
上递增，即
不是单调函数，因此
；
当
时，由
，得
，由
，得
或
，
在
上递减，在
上递增，
不是单调函数，因此
；
当
时，
恒成立，
在
上递增，不符合题意；
当
时，由
，得
，由
，得
或
，
在
上递减，在
上递增，
不是单调函数，因此
，
所以a 的取值范围为
或
.
故答案为：
或
【变换角度】与导数的几何意义相结合，讨论含参数函数的单调性.
（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
（1）若曲线
在
处的切线的斜率为1，求该切线方程；
（2）讨论函数
的单调性．
【思路分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）借助导数，分
、
及
讨论即可得.
【详解】（1）由题意知，
，则
．
因为曲线
在
处的切线的斜率为1，
所以
，即
，即
，
所以
或
，
因此
，
，
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，即
；
（2）
的定义域为
，
，
若
，则
，
在
上单调递增，
若
，则当
时，
，
，
于是
，
，
，
即
，
在
上单调递增，
若
，则当
时，
，
，
于是
，
，
，
即
在
上单调递增，
因此，函数
在
上单调递增．
【变换角度】与导数的几何意义相结合，利用分类讨论思想求函数的单调区间.
已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程．
（2）求
的单调区间．
【思路分析】本例的难点在第（2）问，讨论含参数函数的单调区间，此类问题首先要贯彻
定义域优先的原则求出函数的定义域．这很重要，不然虽辛苦求解劳而无功．其次，对参
数k 的讨论要到位，不能漏掉某种情况．
【详解】（1）当
时，
，
．
由于
，
．
∴曲线
在点
处的切线方程为
，
即
．
（2）
，
．
当
时，
，
∴在区间
上，
，在区间
上，
．
故
的单调递增区间是
，单调递减区间是
．
当
时，∵
．
由
知，在区间
和
上，
，
在区间
上，
，
故
的单调递增区间是
，
，单调递减区间是
．
当
时，
，当
时，
，
故
的单调递增区间是
．
当
时，∵
．
由
知，在区间
和
上，
，
在区间
上，
，
故
的单调递增区间是
，
，单调递减区间是
．
【变换角度】给出函数“A 类函数”的新定义，在“A 类函数”条件下求函数的单调区间.
若函数
在
上恒有
成立（其中
为
的导函数），则称这
类函数为A 类函数．
（1）若函数
，试判断
是否为A 类函数．
（2）若函数
是A 类函数，求函数
的单调区间．
（3）若函数
是A 类函数，当
，
时，证明：
．
【思路分析】（1）根据A 类函数的定义，考察
在
上恒成立；
（2）根据A 类函数的定义，由
，得
．即
．
令
，应用导数研究其单调性.分
、
、
、
、
时，讨论h（x）的单调区间.
（3）根据题意，构造
，则
在
时恒成立.
【详解】（1）解：∵
，
∴
在
上恒成立，
即
在
上恒成立．
∴
是A 类函数．
（2）解：
，
由
，得
． ①
∵
，∴①式可化为
．
令
，
，令
，得
．
当
时，
，
是减函数；
当
时，
，
是增函数．
∴
，∴
，
．
ⅰ．当
时，由
，得
，
∴增区间为
，减区间为
．
ⅱ．当
时，由
，得
．
∴增区间为
，减区间为
．
ⅲ．当
时，由
得
或
，
∴增区间为
，
，减区间为
．
ⅳ．当
时，
，∴函数增区间为
．
ⅴ．当
，由
，得
或
，
∴增区间为
，
，减区间为
．
（3）证明：函数
在
上的每一处都有导数，
且
在
上恒成立，
设
，
在
时恒成立，
∴函数
在
上是增函数，
∵
，
，∴
，
．
∴
，
，
即
，
，
∴
，
，
两式相加，得
．
（2024·山东潍坊·三模）
1．已知函数
的导函数为
，且
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.
【详解】不等式
等价于
，即
，
构造函数
，所以
，
因为
时，
，所以
对
恒成立，
所以
在
单调递减，
又因为
，
所以不等式
等价于
，所以
，
即
的解集为
.
故选：A.
（2024·江苏泰州·模拟预测）
2．若函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出函数
的导函数，利用换元法将题目条件转化为
在
上恒
成立；再构造函数
，判断其函数的单调性，求出最大值即可解答.
【详解】因为函数
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立.
令
，
则
，
所以
在
上恒成立.
又因为
在
上单调递增，
所以当
时
，
故
.
故选：D.
（2024·浙江宁波·模拟预测）
3．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造
，利用导数证明
，代入
可
比较
的大小，根据对数函数的性质可判断
的大小，从而可求解.
【详解】设
，则
，
所以
在
上单调递减，所以
，
所以
，所以
，即
，
所以
，即
，
所以
，即
.
由
，可得
，即
，即
，
所以
，即
.
综上所述，
.
故选:B.
（2024 高三·全国·专题练习）
4．已知函数
,求
的单调区间.
【答案】答案见解析
【分析】先求导，然后讨论
的正负和
的大小关系，最后求出单调区间.
【详解】定义域
,
,
令
,即解不等式
.
（1）当
时,可得
，则不等式的解为
,
的单调区间为：
（2）当
时,
,
①
时，即
,解得
或
,
的单调区间为：
②
,代入到
恒成立,
为增函数.
③
,解得：
或
,
的单调区间为：
综上，当
时,
在
递增,在
递减,在
递增;
当
时,
在
递增;
当
时,
在
递增,在
递减,在
递增;
当
时,
在
递增,在
递增.
（2023·全国·模拟预测）
5．已知函数
，其中为自然对数的底数．
(1)若
在区间
上不是单调函数，求
的取值范围．
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）首先对原函数求导，方法一：通过讨论a 的范围得到函数的单调区间，只需
要极值点在区间
内即可求出a 的范围；方法二：求出函数恒单调时a 的取值范围，取
其补集即可；
（2）原不等式整理后可得
在
上恒成立，构造新函数
，
，通过二次求导结合分类讨论思想即可得到答案.
【详解】（1）方法一 由
，得
．
若
，则
恒成立，
为增函数，不符合题意．
若
，令
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
因为
在区间
上不是单调函数，所以
，
所以
，所以
．
方法二 由
，得
．
若
在区间
上是单调函数，
则
或
在
上恒成立．
若
在
上恒成立，则
在
上恒成立，所以
．
若
在
上恒成立，则
在
上恒成立，所以
．
所以若
在区间
上不是单调函数，则
．
（2）当
时，
，即
，
整理得
在
上恒成立．
令
，
，则
．
令
，则
．
因为
，所以
，所以
在
上为增函数，
所以
在
上为增函数．
所以
．
所以
．
当
，即
时，
恒成立，所以
在
上为增函数，
所以
，即
恒成立．
当
，即
时，因为
在
上单调递增，所以
，使得
．
即当
时，
，当
时，
．
又因为
，所以
在
上不恒成立．
综上可知，
的取值范围是
．
【点睛】第二问转化为
在
上恒成立，其实只要注意到
，必有
成立，可以得到
这个必要条件，然后再论证
是满足题
意也是可行的.
（2024·江苏盐城·模拟预测）
6．已知函数
，其中
．
(1)若
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)当
时，若
且
，比较
与
的大小，并说明理由
【答案】(1)
(2)
，理由见解析
【分析】（1）对函数求导，利用函数单调性与导数的关系，建立不等式求解即可；
（2）由
，得
，要证明
，只需证明
，两边同时取对数
整理得
，构造函数
，利用导数的性质证明即可.
【详解】（1）
，
在
上单调递增，
在
上恒成立且满足
的点不连续．
当
时，
．由
在
上单调递减可知，
当
时，
，
，
综上，
的取值范围为
（2）当
时，
，
且
，
下面证明
，
即证明
，等价于证明：
，
设
，所证即为：
，
等价于证明：
，
设函数
．
在
上单调递增，而
，
，所证不等式成立．
