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第19 题 概率迷宫突围（解透一题）
【江苏省苏锡常镇2024-2025 调研一T14】在一个不透明的袋子中装有4 个形状大小相同，
颜色互不相同的小球．某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1 个小球），第一次摸
取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸到的小球
颜色．则“两次记下的小球颜色能凑齐4 种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率
为 ．
本题聚焦于古典概型的概率计算，融合了组合、排列知识以及分步计数原理.旨在考查对排
列组合知识的运用能力，以及分析与解决问题的逻辑思维和计算能力，彰显了数学运算、
逻辑推理等数学核心素养.
注意涉及排列组合和古典概型.这里面有两个典型易错点，计算总情况数易遗漏或重复，分
析满足条件情况时逻辑易混乱.
1、计算摸球总情况数易错：每次摸球时，每个球都有“被摸出”和“不被摸出”两种状态
（因为球摸完放回，需要考虑每个球的状态），对于4 个球，第一次摸球的情况数应该是
（提醒：错误原因没有减去一个球都不摸的情况），因为题目是先后两
次摸球，所以总的摸球情况数1
种，.
2、计算满足条件的情况数时易错，在分类讨论第一次和第二次摸球的组合情况时，存在逻
辑混乱：
（1）先从4 种颜色中选1 种作为重复的颜色，有
种选法.然后将剩下3 种颜色分配到两
次摸球中，使得两次摸球能凑齐这3 种颜色.利用排列组合知识，将两次摸球看作一个整体
的分配问题，先不考虑顺序，把3 种颜色分成两组（一组在第一次摸球，一组在第二次摸
球），然后排列（提醒：这里再次排列将导致重复）.满足条件的情况数
种.
（2）计算满足条件“两次记下的小球颜色能凑齐4 种颜色，且恰有一种颜色两次都被记
下”的情况数 先从4 种颜色中选1 种作为两次都摸到的颜色，有
种选法. 把剩下3 种颜
色分配到两次摸球中，使得两次能凑齐这3 种颜色.若将3 种颜色分成1 种和2 种两组，有
种分法，再将这两组分配到两次摸球中，有2 种顺序；所以满足条件的情况数
种（提醒：三种颜色分配时先可以为空）
突破要点提醒：注意非独立事件的影响，摸球问题中第一次结果会影响第二次
的可能性，需确保两次摸球的组合逻辑严格符合条件.
首先计算总的基本事件数，第一次摸球有15 种情况，第二次摸球情况相同.
然后计算满足条件的事件数，最后根据古典概型概率公式计算概率.
某人先后两次任意摸取小球，每次至少摸取1 个小球，则每次摸球的情况有
种；
所以先后两次任意摸取小球共有
种情况；
两次记下的小球颜色能凑齐4 种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下的情况有：
第一次摸取1 个球，第二次摸取4 个球，情况共有
种；
第一次摸取2 个球，第二次摸取3 个球，（第一次摸2 个球（假设颜色为A、B），剩余颜
色为C、D，第二次摸球需包含剩余两种颜色（C、D）和一种重复颜色（A 或B），共3
种颜色.）情况共有
种；
第一次摸取3 个球，第二次摸取2 个球，情况共有
种；
第一次摸取4 个球，第二次摸取1 个球，情况共有
种；
所以两次记下的小球颜色能凑齐4 种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下的概率为
.
故答案为：
.
【题后反思】精确计算所有可能的摸球情况数和满足条件的情况数.计算所有可能情况数时，
需分情况讨论每次摸球的个数；计算满足条件的情况数时，采用分步策略，先确定重复颜
色，再分配其余颜色.运用分步计数原理时，要明晰每一步的操作及对应的可能性数量.特别
需要注意两次摸球的正确逻辑应为：第二次摸球，强制包含重复颜色和剩余颜色.
关于计算满足条件的基本事件数优化：先确定两次都被记下的那种颜色，有
种选法.然后
要凑齐4 种颜色，那么第一次和第二次除了重复的那种颜色外，另外3 种颜色要在两次摸
球中各出现一次.不妨设第一次摸球除了重复颜色外摸了i 个球(0≤i≤3)，第二次摸球除了重
复颜色外摸了3-i 个球.当第一次摸i 个非重复颜色球有
种选法，第二次摸3-i 个非重复颜
色球有1 种选法，所以满足”两次记下的小球颜色能凑齐4 种颜色，且恰有一种颜色两次
都被记下”的情况数
.
优化思维二：计算满足条件“两次记下的小球颜色能凑齐4 种颜色，且恰有一种颜色两次
都被记下”的情况数 先从4 种颜色中选1 种作为两次都摸到的颜色，有
种选法. 把剩下
3 种颜色分配到两次摸球中，使得两次能凑齐这3 种颜色.而3 种颜色分配到两次摸球中，
每种颜色分配都有2 种选择，故共有
种选择.所以满足”两次记下的小球颜色能凑齐4
种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的情况数
.
【方法总结】古典概型要求计算基本事件总数和事件包含数，列举法通过直接计数代替公
式推导，减少了因分步计数或重复遗漏导致的错误.
列举法可根据题目需求选择不同的列举形式：简单枚举：适用于基本事件较少的情况（如
抛硬币、抽2 个球）.树状图/表格法：处理多步骤试验（如连续抽取不放回的物品），通过
分层列举避免混乱.坐标法：适用于二维问题（如抛掷两枚骰子），通过坐标系定位事件组
合.
列举法在古典概型中的应用，既体现了数学的严谨性（通过穷举确保无遗漏），又兼顾了
实用性（降低认知负荷）.尽管其效率在事件数较大时受限，但在小规模问题中，其优势无
可替代.
【类题训练】
1．在一个不透明的盒子中装有5 个形状大小相同、颜色互不相同的小球.某人先后两次任
意摸取小球（每次至少摸取1 个小球），第一次摸取后记录下摸到的小球颜色，再将摸到
的小球放回盒中；第二次摸取后，同样记录下摸到的小球颜色.那么“两次记录的小球颜色
能够凑齐5 种颜色，且恰有一种颜色两次都被记录”的概率是 .
【答案】
【分析】应用分步乘法原理及分类加法原理结合组合数的运算，最后结合古典概型计算求
解.
【详解】某人先后两次任意摸取小球，每次至少摸取1 个小球，
则每次摸球的情况有
种；
所以先后两次任意摸取小球共有
种情况；
两次记下的小球颜色能凑齐5 种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下的情况有：
第一次摸取1 个球，第二次摸取5 个球，情况共有
种；
第一次摸取2 个球，第二次摸取4 个球，情况共有
种；
第一次摸取3 个球，第二次摸取3 个球，情况共有
种；
第一次摸取4 个球，第二次摸取2 个球，情况共有
种；
第一次摸取5 个球，第二次摸取1 个球，情况共有
种；
所以两次记下的小球颜色能凑齐5 种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下的概率为
.
故答案为：
.
【摸球问题，正难则反】
2．一个袋中装有6 个大小形状完全相同的小球，其中有4 个白球，2 个黑球，现随机从袋
中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色，则两次摸出的
球中至少有一个黑球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意利用相互独立事件概率的乘法公式，先求出两次摸到的全是白球的概率，
再利用对立事件的概率公式即可求解.
【详解】记每次摸出白球为事件A，每次摸出黑球为事件B，则
，
，
两次摸出的球中至少有一个黑球包括两次黑球和一次白球一次黑球，
其对立事件为两次摸到的都是白球，
两次摸到的都是白球概率为
，
所以两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为
，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是第一次摸出球后又放回去，所以每次摸出白球和黑
球的概率都不变，求出这两个概率，每次摸球是相互独立的，所以可以利用概率的乘法公
式求出两次摸到的全是白球的概率，即可求出其对立事件至少有一个黑球的概率.
【摸球问题，球色增多，背景拓宽】
3．在一个袋子中装有
个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球
个、白球
个、黄球
个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸次，则记下的颜色中有红有黄
但没有白的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知得取出的3 球中有2 红1 黄或2 黄1 红，2 红1 黄的情况有3 种，2 黄1 红
的情况也有3 种，由此能求出记下的颜色中有红有黄但没有白的概率.
【详解】从袋中随机摸出一个球，摸到红球、白球、黄球的概率分别为
，
由已知得取出的3 球中有2 红1 黄或2 黄1 红，
按摸球顺序，颜色是2 红1 黄的情况有3 种，2 黄1 红的情况也有3 种，
所以记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为
.
故选：C.
4．一个不透明的袋子中装有6 个小球，其中有4 个红球，2 个白球，这些球除颜色外完全
相同，则下列结论中正确的有（ ）
A．若一次摸出3 个球，则摸出的球均为红球的概率是
B．若一次摸出3 个球，则摸出的球为2 个红球，1 个白球的概率是
C．若第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球
为不同颜色的球的概率是
D．若第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的
球的概率是
【答案】BC
【分析】求出总事件数以及摸出的球均为红球的事件数，由概率公式求解即可判断选项
，
求出总事件数和摸出的球为2 个红球，1 个白球的事件数，由概率公式求解即可判断选项
，
分两种情况：，①若第一次摸出红球，第二次摸出白球；②若第一次摸出白球，第二次摸
出红球，分别求出其概率相加即可判断选项
，
．
【详解】解：对于
，总事件数是
，摸出的球均为红球的事件数为
，所以
摸出的球均为红球的概率是
，故选项
错误；
对于
，总事件数是
，摸出的球为2 个红球，1 个白球的事件数为
，所以
摸出的球为2 个红球，1 个白球的概率是
，故选项
正确；
对于
，①若第一次摸出红球，第二次摸出白球，则概率为
；②若第一次摸出白
球，第二次摸出红球，则概率为
．故两次摸出的球为不同颜色的球的概率是
，故选项
正确；
对于
，①若第一次摸出红球，第二次摸出白球，则概率为
，②若第一次摸出白
球，第二次摸出红球，则概率为
．故两次摸出的球为不同颜色的球的概率是
，故选项
错误．
故选：BC．
5．一个不透明的箱子中装有5 个小球，其中白球3 个，红球2 个，小球除颜色不同外，材
质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小
球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设
试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ）
A．经过两次试验后，试验者手中恰有2 个白球的概率为
B．若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1 个的概率为
C．经过6 次试验后试验停止的概率为
D．经过8 次或9 次试验后小球全部取出的概率最大
【答案】AD
【分析】A 选项，分析出需要两次投掷硬币，均正面朝上，且从箱子里抽出的两个小球均
为白色，利用独立事件乘法公式计算出概率；B 选项，第二次试验需投掷硬币，正面朝上，
且从箱子里抽出的小球为红球，从而计算出概率；C 选项，前5 次有4 次投掷硬币，正面
朝上，第6 次投掷硬币，正面朝上，求出概率；D 选项，设经过
次试验后小球全部
取出的概率最大，求出相应的概率，得到不等式组，求出答案.
【详解】A 选项，经过两次试验后，试验者手中恰有2 个白球，
需要两次投掷硬币，均正面朝上，且从箱子里抽出的两个小球均为白色，
故概率为
，A 正确；
B 选项，第二次试验需投掷硬币，正面朝上，且从箱子里抽出的小球为红球，
故概率为
，B 错误；
C 选项，经过6 次试验后试验停止，即前5 次有4 次投掷硬币，正面朝上，
第6 次投掷硬币，正面朝上，
概率为
，C 错误；
D 选项，设经过
次试验后小球全部取出的概率最大，
此时前
次有4 次投掷硬币，正面朝上，第
次投掷硬币，正面朝上，
故概率为
，
令
，解得
，
又
，故经过8 次或9 次试验后小球全部取出的概率最大，D 正确.
故选：AD.
6．一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5 个小球，其中2 个黄球、2 个白球、1
个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2 个小球，记下颜色计算得分，得
分规则如下：“2 个小球颜色相同”加1 分，“2 个小球颜色一黄一白”得0 分，“2 个小
球中有红球”减1 分，则“两次得分和为0 分”的概率为 ．
【答案】
##
【分析】分第一次“2 个小球颜色相同”，第二次“2 个小球中有红球”，或第一次“2 个
小球中有红球”，第二次“2 个小球颜色相同”，或两次均为“2 个小球颜色一黄一白”，
三种情况计算即可，分别计算可得结论.
【详解】“两次得分和为0 分”可能的情况有第一次“2 个小球颜色相同”，第二次“2 个
小球中有红球”，
或第一次“2 个小球中有红球”，第二次“2 个小球颜色相同”，或两次均为“2 个小球颜
色一黄一白”，
第一次“2 个小球颜色相同”，第二次“2 个小球中有红球”，
记黄球为
，2 个白球为
、1 个红球为
，
利用枚举法可知从中一次取2 个小球为
，
共有10 种取法，而颜色相同的取法有两种，
故第一次取2 个小球颜色相同的概率为
，第二次取2 个小球中有红球的概率为
，
所以第一次“2 个小球颜色相同”，第二次“2 个小球中有红球”的概率为
．
第一次“2 个小球中有红球”，第二次“2 个小球颜色相同”，
第一次取2 个小球中有红球的概率为
，第二次2 个小球颜色相同的概率为
，
所以第一次“2 个小球中有红球”，第二次“2 个小球颜色相同”的概率为
．
两次均为“2 个小球颜色一黄一白”，
第一次取2 个小球，“2 个小球颜色一黄一白”的概率为
，
第二次取2 个小球，“2 个小球颜色一黄一白”的概率为
，
所以两次均为“2 个小球颜色一黄一白”的概率为
．
所以两次先后取2 个小球，得分为零分的概率为
.
故答案为：
.
