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6.1 空间几何体的体积与表面积（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2024·甘肃·模拟预测）已知某圆锥的侧面积为
，轴截面面积为
，则该圆锥的母线与底面所成的角为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，
由题意，得
，解得
，
设该圆锥的母线与底面所成的角为
，则
，可得
，
所以该圆锥的母线与底面所成的角为
．
故选：D．
2．（24-25 高三上·甘肃临夏·期末）已知圆锥的轴截面是一个边长为
的正三角形，则圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题设，易知圆锥的底面半径为
，高为3，
所以圆锥的体积为
.
故选：B
3．（25-26 高三上·黑龙江·开学考试）在正方体
中，若
的中点为
，则过点
三点的
截面是（ ）
A．三角形
B．梯形
C．菱形
D．矩形
【答案】B
【解析】
如图所示：取
的中点
，连接
和
，
因为
分别是
的中点，所以
且
，
又
，故
且
，
故
四点共面，且四边形
是过
三点的截面，
又因为四边形
是梯形，故选B.
故选：B
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知正四棱台
的体积为
，且
，则正四棱台
的高为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】已知
，
，因为正四棱台的底面为正方形，可得下底面积
，上底面积
. 已知正四棱台体积
，将
，
代入正四棱台体积公式
，
可得
.解得
. 正四棱台的高为
.故选：A.
5（2025·黑龙江哈尔滨·二模）2024 年8 月20 日国产第一款3A 游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450 万
份，总销售额超过15 亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老
城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高
为h，其侧面与底面夹角为
，则六棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
如图取
的中点
，连接
、
，因为
为正六棱锥，
所以
，
，
所以
为侧面
与底面
的夹角，所以
，
又
底面
，
底面
，所以
，
所以
，又底面
为正六边形，所以
为等边三角形，
所以
，则
，
所以
，
所以
，
所以六棱锥的体积为
.
故选：C
6．（2025·海南）直四棱柱
的所有棱长均相等，
，
是
上一动点，当
取得最小值时，直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，
设直四棱柱
的棱长为2，
当
取得最小值时，
为
的中点，
连接
，则
，则
为直线
与
所成角（或其补角），
此时，
，
，
，
为等边三角形，得
，
，则△
为等腰三角形，可得
．
故选：
．
7．（2025·河北秦皇岛·三模）如图，在棱长为2 的正方体
中，
、
分别为
、
的中点，
则过点
、
、
的平面
与侧面
的交线长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设平面
分别交棱
、
于点
、
，如下图所示：
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
平面
，所以
，
又因为
，由等角定理及图形可知
，
则
，即
，故
，
故
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
平面
，所以
，
又因为
，由等角定理及图形可得
，
所以
，即
，所以
，
所以
，故
.
因此，平面
与侧面
的交线长为
.
故选：A.
8．（2025·贵州·三模）如图，体积为
的圆柱的轴截面
为正方形，点
在底面圆周上，则三棱锥
体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【解析】设底面半径为，由题意可知
，
体积
，所以
由题意可知：
平面
，且
，
要使得三棱锥
体积的最大值，只需
面积最大，
易知
为直角三角形，且
，
所以
，
所以
，当且仅当
时去等号，
所以
面积最大值为1，
所以三棱锥
体积的最大值
，
故选：B
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2024·河北邯郸·三模）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，
每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有
几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体
的棱长为3，取各条棱的三
等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ）
A．共有18 个顶点
B．共有36 条棱
C．表面积为
D．体积为
【答案】BD
【解析】由图可知该多面体有24 个顶点，36 条棱，故A 错误，B 正确；
该多面体的棱长为1，且表面由6 个正方形和8 个正六边形组成，
故该多面体的表面积为
，故C 错误；
正八面体
可分为两个全等的正四棱锥，其棱长为，
过
作
平面
于
，连接
，如下图：
因为
平面
，且
平面
，所以
，
正方形
中，由边长为，则对角线长为
，则
，
在
中，
，则
，
正八面体
的体积为
，
切割掉6 个棱长均为1 的正四棱锥，减少的体积为
，
所以该阿基米德多面体的体积为
，故D 正确．
故选：BD.
10．（2025·河北衡水·三模）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面
边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（ ）
A．正四棱锥的高为
B．该几何体的表面积为
C．该几何体的体积为
D．一只小蚂蚁从点E 爬行到点S，它所经过的最短路程为
【答案】ACD
【解析】对于A，正四棱锥
底面半径
，高
，故A 正确；
对于B，几何体的表面积为
，故B 错误；
对于C，该几何体的体积为
，故C 正确；
对于D，观察图形知，小蚂蚁从点
爬行到点的最短路径为沿表面越过棱
或
，
由对称性，不妨取长方形
及正
，将它们置于同一平面内，连接
，如图，
取
中点
，连接
，则
，而
，
所以最短路程为
，故D 正确.
故选：ACD
11．（2025·浙江绍兴·模拟预测）正四棱柱
的底面边长为2，侧棱长是
的中点为
，
过点
的平面记为
，则下列说法中正确的是（ ）
A．点
和点
到平面
的距离相等
B．二面角
的正切值为
C．平面
截得的截面形状是五边形
D．平面
截得的截面面积为
【答案】ABC
【解析】对于A：由于
是
的中点，所以
,又
，所以
,
平面
，
平面
，
故
平面
，因此点
和点
到平面
的距离相等，A 正确，
对于B，过
作
于
，则
是
的中点，连接
,
由于
平面
，
平面
，故
,
又
，
平面
，所以
平面
，
平面
，故
,故
为二面角
的平面角，
,所以
,B 正确，
延长
交直线
于点
，连接
，交棱
于点
,连接
，可得五边形
为截面图形，故C 正确，
对于D, 由平行线分线段成比例可得
,故
，则
为等腰三角形.由相似三角形可知，
，则
，
.
连接
，则
，因此五边形
可分为等边三角形
和等腰梯形
.
等腰梯形
的高
，
则等腰梯形
的面积为
.
又
，所以五边形
的面积为
，故D 错误，
故选：ABC
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（23-24 上海·阶段练习）如图，一圆柱体的底面周长为
，高
为
，
是上底面的直径.一只
昆虫从点
出发，沿着圆柱的侧面爬行到点
，昆虫爬行的最短路程是 .
【答案】
【解析】作出圆柱的侧面展开图如下图所示，
则当昆虫的爬行路线为线段
时，爬行的路程最短，
圆柱体的底面周长为
，
；
最短路程为：
.
故答案为：
.
13．（24-25 辽宁辽阳·期末）如图，在直四棱柱
中，底面
是平行四边形，点
是棱
的中点，点
是棱
靠近
的三等分点，且三棱锥
的体积为2，则四棱柱
的体积为
．
【答案】12
【解析】由题意，设底面平行四边形
的
，且
边上的高为
，直四棱柱
的高为
，
则直四棱柱
的体积为
，
又由三棱锥
的体积为
，
解得
，即直四棱柱的体积为
．
14．（2025·甘肃白银·三模）如图所示，在三棱锥
中，平面
平面
，若
为线段
上一动点，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】
因为
，
所以
，
，
记
的中点为
，连接
，因为
，所以
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
由
，得
，所以
为等边三角形，
把
绕
翻折，使得平面
与平面
在同一平面上，
连接
交
于点
，则
，如图所示，
则
的最小值为平面
内
的长度，所以
，
所以
，即
的最小值为
．
故答案为：
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在直三棱柱
中，E，F 分别是AB，BC 的中点，D 为
上一
点，
，
．
(1)若D 为
的中点，证明：
面
；
(2)若二面角
的正弦值为
，求三棱锥
的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）如图，连接
，取
的中点
，连接
．
因为
分别为
的中点，所以
．
因为
平面
平面
，
所以
平面
．
由直棱柱的性质知
，所以
，
又
平面
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
平面
，
所以平面
平面
．
又
平面
，所以
平面
．
（2）由直三棱柱的性质得平面
平面
，
过
作
于
，过点
作
于
，连接
，
由于平面
平面
，
平面
，
则
平面
，
因为
平面
，所以
．
因为
平面
，
平面
，
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
所以
为二面角
的平面角.
则
则
，
．
设
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
所以
，则
，
又
，
，F 是BC 的中点，则
，
，
因为
，所以
，
所以
，则
，
所以在
中，
，
则有
，解得
，即
为
的中点，
则
到平面
的距离为
，
而
，
，
则
.
16．（2025·陕西西安·一模）如图，正方体
的棱长为2，点
是棱
上的动点.
(1)求三棱锥
的体积；
(2)当
为
中点时，求过点
且与
垂直的平面截正方体的截面面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在正方体
中，点
是棱
上的动点，
则
到平面
的距离即为
,
则
.
（2）设
的中点为
，
中点为
，连接
，
以
为原点，以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
所以
，
则
，即
，
因为
，
平面
，
所以
平面
，
则
即为过点
且与
垂直的平面截正方体的截面，
由正方体
的棱长为2，
的中点为
，
中点为
，
可得
，
在
中，
，
则
，
所以
.
17．（2025·上海杨浦·三模）如图，在四棱锥
中，
平面ABCD，
，
，点E，
F，G 分别为PD，AB，AC 的中点.
(1)求证：平面
平面PBC；
(2)若
，
（i）求点F 到平面AEG 的距离.
（ii）画出四边形ABCD 的斜二测直观图，并求斜二测直观图面积
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）
；（ii）直观图见解析，面积为
.
【解析】（1）由
分别为
的中点，得
，而
平面
，
平面
，
则
平面
，延长
交
于点
，连结
，由
，得
，
由
是
的中点，得
是
的中点，又
是
的中点，
则
，而
平面
，
平面
，
因此
平面
，又
平面
，且
，
所以平面
平面
.
（2）（i）设点
到平面
的距离为
，取
的中点
，连结
，
则
，且
，
由
平面
，得
平面
，由
，
得
，
在△
中,
，则
，
又
，于是
，解得
，
所以点F 到平面AEG 的距离
.
（ii）取直角梯形底边
的中点
，以点
为原点，直线
为
轴建立平面直角坐标系，
作坐标系
，使
，在
上取点
，使
，且
为
的中点，
在
轴上取点
，使
，过
作
轴，且使
，
连接
，则梯形
是直角梯形
的斜二测直观图，如图，
梯形
的面积
.
18．（2025·山西·三模）如图所示，在三棱锥
中，
，
，
，点
，
，
分别在棱
，
，
上运动，且
平面
，
平面
，
，
分别是线段
和
的中点．
(1)证明：直线
平面
；
(2)当三角形
面积的最大值为
时，求三棱锥
的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为
平面
，
平面
，
平面
，
平面
平面
，所以
，同理
，
连接
，
，
∵
，所以
，
又因为
，
分别是线段
和
的中点，
所以
，所以
，所以
，
又因为
，
，
平面
，
平面
，
，
所以
平面
，所以
，所以
，
因为
平面
，
平面
，
，
所以
平面
．
（2）由（1）及已知可得
，因为
，
，
所以
，又因为
，所以
，
又因为
平面
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
，又
，则
，
因为
平面
，所以
因为
，所以
，
所以
．
所以三棱锥
的体积为
.
19．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，在三棱柱
中，侧面ABCD 是边长为2 的正方形，
为等边三角形，M 为边AD 的中点，点N 在线段PC 上．
(1)证明：
平面MPQ；
(2)若
，证明：
平面BDN；
(3)是否存在点P，使得二面角
的正弦值为
？如果存在，求出四棱锥
的体积，如果不
存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，理由见解析，体积为
或
【解析】（1）证明：因为
是等边三角形，M 为边AD 的中点，所以
，
又因为
，
，所以
．
又因为
，
平面
，故
平面MPQ．
（2）连接MC，交BD 于点E，连接NE．
因为
，
，所以
，
又因为
，所以
，所以
，
又因为
平面BDN，
平面BDN，所以
平面BDN．
（3）存在点P，使得二面角
的正弦值为
，理由如下：
取BC 中点F，连接MF，则
，
过M 作
平面ABCD，建立如图所示的直角坐标系
．
为等边三角形，边长为2，故
，
，
，
，设
，
，
，
，
，
．
设平面MPB 的法向量为
，
则
，即
，
取
，则
，
取
，
设平面面MPC 的一个法向量为
，
，
令
，则
，
，
平面MPC 的一个法向量为
，
设二面角
为
，则
，
又因为
，所以
．
所以
，解得
或
，
当
时，P 到平面ABCD 的距离为
，
此时
，
当
时，P 到平面ABCD 的距离为
，
此时
．
