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5.4 求和常用方法（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知平面向量
，
.若
，则数列
的
前100 项和
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，则有
，
即
，则
.
故选：A.
2．（2025·江苏）2022 年11 月8 日，著名华人数学家张益唐教授以视频方式作学术报告，与北大数学师生分享
他围绕“朗道—西格尔零点猜想”所做的研究工作，他在“大海捞针”式的研究过程中提出的新想法是基于一
个简单的代数恒等式：
.已知数列
的通项公式为
，则
其前9 项的和
等于（ ）
A．13280
B．20196
C．20232
D．29520
【答案】B
【解析】
，
.故选：B.
3．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知数列
的前n 项和
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，则
，则
，
，
而
时，
满足
，故对
，
，
故
.
故选：B.
4．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列
满足
，某同学将其前20 项中某一项正负号写错，得
其前20 项和为82，则写错之前这个数为（ ）
A．64
B．
C．100
D．
【答案】A
【解析】
，则其前20 项和为
．
设写错项为
，则
，解得
，
故写错之前这个数为
．
故选：A．
5．（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1 堆只有1 层，且
只有1 个球；第2 堆有2 层4 个球，其中第1 层有1 个球，第2 层有3 个球；…；第n 堆有n 层共
个球，第1
层有1 个球，第2 层有3 个球，第3 层有6 个球，…．已知
，则
（ ）
A．2290
B．2540
C．2650
D．2870
【答案】D
【解析】在第
堆中，从第2 层起，第n 层的球的个数比第
层的球的个数多n，
记第n 层球的个数为
，则
，
得
，
其中
也适合上式，则
，
在第n 堆中，
，
当
时，
，解得
.
故选：D.
6．（24-25 高二下·河南洛阳·阶段练习）在数列
中，
，
，
，
是数列
的前
项和，则说法错误（ ）
A．数列
是等比数列
B．数列
是等差数列
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，得
，
则数列
是首项为
，公比为2 的等比数列，A 正确.
根据等比数列的通项公式得
，即
，则
，
所以数列
是首项为
，公差为1 的等差数列，B 正确.
根据等差数列的通项公式得
，即
，
所以
，C 错误.
由
，
，D 正确.
故选：C
7．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知数列
满足
的前
项和为
，则说法不正确
（ ）
A．
B．
C．
构成等差数列
D．数列
前100 项和为
【答案】C
【解析】数列
中，
，
对于A，
，A 正确；
对于B，
，则
，
解得
，当
时，
，而
满足上式，因此
，
所以
，B 正确；
对于C，
，
，
，C 错误；
对于D，
，则
，D 正确.
故选：C
8．（24-25 高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知公差为1 的等差数列
满足
，
，
成等比数列，则说法不
正确（ ）
A．
B．
的前
项和为
C．
的前2025 项和为
D．
的前10 项和为
【答案】B
【解析】由题意设等差数列
的公差为
，则
，
因为
，
，
成等比数列，所以
，
所以
，
解得：
，所以
，
对于A，
，故A 正确；
对于B，
的前
项和为
，故B 错误；
对于C，因为
，
所以
的前2025 项和为
，故C 正确；
对于D，因为
，
所以
的前10 项和为
，故D 正确.故选：B
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2025·四川成都·三模）已知公差为1 的等差数列
满足
成等比数列，则（ ）
A．
B．
的前
项和为
C．
的前8 项和为
D．
的前50 项和为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为
成等比数列，所以
，即
，解得
，故A 正确；
对于B，
的前
项和为
，故B 正确；
对于C，因为
，
所以
的前8 项和为
，故C 错误；
对于D，因为
，
所以
的前50 项和为
，故D 正确.
故选：ABD
10．（2025·广西·三模）已知首项为1 的正项数列
满足
，若数列
前
项和为
，且
，则下列结论正确的有（ ）
A．
是等差数列
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，因为
，所以
，即
是等差数列，A 正确；
对于B，设
的公差为
，则
，即
，
，
所以
，
因为
，所以
，解得
，所以
，
，B 不正确；
对于C，由B 可知
，C 正确；
对于D，令
，则
，
即
为增函数，所以
，即
，
所以
，
又
，所以
，D 正确.
故选：ACD
11．（2025·河北·二模）已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，
，则以下说法
正确的是（ ）
A．
是等比数列
B．
是等比数列
C．
D．
【答案】AB
【解析】设
，则
，
则
，解得
或
，
当
时，
，
因
，所以
是以4 为首项，4 为公比的等比数列，
所以
①，故A 正确；
当
时，
，
因
，所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
②，故B 正确；
①②两式作差得，
，故C 错误；
数列
的前
项和为
，
数列
的前
项和为
，
则
，故D 错误．
故选：AB．
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（24-25 四川绵阳·阶段练习）已知函数
，则
．
【答案】
【解析】因为
，所以
，且
，
所以
，
所以
.
故答案为：
13．（2025·山东·一模）若数列
满足
，
，则
的前2025 项的和为 ．
【答案】1013
【解析】易知当
为偶数时，可得
，即
；
所以可知
的前2025 项的和
.
故答案为：1013
14．（2024·浙江·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
，数列
的前
项和为
，且
，则满足
的正整数
的最小值为 .
【答案】15
【解析】因为
，
所以
，
因为
，所以
，
整理得
，
所以
，
所以
，
令
，解得
.
所以正整数
的最小值为15.
故答案为：15
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025·广东佛山·三模）已知数列
满足
，且
是关于
的方程
的两个根．
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前21 项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
是关于
的方程
的两个根，
所以
．
所以数列
是一个首项为1，公差为2 的等差数列．
因此
．
（2）由（1）知
，对于方程
，
由韦达定理得
，即
．
所以
．
所以
．
16．（2025·山东·模拟预测）已知数列
各项均为正数，
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）因为
，又
，
所以
，即
，
由题意得
，于是
，而
，
即
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
从而
，即
，因此
，
而
满足上式，故
.
（2）由（1）知
，则
，
因此
，
则
，
显然数列
单调递减，于是
，
则
，故
.
17．（2025·全国·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，且
，
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
；
(3)设
，记数列
的前n 项和为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）因为
，
所以
，解得
，
又
，
所以
，即
，
所以
，即
，
因为
，所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，即
．
（2）因为
，
所以
，①
，②
①－②得
，
所以
．
（3）因为
，
所以
，
易知
是增函数，所以
，
所以
．
18．（2025·河南·二模）已知数列
的各项均为正数，前
项和为
，且
，
是
与
的等差
中项.
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为
是
与
的等差中项，所以
，
所以
，
因为数列
的各项均为正数，所以
，
所以
，所以
，
所以数列
是公差为1，首项为
的等差数列；
（2）因为数列
是公差为1，首项为
的等差数列，
所以
，
所以
，当
时，
，
当
时，
，
所以
,
所以
，
19．（2025·河南·模拟预测）已知数列
的首项为1，其前
项和为
，等比数列
是首项为1 的递增数列，
若
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求数列
的前
项和；
(3)求使得
成立的最大整数
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
；
(3)6
【解析】（1）
①，
当
时，
②，
式子①-②，化简得
，
两边同时除以
得
，
中，令
得
，
即
，又
，故
，
，故对
，
数列
是首项为1，公差为1 的等差数列；
（2）
，则
，设数列
的前
项和为
，
当
为偶数时，
，
，
，
当
为奇数时，
为偶数.
，
；
（3）设等比数列
的公比为
，
由
，或
，
又
数列
是递增数列，
.
由（2）知，
即
，
令
，则
，
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
即有
，
又
，
故当
时，
，
又
，
，当
时，
，故使得
成立的最大整数为6.
