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5.3 利用递推公式求通项方法（精练题组版）
题组一 公式法求通项
1．（24-25 四川）已知数列
的前
项和
满足
，则
的通项公式为 .
【答案】
【解析】因为
，
当
时，
；
当
时，
，
所以
，
当
时
不满足，所以
.
故答案为：
2．（24-25 四川）知数列
的前
项和为
，
，
，当
时，总有
，则数列
的通项公式
．
【答案】
【解析】当
时，有
，
则当
时，有
，
两式相减可得
，即
，
又
，
，所以
，
所以
时，数列
是以
为首项，为公比的等比数列，
则
，所以
.故答案为：
3．（24-25 高三上·江苏泰州·阶段练习）已知数列
满足
，则
的通项
公式为 .
【答案】
【解析】数列
中，
，
当
时，
，
两式相减得
，解得
，而
，即
满足上式，
所以
的通项公式为
.
故答案为：
4．（2024 高三·全国·专题练习）若数列
满足
，
，则
．
【答案】
【解析】因为
①，
所以
②，
②
①得，
，
所以有
，
所以
．故答案为：
.
5．（24-25 上海）已知数列
的前
项和为
，则数列
的通项公式为 ．
【答案】
【解析】由
，可得：
，两式相减可得：
，
当
时，
，不满足上式，所以
，故答案为：
6．（24-25 江苏）已知数列
的前n 项和为
，
，
，且
，则数列
的通项公式为
【答案】
【解析】由
，则
，
则
，又
，所以数列
是公差为2 的等差数列，
则
.故答案为：
.
7．（24-25 山东）已知等比数列
的前
项和为
，且
，则
.
【答案】
【解析】因为
，所以
.两式相减，得
，即
，
所以等比数列
的公比
.
当
时，由
，得
，解得
，所以
.故答案为：
8．（24-25 高三上·江苏扬州·期末）已知数列
的前
项和为
，
，
，则
．
【答案】
【解析】由
可得
，
故
，故
为等差数列，且公差为2，首项为
，
故
，故
，故答案为：
9．（2024·贵州贵阳·三模）设数列
的前
项之积为
，满足
，则Tn=
【答案】
【解析】因为
，所以
，
所以
，所以
，所以
是公差为
的等差数列，
因为
，所以
，
10．（2025·湖南岳阳·一模）已知数列
满足
，则
.
【答案】
；
【解析】由
，可得
，
所以
，
两式相减得
，所以
，
当
时，
，所以
，适合上式，所以
.故答案为：
.
题组二 累加法求通项
1．（2025·黑龙江）已知数列
满足：
，
，
，则
______．
【答案】
.
【解析】因为
，
，
所以当
时，有
，
因此有：
，
即
，
当
时，适合上式，
所以
，
故答案为：
.
2．（24-25·广东）已知数列
满足
，则
．
【答案】
【解析】由
，得
，即
，
因此数列
是首项为
，公差为1 的等差数列，
，
所以
.故答案为：
3．（24-25 海南）若数列
满足
（
，且
），
，则
.
【答案】
【解析】因为
（
，且
），
，
；
经验证，
时，
，符合条件.故答案为：
.
4．（2025·河北张家口·一模）已知数列
满足
，
且
，则
.
【答案】
【解析】由题得
，
当
时，
符合题意，
所以
，
故答案为：
.
5．（24-25 广东）已知数列
中
，则数列通项公式
．
【答案】
【解析】化简
的表达式：
所以
.
利用累加法求
当
时，
；
当
时，
；
.
将以上
个式子累加得：
已知
，则：
.
故答案为：
.
6．（24-25 浙江）已知正项数列
中，前
项和为
，且
，则数列
的通项公式为
.
【答案】
【解析】由已知
且为正项数列得：当
时，
得
，
当
时，
，
化简得
，
所以
，
，
，
，
累加得
，当
时，也适合，
又
，
则
.
故答案为：
.
题组三 累乘法求通项
1．（24-25 上海）已知数列
满足
，则
的通项公式为
【答案】
【解析】已知
，将
换为
，可得
，那么
（
）.
利用累乘法求
（
），由
（
）可得：
观察发现，约分后可得
（
）. 当
时，
，与已知
相符.
所以
，
. 故答案为：
，
.
2（2025·浙江）已知数列
中，
，记
为
的前
项和，
，则
的值为
【答案】2024
【解析】数列
中，满足
，当
时，可得
，
两式相减，可得
，即
，所以
，
又由
，则
.
3．（2024·江西鹰潭·二模）设数列
的前
项和为
，
，
，
，则
.
【答案】
（
）
【解析】因为
，当
时，
，
两式相减可得
，即
，
所以
，又
，所以
，
所以
，所以
，且
也符合上式，
所以
，所以
，
.
故答案为：
（
）
4．（2024 高三下·全国·专题练习）已知数列
，则数列
的通
项为
【答案】
【解析】∵
①，
∴当
时，
②，
①-②得：
，即：
，
∴
，
∴
，当
时，结论也成立．
∴
．
故答案为：
5．（2025 江苏）数列
满足：
，
，则
的通项公式为
.
【答案】
【解析】由
得，
，
则
，
即
，又
，所以
.
故答案为：
.
6．（2025 甘肃）设数列
是首项为1 的正项数列，且
，则它的通项公式
.
【答案】
【解析】由
，则
又数列
为正项数列，即
，
所以
，即
所以
故答案为：
题组四 构造等比数列（待定系数法）
1．（2025·湖北·一模）在数列
中，
，则数列
的通项公式
．
【答案】
【解析】由
，可得
，
又
，所以
是以
为首项，3 为公比的等比数列，
所以
，所以
，故答案为：
．
2．（24-25 湖北·期中）数列
中，
，
，则通项
．
【答案】
【解析】数列
中，由
，得
，而
，
因此数列
是首项为
，公比为3 的等比数列，则
，
所以
.故答案为：
3．（2024·安徽·模拟预测）已知数列
的首项
，且满足
，求
的通项公式；
【答案】
【解析】因为
，所以
，又
，所以
，所以
.
4．（2024·广东深圳·模拟预测）设数列
满足：
，
，求数列
的通项公式 ；
【答案】
【解析】由题意知数列
满足：
，
，
则
，
，故
为首项是6，公比为2 的等比数列，
故
，即
，
适合上述结果，故
；
5．（2025·山西·模拟预测）已知数列
中，
，
，求
= ；
【答案】
【解析】在数列
中，由
，得
，
则
，所以数列
是以
为首项，以
为公比的等比数列，
则
，解得
.
6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列
满足
，
，
，求
的通项公
式；
【答案】
【解析】因为
，两边同除于
，则
，
所以
，
，
，
，
累加可得
，
所以
，
则当
时，
，
又当
；当
也适合上式，
故
，则
.
题组五 构造等差数列（倒数法）
1．（23-24·湖南）已知数列
满足
，
，则
．
【答案】
【解析】若
，则
，即
，这与
矛盾，所以
，
由
两边同时除以
，得
，
则
，
，
，
，
上面的式子相加可得：
，
所以
，
故答案为：
.
2．（24-25 江西）已知数列
的前
项和
，且满足
，则
．
【答案】
【解析】令
，得到
，解得
，
因为
，所以
，
当
时，
，
则
，
得到
，即
，
故
，设
，
则
，即
，
得到
，解得
，故
，
而
，则
是公比为
的等比数列，且首项为
，
可得
，故
.
故答案为：
3．（2025·江苏南京·二模）已知数列
中，
，
，
，其前
项和为
，则an=
【答案】
【解析】由
，得
，
所以数列
是以
为公差的等差数列，
而
，
，所以
，得
，故A 正确；
所以
，得
，故B 正确；
令
，解得
，对于
，
4.．（2025·山东潍坊·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，若
，
，则an=
【答案】
【解析】数列
中，
，
，则
，
，
整理得
，而
，因此数列
是首项、公比均为
的等比数列，B 正确；
，解得
，
5（2025 高三·全国·专题练习）已知非零数列
的前
项和为
，且
，
，
，则
.
【答案】
【解析】因为
，
所以当
时，
，
又因为
，可得
，解得
，
由
，可得
，即
，
则
，即
，所以
，
又由
，所以
，可得
，
所以数列
为从第二项起，第二项为
，公比为
的等比数列，
则
，可得
，
经检验，
满足上式，所以
，即数列
的通项公式为
.
故答案为：
.
题组六 其他方法求通项
1．（24-25 天津东丽·阶段练习）在数列
中，
，且
，则
【答案】
【解析】由
，
则
，
则数列
是以
为首项，1 为公差的等差数列，
即
，
所以
，
当
时，
，
，
当
时，
满足上式，
综上所述
，
故答案为：
．
2．（2025·浙江·二模）已知数列
和
满足
，
，
，
，则
.
【答案】
【解析】因为
，
，
所以两式相减可得：
，即
.
所以数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，
故
.
故答案为：
.
3．（2024·北京·模拟预测）若
的展开式中存在
项，则由满足条件的所有正整数m 从小到大排
列构成的数列
的通项公式为 ．
【答案】
【解析】
展开式的通项为
，
由于展开式中存在
项，
令
，则
，
所以
.
故答案为：
4．（2025·云南昆明·模拟预测）设
为数列
的前n 项和，当
时，
，已知
，
，
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)求
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）当
时，
，
即
，
则
，而
，则
，
于是
时，
，整理得
，
又
，
所以数列
是首项和公比都是2 的等比数列．
（2）由（1）知，数列
是首项和公比都是2 的等比数列，
则
，因此
，
所以数列
是首项为
，公差为
的等差数列，
，
所以数列
的通项公式
．
（3）由（2）知，
，
，
两式相减得，
，
则
．
