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4.2 诱导公式及恒等变化（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025·湖南·二模）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】原式
，故选：B.
2．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
又
，所以
.故选：A
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知
为锐角，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
.
故选：D
4．（2025·河北·二模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，可得
，
则
，则
，
故选：C．
5．（2025·江西鹰潭·二模）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，即
，
整理可得
，
因为
，
，所以
，
所以
.
故选：A
6．（2025·湖北十堰·三模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
因为
，所以
，
故
，所以
，
即
，故
.
故选：A.
7．（2025·海南海口·模拟预测）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因
，则
，
因
，则
，
因
，
，
则
故选：B
8．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知
，则
的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，分子分母同时除以
，得
①，
由于
，所以
所以
,
所以
，所以
，
即
，分子分母同时除以
得，
，
代入①得：
，解得
.
故选：D.
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2025·广东）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A：
，故A 正确；
对于B：
，故B 错误；
对于C：
，故C 正确；
对于D：
，故D 正确；
故选：ACD
10．（2024 福建）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】对于A，
，故A 错误.
对于B，
，故B 错误，
对于C，
，故C 正确.
对于D，
，故D 正确.
故选：CD.
11．（2024 江苏南通·期中）下列等式成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】对于A 选项，
，A 错；
对于B 选项，因为
，
所以，
，B 对；
对于C 选项，
，C 错；
对于D 选项，
，D 对.
故选：BD.
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025·广东广州·一模）已知
，则
．
【答案】
/
【解析】由
，得
，
则
，所以
.
故答案为：
.
13．（2025·河南·二模）已知
是第三象限角，
，则
.
【答案】
【解析】法1：因为
，所以
，因为
是第三象限角，所以
，则
.
法2：因为
，所以
，因为
是第三象限角，所以
，则
，所以
14．（2024 安徽芜湖·期中）已知
为三角形的两个内角，
，则
＝ ．
【答案】
【解析】∵
为三角形的两个内角，且
，
∴
，
，
∵
，
，
，
，
，
，∴
．
故答案为：
．
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025 高三·全国·专题练习）化简求值：
(1)
；
(2)
．
（3）已知
.若
，求
的值；
（4）已知
，
，求
的值；
（5）求
的值.
【答案】(1)
(2)8（3）
；（4）
；（5）
.
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
（3）
因为
，所以
.
（4）由已知得
，①
，②
①+②得
，
①-②得
，
所以
（5）
.
16．（24-25 江西南昌·期中）已知
，
，
，
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，
，所以
，
又因
，
， 故
，
因为
，
，则
，
则
．
又因为
，
所以
（2）由1 知：
，
，
因为
，所以
17．（24-25 北京·期中）在平面直角坐标系中，锐角
，
均以
为始边，终边分别与单位圆交于点
，
，
已知点
的纵坐标为
，点
的横坐标为
．
(1)求
和
的值；
(2)求
的值；
(3)将点
绕点
逆时针旋转
得到点
，求点
的坐标．
【答案】(1)
；
(2)10
(3)
【解析】（1）由锐角
，
，得点
，
都在第一象限，而点
的纵坐标为
，点
的横坐标为
，
所以
，
则点
的横坐标为
，点
的纵坐标为
，
因此
；
，
．
（2）由（1）知
，
．
（3）依题意，点
在角
的终边上，且
，由（1）知
，
则点
的横坐标为
，
点
的纵坐标为
，
所以点
的坐标为
．
18．（2023 四川南充·期中）在条件：①
；②
；③
中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.
已知
，且满足条件______.
(1)求
的值；
(2)若
，且
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若选①，则由
，得
，
所以
，
所以
，
若选②，则由
，得
，
因为
，所以
，
化简整理得，
，解得
或
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
若选③，则由
，得
，得
，
因为
，所以
，
，解得
或
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，得
，
所以
，
所以
；
（2）若选①，则由（1）可知
，
因为
，得以
，即
，
所以
，所以
，所以
，
因为
，且
，
所以
，
所以
，
因为
，
，
所以
，所以
，
若选②，则由（1）可知
，
，
因为
，且
，
所以
，
所以
，
因为
，
，
所以
，所以
，
若选③，则由（1）可知
，
，
因为
，且
，
所以
，
所以
，
因为
，
，
所以
，所以
.
19（2025·浙江·一模）设
，对于数列
，
，…，
，若对任意
，
与
均为非负数或者均为负数，则称数列
，
，…，
为强数列.
(1)判断数列
，
，
，
，
与数列
，
，
，
，
分别是否为强数
列；
(2)若存在公比为负数的等比数列
，
，…，
，使得它为强数列，求公比q 的取值范围；
(3)设
，
，…，
为强数列，且数列中正数与负数交替出现（不出现0），证明：一定可以从数列
，
，
…，
中选出连续三项，不改变它们在原数列中的顺序，它们三项构成一个强数列.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）数列0，1，0，
，0，前两项和为1，后三项和为
，不是强数列；
数列1，0，
，0，1，满足第一项、前两项、前三项、前四项、后一项、后两项、后三项、后四项的和均非负，
是强数列.
（2）（方法一：等比数列求和）设首项
，公比
，
依题意，
，即
，
故
，即
，故
.
另一方面，
，即
，
故
，即
，故
.
于是
，
，又1，
，1，…，1，
，1 满足条件，综上，
.
（方法二：局部分析）设首项
，公比
，
依题意，
，∴
，
即
，
又∵
，∴
即
，
故
，即
，故
，
.
同理
，
，
故
，
，
于是
，又1，
，1，…，1，
，1 满足条件，综上，
.
（3）注意到若连续三项构成强数列，则中间项的绝对值最小，取数列中绝对值最小的一项
，
（若最小的同时存在正项和负项，取负项）.
如果
，
①若
，则
，
，故
，与（2）中
矛盾；
②若
，则
，
，故
，由（2）知矛盾，
于是
不为首项，同理
不为末项，我们取
，
，
三项.
（ⅰ）若
，则
，
，且
，
，故
，
，
，
，
构成强数列；
（ⅱ）若
，则
，
，且
，
，故
，
，
，
，
构成强数
列.
