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“8+3+3”73 分三轮冲刺保分强化训练(18)
(时间：45 分钟分值：73 分)
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026·广东佛山·一模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】先求集合
，根据集合的并集运算即可求解.
【解析】由题意得：
，
又因为
，
所以
．
2．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知向量
满足
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】将
两端平方，从而解出
与
的夹角.
【解析】因为
，所以
，
所以
，所以
．
3．（2026·四川宜宾·一模）已知数列
满足对任意的
，都有
．若
，则
（ ）
A．8
B．18
C．20
D．27
【答案】C
【解题思路】根据题意，分别令
和
求得
，
，再求和即可.
【解析】因为数列
满足对任意的
，都有
，
，
所以，当
时，
，解得
；
当
时，
，解得
；
所以
4．（2026·上海松江·模拟预测）一个袋中有大小与质地完全相同的红、黄､蓝三个球，从袋中依次随机不放回地摸
出两个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件
，则（ ）
A．A，B 相互独立
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，利用相互独立事件的定义判断A；利用条件概率公式，结合古典概率计算判断BCD.
【解析】对于A，
，
，A，B 不独立，A 错误；
对于B，
，B 错误；
对于C，
，C 正确；
对于D，
，则
，D 错误.
5．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点
在直线
上移动，椭圆
以
和
为焦点且经过点
，
则椭圆
的离心率的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】先利用待定系数法求椭圆方程，联立方程得
的范围，进一步计算离心率
的范围.
【解析】椭圆
以
，
为焦点，即
，
，
所以设椭圆方程
，
联立方程
，
消去
得出
，
由题意可得
，
即
，得出
或
（舍去），解得
，
所以
，
所以椭圆
的离心率的最大值为
.
6．（2026·河北承德·一模）已知把函数
（
）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变得到函数
的图象，若
在区间
上有三个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】求出
的解析式，再求出
的零点，再根据范围求得
的取值范围.
【解析】由题可知
，
令
，即
，即
，
所以
，或
，
解得
，或
，
则非负根从小到大依次为
，
，
，
，⋯，
又因为
在区间
上有三个零点，所以
，
解得
.
7．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，已知两个正方形
，
的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.
点M，N 分别在正方形对角线
和
上移动，且
.当
的长最小时，直线
和
夹角的余弦值是（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】B
【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、配方法进行求解
最小时的
，进而利用向量计
算即可求得结果.
【解析】因为平面
平面
，
，
，
且平面
平面
，
平面
，
故
平面
，又
平面
，
故
，从而
两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，
有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当
时，
最小，最小值为
；
即当
，
为
、
中点时，
最短，
则
，
，
，
，
，
直线
和
夹角的余弦值是
.
8．（2026·安徽安庆·一模）已知
，若函数
恰有1 个零点，则
（ ）
A．e
B．
C．1
D．3
【答案】B
【解析】由
，可得
恒为
的一个零点，
令
，则
恰有1 个零点，
等价于
的唯一零点是
，或
无零点.
因为
，且
，
所以
恒成立，
在
上单调递增.
又
时
，
时
，因此
必然存在唯一零点.
当
的零点是
时，可得
即
，解得
，
.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（2026·河北沧州·模拟预测）若函数
的部分图象如图所示，则下列说法
正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．
C．
的图象关于直线
对称
D．若方程
在
上有且只有3 个根，则
【答案】AC
【解析】由图象可知，函数
的最大值为，故
，该函数过点
，
，
代入可得
，而点
在上升曲线段中，
所以
，
，因为
，
所以
，而
在下降曲线段中，所以
，得
，
，
由图象可知，
，所以
，所以
，所以
，
所以
,可知选项A 正确，选项B 错误；
可得函数
，当
时，
，
所以
，故选项C 正确；
设
，即
，根据图象分析可得
，
计算可得
，故选项D 错误.
10．（25-26 高三下·河南周口·月考）如图，已知正方体
的棱长为2，则（ ）
A．直线
与
所成夹角的余弦值为0
B．直线
与
所成夹角的余弦值为
C．三棱锥
的表面积为
D．三棱锥
的外接球的表面积为
【答案】BCD
【解题思路】建立坐标系，利用向量坐标运算可判断A,B，求出三棱锥的表面积可判断C，结合补形法可求外接球
的面积，进而判断D.
【解析】以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴，正方体棱长为 2，
则
；
，
，
，A 错误，B 正确.
直角
中，
，其面积为2，直角
中，
，其面积为2，
直角
中，
，其面积为2，
中，
，其面积为
，
所以三棱锥
的表面积为
，C 正确.
三棱锥
可补形为正方体，其外接球与正方体外接球相同：
正方体棱长为 2，体对角线为
，即外接球直径
，
，
表面积为
，D 正确.
11．（2026·湖南邵阳·二模）已知
，
分别是椭圆
：
的左、右焦点，过
的直线交
于
，
两
点，则下列结论成立的是（ ）
A．
的周长为8
B．
C．
的最小值为
D．存在直线，使得
【答案】ABD
【解题思路】由椭圆的定义即可判断A；由基本不等式即可判断B；根据椭圆弦长公式即可判断C；根据
的
最大角即可判断D．
【解析】A，根据椭圆的定义，
，
所以
的周长为
，故A 正确；
B，根据基本不等式，
，当且仅当
时等号成立，故B 正确；
C，设直线
的方程为
，
，
与椭圆方程联立
得，
，
，
，
，
当
时，
最小为1，故C 错误；
D，当直线过短轴顶点时，
最大，
此时
，即
最大为
，
所以存在直线，使得
，故D 正确．
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（25-26 高三下·上海·月考）若实系数方程
有一个虚数根的模为4，则实数
的取值范围为
___________．
【答案】
【解题思路】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别为
和
，则
，结合
，再由
可求b 的取值范围.
【解析】由题意可知实系数方程
有两个虚数根，
设实系数一元二次方程
的两个虚数根为
和
，
则
.
所以
，则
，
实系数方程
有虚数根，
则
,
则实数
的取值范围为
.
13．（2026·湖南衡阳·模拟预测）设等比数列
的各项均为正数，其前n 项和为
，若
，
，则
______.
【答案】
【解题思路】设等比数列的公比为
，根据等比数列的通项公式和前
项和公式，列出方程，求得
的值，进而求
得
的值.
【解析】设等比数列的公比为
，
因为
，
，可得
，
整理得
，即
，
因为
，可得
，所以
.
又因为
，所以
，所以
.
14．（25-26 高三下·湖南长沙·月考）若函数
有唯一极值点，则实数a 的取值范围是__________.
【答案】
【解题思路】首先对函数求导，然后根据参变分离，将问题转化为图象交点问题，利用导数的性质分析函数的单
调性，进而确定极值点的情况，从而求出实数a 的取值范围.
【解析】因为
只有1 个极值点，所以
，
，
由
，得
，
则直线
与
的图象仅存在一个交点（变号零点），
设
，则
，
由
，得
；由
，得
或
；
则
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，当
时，
，当
时，
，
故其函数图象如图：
当
时，直线
与
的图象仅在
有1 个交点，符合题意；
当
时，直线
与
的图象在
上以及
处各有1 个交点，
但仅在
上存在1 个变号零点，符合题意；
当
时，直线
与
的图象有3 个交点，不符合题意；
当
时，直线
与
的图象无交点，不符合题意，
所以当
时
有唯一极值点，
综上，实数
的取值范围是
.
