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5.2 等比数列（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1（24-25 高三上·河北邢台·期中）已知正项等比数列
的前项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．2
C．6
D．4
【答案】C
【解析】由题意知：正项等比数列
的前项和为
,
且
，
所以
,
解得：
.
故选：C.
2．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知
是各项均为正数的等比数列，且
是关于
的方程
的两个实数根，则
（ ）
A．8
B．9
C．16
D．18
【答案】B
【解析】
是关于
的方程
的两个实数根，则
，
由等比数列的性质可得：
，所以
，
又
故选：B.
3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
为等比数列
的前n 项和，若
，
，则
（ ）．
A．120
B．85
C．
D．
【答案】C
【解析】方法一：设等比数列
的公比为
，首项为
，
若
，则
，与题意不符，所以
；
若
，则
，与题意不符，所以
；
由
，
可得，
，
①，
由①可得，
，解得：
，
所以
．
故选：C．
方法二：设等比数列
的公比为
，
因为
，
，所以
，否则
，
从而，
成等比数列，
所以有，
，解得：
或
，
当
时，
，即为
，
易知，
，即
；
当
时，
，
与
矛盾，舍去．
故选：C．
4．（24-25 高二上·甘肃金昌·期中）已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】D
【解析】由题意知
，
，
成等比数列，所以
，
即
，所以
，
当
时，
取得最小值3.
故选：D.
5．（2025 贵州·模拟预测）在数列
中，
，
，若
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】由题意得
，
，
，即
，
所以当
为奇数时，
；当
为偶数时，
；
设
的前n 项和为
，则
，
.
若
为奇数，则
为3 的倍数，
不是的倍数，不合题意；
当
为偶数，则
，即
，所以
.
故选：B
6．（2024·吉林·模拟预测）在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚
痛减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每
天走的路程为前一天的一半，走了6 天才到达目的地”，记此人中间两天走的路程之和为
，中间四天走的路
程之积为
，则下列说法不正确的是（ ）
A．此人第一天走了全程的一半 B．此人第五天和第六天共走了18 里路
C．
D．
【答案】A
【解析】设此人第
天走了
里路，则数列
是首项为
，公比为
的等比数列；
已知六天走的路程总和为
，解得
；
对于A，此人第一天走了全程的
，大于全程的一半，即A 错误；
对于B，已知
，可得
，即B 正确；
对于C，中间两天走的路程之和为
，
则
，即C 正确；
对于D，中间四天走的路程之积为
，可知D 正确；
故选：A
7．（2025 江西赣州·期中）设公比为
的等比数列
的前
项和为
，前
项积为
，且
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
是数列
中的最大值
D．数列
无最大值
【答案】B
【解析】当
时，则
，不合乎题意；
当
时，对任意的
，
，且有
，可得
，
可得
，此时
，与题干不符，不合乎题意；
故
，故A 错误；
对任意的
，
，且有
，可得
，
此时，数列
为单调递减数列，则
，
结合
可得
，
结合数列的单调性可得
故
，
，
∴
，
故B 正确；
是数列
中的最大值,故CD 错误
故选：B.
8．（2025·辽宁锦州·模拟预测）设首项为1 的数列
的前
项和为
，已知
，则下列结论不
正确的是（ ）
A．
B．数列
为等比数列
C．数列
为等比数列 D．数列
为等比数列
【答案】C
【解析】选项A，
，A 对；
选项C，因为
，则当
时，
，
两式作差得，
，变形为
，
又
，则
，故
，
故当
时，
为等比数列，公比为2，首项为
，
故
，即
，显然
不满足
，
故
的通项公式为
，C 错误；
B 选项，
时，
，
又
符合上式，故
，
由于
时，
，故
为等比数列，B 正确；
D 选项，由C 选项可知，
，则
，
故
时，
，
所以
为等比数列，D 正确.
故选：C
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（23-24 高三上·河南·期末）设等比数列
的前
项和为
，且
(
为常数)，则（ ）
A．
B．
的公比为2
C．
D．
【答案】BC
【解析】因为
，所以
．
因为
是等比数列，所以
，即
，解得
，则
错误；
的公比
，则B 正确；
因为
，所以
，则C 正确；
因为
，所以
，所以
，则D 错误．
故选：BC
10．（2025·湖北·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
，下列说法正确的是（ ）
A．当
时，数列
是递增数列
B．若数列
是等比数列，则
C．数列
一定是等比数列
D．数列
一定是等比数列
【答案】BD
【解析】因为
，所以
当
时，
，所以数列
不是递增数列；
数列
是等比数列，则
∴
；
因为
，所以数列
一定是等比数列；
当
时，数列
不是等比数列.
故选：BD.
11．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）某人买一辆15 万元的新车，购买当天支付3 万元首付，剩余向银行贷款，月
利率
，分12 个月还清（每月购买车的那一天分期还款）.有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分
配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一
部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率；等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息
以复利计算.下列说法正确的是（ ）
A．等额本金方案，所有的利息和为2340 元
B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030 元
C．等额本息方案，每月还款金额中的本金部分呈现递增等比数列
D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案
【答案】ABC
【解析】对于A，利息和为
（元），故A 正确；
对于B，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为30 元，本息和应为10030 元，故B 正确；
对于C，设第
个月贷款利息为
，偿还本金为
，
为贷款总额，
则
，
，则
，
，则
，
同理得
，
，……，
，
所以数列
是以
为公比的递增等比数列，所以C 正确;
对于D，由选项C 可知，
，得
，
所以每月还款的本息和为
，
所以等额本息还款利息和为
两种贷款方案各有优劣，比等额本金高，但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大，还款金额逐年递减；
等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等
诸多经济因素影响两种方案的收益，故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故D 错误.
故选：ABC.
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知等比数列
的公比
，且
，则
．
【答案】
【解析】由等比数列
的公比
，且
，
则
，
所以
.
故答案为：
.
13．（2025·山东青岛·一模）已知等比数列
的公比
，存在
，满足
，则
的最小
值为 ．
【答案】
【解析】在等比数列
中，由
，得
，即
，
则
，则
，
当且仅当
，即
时取等号，此时
，而
，
由对勾函数的性质知，当
时，
；
当
时，
，又
，
所以当
时，
取得最小值为
.
故答案为：
14．（2024·四川雅安·模拟预测）已知数列
满足
，
，
，
单调递增，则
的
取值范围为 .
【答案】
【解析】因为
，所以
，
又因为
单调递增，所以
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，
所以
即
，
则
的取值范围为
，
故答案为：
.
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025 福建）已知数列
满足
，
，
是公比为2 的等比数列．
(1)证明：
是等比数列；
(2)求
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由题可得
，
所以
，
，又
，
为首项为2，公比为3 的等比数列；
（2）由题可得
，
故
，
则
.
16．（2025·重庆·模拟预测）已知数列
的前
项和
满足
；等比数列
满足
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)若
，求
.
【答案】(1)
；
(2)
【解析】（1）已知
①，
当
时，
②.
用①式减去②式，根据
（
）可得：
当
时，
，满足
.
所以数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，通项公式为
.
因为
，
，
，所以
.
可得
，即
，将其代入
中得：
，解得
.
把
代入
，得
.
所以数列
的通项公式为
.
（2）已知
，即
.
解不等式
，可得
，
.
通过试值法，当
时，
，满足
，所以
.
因为
，根据等比数列前
项和公式则：
.
17．（2025·山东青岛·三模）在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，
是的方向向量．数列
满
足：点
均在上，
．
(1)求
的通项公式；
(2)已知
是以4 为首项，2 为公差的等差数列，若
与
的公共项为
，
的值由小到大构成数列
，
求
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由直线过原点且方向向量为
可知的方程为
因此对任意正整数
，
即
因为
，所以
，
所以
，
是首项为2，公比为3 的等比数列，
所以
（2）因为数列
是以4 为首项，2 为公差的等差数列，
所以
因为
，所以
，即
所以
，解得
18．（2025·陕西·模拟预测）教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金，用于教
育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政
策.若你的父母在你12 岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入1000 元，并且每年在你生日当天存入2500 元，
连续存6 年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为
.
(1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：
）
(2)为了鼓励学生参与社会实践，银行与某企业合作，为参与勤工俭学的学生提供以下三种薪资调整方案（每月
按30 天计算）：
方案甲：每天工资固定为60 元.方案乙：第1 天工资10 元，从第2 天起每天比前一天多4 元.方案丙：第1 天工
资
元，以后每天工资是前一天的2 倍.学生小张计划勤工俭学
个月，试分析小张应如何根据
的值选择
薪资方案.
【答案】(1)16044 元，
(2)答案见解析
【解析】（1）由题意得
，
即在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为16044 元.
（2）设小张参与勤工俭学的天数为
，
方案甲领取的报酬为
；
方案乙每天的报酬与天数成首项为10，公差为4 的等差数列，
由等差数列的求和公式可得领取的报酬为
；
方案丙每天报酬与天数成首项为
，公比为2 的等比数列，
由等比数列的求和公式可得领取的报酬为
.
先令
，即
，解得
（舍去）或26，
所以当
时，
；当
时，
；
再比较
和
，当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
；
最后比较
和
，由函数的增长快慢可得当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
.
综上，当
天时，即
个月时选择方案甲；
当
天时，选择方案丙，即
个月时选择方案丙.
19．（2024·全国·模拟预测）已知数列
满足
．
(1)证明：
，使得数列
成等比数列；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）若
，数列
成等比数列，
则存在非零实数
，使得
，
即
，整理得
①．
因为
，所以
②．
由①②对应项系数相等得
解得
所以
．
因为
，所以
．
所以数列
的各项均不为0，所以
．
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
即
，使得数列
成等比数列．
（2）由（1）知，数列
是以
为公比，
为首项的等比数列，
所以
，即
，
所以
，
即
，
