文档内容
8.6 分布列与其他知识综合运用（精讲）（提升版）
考点呈现
例题剖析
考点一 与数列综合
【例1】（2022·福建·三明一中模拟预测）（多选）已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、
6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出
的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第 次从与第k次取出的球颜色相同的箱
子内取出一球，然后再放回去．记第 次取出的球是红球的概率为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．第5次取出的球是红球的概率为 D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是【一隅三反】
1．（2022·广东·高三阶段练习）足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月
21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到2 2列联表
如下：
喜爱足球运
不喜爱足球运动 合计
动
男性 60 40 100
女性 20 80 100
合计 80 120 200
依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都
等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传
球的人为第1次触球者，第 次触球者是甲的概率记为 ，即 ．
（i）求 （直接写出结果即可）；
（ii）证明：数列 为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．
2．（2022·四川绵阳·三模（文））随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展．以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021
年份代码x 1 2 3 4 5 6
新能源乘用车年销售y
50 78 126 121 137 352
（万辆）
(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程；（结果保留整数）
(2)若用 模型拟合y与x的关系，可得回归方程为 ，经计算该模型和第（1）问中模型
的 （ 为相关指数）分别为0.87和0.71，请分别用这两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销
售量的预测值；
(3)你认为（2）中用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由．
参考数据：设 ，其中 ．
144 4.78 841 5.70 380 528
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据 ，其回归直线 的斜率和截距
的最小二乘估计公式分别为 ， ．
3．（2022·重庆·二模）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任
取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下
一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次
数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望；
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过 ，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记 表示成功时
抽球试验的轮次数， 表示对应的人数，部分统计数据如下：
1 2 3 4 5
232 98 60 40 20
求 关于 的回归方程 ，并预测成功的总人数（精确到1）；
(3)证明： ．
附：经验回归方程系数： ， ；
参考数据： ， ， （其中 ， ）．
.
考点二 与函数结合
【例2】（2022·西南名校模拟）某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽
取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果如下表所示：
质量指标值
频数 16 30 40 10 4
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）
（1）由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布 ，其中 近似为样本
平均数 ， 近似为样本的标准差s，并已求得 ，记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品
中质量指标值k在区间 之外的个数，求 及X的数学期望（精确到0.001）；
（2）已知每个产品的质量指标值k与利润y（单位：万元）的关系如下表所示
质量指标值k
利润y t
假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销
售该产品收回投资？试说明理由.
参考数据：若随机变量 ，则
，
.
【一隅三反】1．（2021高三上·威海期末）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化
验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于 份血液样本，
有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验 次.二是混合检验，将 份血液样本分别取样混合
在一起，若检验结果为阴性，那么这 份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳
性，为了明确这 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则 份血液检验的
次数共为 次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为 ，而且各体检人是否患该
疾病相互独立.
（1）若 ，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率;
（2）某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案:
方案一:采用混合检验;
方案二:平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验.
若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由.
2．（2022·临沂模拟）在疫情防控常态化的背景下，山东省政府各部门在保安全，保稳定的前提下有序恢复生产，生活和工作秩序，五一期间，文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产
品，得到消费者的积极回应．下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价
格x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表：
城市展馆科技 乡村特色 齐鲁红色
旅游类别 登山套票 游园套票 观海套票
游 游 游
套票价格x（元） 39 49 58 67 77 86
购买数量y（万
16.7 18.7 20.6 22.5 24.1 25.6
人）
在分析数据、描点绘图中，发现散点 集中在一条直线附近，其中
附：①可能用到的数据； ．
②对于一组数据 ，其回归直线ω^=b^v+a^的斜率和截距的最小二乘估
n
∑v ω −nvω
i i
计值分别为b^= i=1 ，a^=ω−b^v
n
∑v2−nv2
i
i=1
（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（2）按照文旅部门的指标测定，当购买数量y与套票价格x的比在区间 上时，该套票受消费
者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”，现有三位同学从以上六款旅游套票中，购买不同的
三款各自旅游．记三人中购买“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．3．（2022·湖北模拟）象棋属于二人对抗性游戏的一种，在中国有着悠久的历史，由于用具简单，趣
味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动.马在象棋中是至关重要的棋子，“马起盘格势，折冲千里余.
江河不可障，飒沓入敌虚”将矩形棋盘视作坐标系 ，棋盘的左下角为坐标原点，马每一步从
移动到 或 .
（1）若棋盘的右上角为 ，马从 处出发，等概率地向各个能到达（不离开棋盘）的方
向移动，求其4步以内到达右上角的概率.
（2）若棋盘的右上角为 ，马从 处出发，每一步仅向 方向移动，最终到达
棋盘右上角，若选择每一条可行的道路是等概率的，求马停留在线段 上次数
的数学期望.考点三 与导数综合
【例3】（2022·云南·昆明一中高三开学考试）甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢
满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为 ，甲赢的概率为 ，每局游戏相
互独立，在乙赢了3局甲贏了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配
才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照
游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比 分配奖金.
(1)若 ，则乙应该得多少奖金；
(2)记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率
，并判断当 时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于 ，
则称随机事件为小概率事件）【一隅三反】
1．（2022·佛山模拟）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即
获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为 ．
（1）若 ，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望 ；
（2）若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为 ，求 的最大值．2．（2022·湖南模拟）中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理
指数 为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车､机器人､增材制造､医疗设备､
高铁､电力装备､船舶､无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发
展.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布 ，并把质量
差在 内的产品称为优等品，质量差在 内的产品称为一等品，优等品与一等
品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质
量差的样本数据统计如下：
（1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数 作为 的近似值，
用样本标准差 作为 的估计值，记质量差 ，求该企业生产的产品为正品的概率P；(同一组
中的数据用该组区间的中点值代表)
（2）假如企业包装时要求把2件优等品和 ( ，且 )件一等品装在同一个箱子中，质检员从某
箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为 ，否则该箱产品记为B.
①试用含 的代数式表示某箱产品抽检被记为 的概率 ；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为 的概率为 ，求当 为何值时， 取得最大值，并求出最大值.
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则： ，， .
3．（2022·佛山模拟）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3
局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为 ．
（1）若 ，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望 ；
（2）若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为 ，求 的最大值．考点四 与其他知识综合运用
【例4】（2022·重庆模拟）在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，到2020年底，
全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．重
庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽，因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚
的重要抓手．奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的
产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，
肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，
各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．奉节县种植的某品种脐橙果实按果径
X（单位：mm）的大小分级，其中 为一级果， 为特级果，一级果与特级果统称
为优品．现采摘了一大批此品种脐橙果实，从中随机抽取1000个测量果径，得到频率分布直方图如下：
参考数据：若随机变量X服从正态分布 ，则 ，
， ．
（1）由频率分布直方图可认为，该品种脐橙果实的果径X服从正态分布 ，其中μ近似为样本
平均数 ， 近似为样本标准差s，已知样本的方差的近似值为100．若从这批脐橙果实中任取一个，求取
到的果实为优品的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
（2）这批采摘的脐橙按2个特级果和n（ ，且 ）个一级果为一箱的规格进行包装，再经过质检方可进入市场．质检员质检时从每箱中随机取出两个果实进行检验，若取到的两个果实等级相同，则该
箱脐橙记为“同”，否则该箱脐橙记为“异”．
①试用含n的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率p；
②设抽检的5箱脐橙中恰有3箱被记为“异”的概率为 ，求函数 的最大值，及取最大值时n
的值．
【一隅三反】
1．（2022·联合模拟）在检测中为减少检测次数，我们常采取“ 合1检测法”，即将 个人的样本合
并检测，若为阴性，则该小组所有样本均末感染病毒；若为阳性，则还需对本组的每个人再做检测.现
有 人，已知其中有2人感染病毒.
（1）若 ，并采取“20合1检测法”，求共检测25次的概率；
（2）设采取“10合1检测法”的总检测次数为 ，采取“20合1检测法”的总检测次数为 ，若仅
考虑总检测次数的期望值，当 为多少时，采取“20合1检测法”更适宜？请说明理由.2．（2022·邵阳模拟）某跳绳训练队需对队员进行限时的跳绳达标测试.已知队员的测试分数y与跳绳
个数x满足如下关系 .测试规则：每位队员最多进行两次测试，每次限时1分钟，
若第一次测完，测试成绩达到60分及以上，则以此次测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续
的测试，最多进行两次，根据以往的训练效果，教练记录了队员甲在一分钟内时测试的成绩，将数据
按 ， ， ， 分成4组，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）计算a值，并根据直方图计算队员甲在1分钟内跳绳个数的平均值；（同一组中的数据用该
组区间中点值作为代表）
（2）将跳绳个数落入各组的频率作为概率，并假设每次跳绳相互独立，X表示队员甲在达标测试
中的分数，求X的分布列与期望.3．（2021·洛阳模拟）一商场为了解某商品的销售情况，对该商品30天的销售量统计后发现每天的销
售量x（单位：件）分布在 内，其中 （ ，且n为偶数）的销售
天数为 ； （ ，且n为奇数）的销售天数为 ．
（1）求实数a的值；
（2）当一天销售量不小于700时，则称该日为销售旺日，其余为销售不景气日．将销售天数按照销
售量属于 ， ， 分成3组，在销售旺日的3组中用分层抽样的方法随机
抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，如果这3天来自X个组，求随机变量X的分布列与
数学期望．
