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5.3 利用递推公式求通项方法（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2024·湖南永州·三模）已知非零数列
满足
，则
（ ）
A．8
B．16
C．32
D．64
【答案】D
【解析】由
可得
，则
.故选：D
2.（23-24 广东深圳·期末）已知数列
的前
项和为
，满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
①中，当
时，
，解得
，
当
时，
②，
式子①-②得，
，即
，
故
为首项为6，公比为3 的等比数列，
故
.
故选：B
3．（2024·广东茂名·一模）已知
为正项数列
的前
项的乘积，且
，则
（ ）
A．16
B．32
C．64
D．128
【答案】B
【解析】由
，得
，于是
，则
，
两边取对数得
，因此
，数列
是常数列，
则
，即
，所以
，
.
故选：B
4．（2025 山东）已知在数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
，所以
，整理得
，所以
数列
是以
为首项，
为公比的等比数列．所以
，解得
．
故选：A
5．（2025·江苏）已知数列
满足
，则下列结论不正确的有（ ）
A．
为等比数列 B．
的通项公式为
C．
为递增数列 D．
的前n 项和
【答案】C
【解析】因为
，所以
+3，所以
，
又因为
，所以数列
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，故A 正确；
，即
，故B 正确；
因为
，
因为
，所以
，所以
，所以
为递减数列，故C 错误；
，则
，故D 正确.故选：C.
6．（2025 河北）数列
满足
，且
（
），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵
，
，…，
，
∴
，即
，
∴
，
．
∵
符合上式，
∴
．
∴
，
，
，
．
故选：A．
7．（2025 浙江）已知数列
的首项
，且各项满足公式
，则数列
的通项公式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为数列
的首项
，且各项满足公式
，则
，
，
，
以此类推，对任意的
，
，
由
可得
，所以，
，
所以，数列
是等差数列，且首项为
，公差为
，
，因此，
.
故选：B.
8．（2025·江西·二模）已知数列
满足：
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
有最大值
D．
不是单调数列
【答案】C
【解析】设
，则
.
已知
，将
，
代入可得：
可得
.
两边取倒数
，即
.
又因为
，所以
，则
.
所以数列
是以
为首项，
为公差的等差数列.
根据等差数列通项公式
，则
.所以
.
当
时，
，所以选项A 错误.
由前面计算可知
，所以选项B 错误.
因为
，当
增大时，
减小，
减小，且
时，
，
，所以
有最大值，
选项C 正确.
由
可知，
，所以
是单调递减数列，选项D 错误.
故选：C.
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2026 广西）已知数列的前4 项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，当n 为奇数时，
，当n 为偶数时，
，故A 中通项公式正确；
对于B 显然正确；
对于C，当
时，
，显然不符合；
对于D，当n 为奇数时，
，当n 为偶数时，
，故D 中通项公式正确.
故选：ABD．
10．（2025·辽宁沈阳·二模）已知数列
满足
，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
，
，则
是等差数列
B．若
，
，则
是等差数列
C．若
，
，则
是等比数列
D．若
，
，则
是等比数列
【答案】BCD
【解析】对于A，当
时，若
，则
所以数列
不是等差数列，故A 错误；
对于B，当
时，
，
因为
，所以
，即
，
因为
，
所以数列
是等差数列，故B 正确；
对于C，当
时，有
，
因为
，所以
，即
所以
是等比数列，故C 正确；
对于D，当
时，有
，
因为
，所以
，即
，
因为
，
所以
是等比数列，故D 正确；
故选：BCD．
11．（2025·广东）已知数列
，下列结论正确的有（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，则数列
是等比数列
D．若
为等差数列
的前
项和，则数列
为等差数列
【答案】ABD
【解析】对于选项A，由
，得
，
则
，故A 项正确；
对于选项B，由
得
，
所以
为等比数列，首项为
，公比为2，
所以
，所以
，故B 项正确；
对于选项C，因为
，
当
时，
，
当
时，
，
将
代入
，得
，
所以
，所以数列
不是等比数列，故C 项错误.
对于选项D，设等差数列的公差为d，
由等差数列前
项和公式可得
，
所以
与n 无关，
所以数列
为等差数列，故D 项正确.
故选：ABD
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025 甘肃）已知数列
满足
，
，则数列
的通项公式为
_____________.
【答案】
【解析】∵
，则
当
时，则
，解得
；
当
时，等式两侧同除
，可得
，
则
，
令
，则
，
，
利用叠加法可得：
，
，
，
叠加得
，即
，
所以
，
即
，可得
；
综上所述：
.
故答案为：
.
13．（2024 高三下·全国·专题练习）已知数列
的前
项和为
，
，
，则
.
【答案】
【解析】当
时，
，则
，两式作差得
，即
，即
，
所以
，即
，
又由
且
，即
，所以
，可得
，
则
.
显然
时也符合
，可得
，
所以
.
故答案为：
.
14．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列
解前
项和为
，若
，则
，
.
【答案】 78
【解析】当
时，
，解得
，
当
时，
，解得
，则
.
当
时，由
得
，
两式相减
整理得
，
即
，因为
，所以数列
是首项为9，公比为9 的等比数列，则
，即
.
故答案为：78；
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（24-25 山东）已知数列
中，
，
，记数列
的前
项和为
，求数列
的
通项公式；
【答案】
【解析】
，
则
，
，
，
，则当
时，
，
满足上式，
所以数列
通项公式为
16．（2025·广东揭阳·三模）记
为数列
的前
项和，已知
，
.
(1)求
；
(2)求
的通项公式；
(3)证明：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）令
可得
，故
；
令
可得
，故
.
（2）由题设有
，故
，
化简得
，
即
，由
知
，故
，
累乘可得
，
即
，故
.
而
符合该式，故
.
（3）由（2）可得
.
当
时，
，
；
当
时，
，
.
综上：
.
17（2025 安徽）已知数列
的前
项和为
，且
，
．
（1）
，求证数列
是等比数列；
（2）设
，求证数列
是等差数列；
（3）求数列
的通项公式及前
项和
．
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】（1）由题意，
，
，
两式相减，得
，
，
，
又由题设，得
，即
，
，
∴
是首项为3，公比为2 的等比数列；
（2）由（1）得
，
，
，即
．
∴数列
是首项为
，公差为
的等差数列；
（3）解：由（2）得，
，
即
，∴
．
则
．
18．（23-24 高三下·湖南湘潭·阶段练习）设各项都不为0 的数列
的前
项积为
，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)保持数列
中的各项顺序不变，在每两项
与
之间插入一项
（其中
），组成新
的数列
，记数列
的前
项和为
，若
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，
当
时，
，两式相除可得
，
因为
，所以
，
又
，所以
.
（2）依题意，
，
易知
随着
增大而增大，
当
时，
，
当
时，
，
而
综上，
的最小值为
.
19．（2025·湖南·三模）已知数列
满足
，数列
满足
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求
的通项公式；
(3)将
中的项按从小到大的顺序插入
中，且在任意的
之间插入
项，从而构成一个新数列
，设
的前
项和为
，求
.
【答案】(1)
(2)
(3)12182
【解析】（1）由
可得
，又
，
所以
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，即
.
（2）方法一：由已知得
，所以
，
所以
，又
，
等式两边同时相乘，可得
，
得
，该式对
也成立.
故
.
方法二：由
可知
是常数列，
所以
，
即
.
（3）设在
的前100 项中，来自
的有
项.
若第100 项来自
，则应有
，
整理可得
，该方程没有正整数解，不满足题意.
若第100 项来自
，则应有
，整理可得
.
易知
在
时单调递增，
当
时，
，不满足题意，当
时，
，满足题意，
故
，所以
的前100 项中有10 项来自
，有90 项来自
，
所以
.
