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5.4 求和常用方法（精练题组版）
题组一 公式法求和
1．（2025·江西景德镇·模拟预测）在数列
中，已知
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求数列
的前
项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由已知条件得
，因为
，所以
，
所以
，故
，即数列
为以2 为首项，
为公比的等比数列.
（2）由（1）得
，故
，
设数列
的前
项和为
，则
.
2．（2025·海南海口·模拟预测）已知数列
，其前
项和为
，
，
．
(1)求数列
的通项公式
及前
项和
；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
(2)
【解析】（1）因为数列
的前
项和为
，
，
，
所以，
，即
，
所以，数列
是首项为，公差为
的等差数列，
所以，
，
.
（2）因为
，则
且
，
所以，数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
故
.
3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列
为等比数列，且
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）在等比数列
中，由
，
，得公比
，
，解得
，
，
所以
的通项公式是
.
（2）由（1）知，
，
所以
.
4．（2025·河南·模拟预测）已知数列
和
满足
是等比数列，
是
等差数列.
(1)求
和
的通项公式；
(2)求
和
的通项公式；
(3)求
的前
项和
.
【答案】(1)
，
；
(2)
；
(3)
.
【解析】（1）由
，
因为
是等比数列，
则公比为
，所以
，
因为
是等差数列，
则公差为
，所以
.
（2）由（1）得
，
则
.
（3）由（2）有
.
5．（24-25 北京）已知等比数列
为递增数列，其前
项和为
，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
是首项为1，公差为3 的等差数列，求数列
的通项公式及前
项和
.
【答案】(1)
；
(2)
【解析】（1）设等比数列
的公比为
，由
，且等比数列
为递增数列，所以
，
，解得
（负值舍去），
所以
，即
；
（2）由数列
是首项为1，公差为3 的等差数列，所以
，
所以
，
.
6．（2025·河南·一模）已知数列
的各项均不为0，其前
项和为
，且
.
(1)若
，求
；
(2)若
，求
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）令
，可得
，
∵
，∴
，
∵
，
∴
.
（2）由题意得，
.
当
时，
，
∴
，即
，
∴
，
∵
，∴
，
数列
∴
的奇数项、偶数项均成公差为2 的等差数列，
∴
，
∴
.
当
时，
，故数列
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
∴
.
7．（2025·河南新乡·模拟预测）已知数列
各项均为正数，且满足
，
，
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，数列
的前
项和为
，试证明：
，
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）正项数列
中，
，
，由
，得
，
则
，即
，
，于是
，
令
，则有
，因此
，即
，
，则
是以2 为公比，以
为首项的等比数列，
于是
，即
，解得
，
所以数列
的通项公式是
.
（2）由（1）知
，
，显然
是等比数列，
即
，
令函数
，求导得
，
当
时，
，则
，
，函数
在区间
上单调递减，
，所以
题组二 裂项相消求和
1．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）记
为数列
的前n 项和，且满足
，
．
(1)求
；
(2)求
；
(3)令
，记数列
的前n 项和为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）由
可知数列
是首项为1，公差为1 的等差数列，
故
，即
．
（2）当
时，
，
又因为
满足上式，故
；
（3）
，
故
，故
．
2．（2025·海南·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，且
，
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）因为
，所以
①
，解得
，
对任意的
，
，
②
②-①得
，即
，
所以
，即
，
因为
，所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，即
．
（2）因为
，
所以
，
因为
，数列
为单调递增数列，所以
，
即
．
3．（2025·甘肃·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
；
(2)求
的通项公式；
(3)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)8，15，24
(2)
(3)
【解析】（1）因为
，所以
.
又
，所以
.
（2）由（1）可知
，
则
时，
，
则
.
当
时，
，适合上式，所以数殉
的通项公式为
；
（3）由（2）可得
则
.
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1 的正项数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)令
（
），求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）令
，
，又由
有
，
则有
，
所以
．
又因为数列
的各项均为正数，所以
．
（2）由
，
知
．
5．（2025·山东·模拟预测）记正项
的前
项和为
，已知
.
(1)求
，
；
(2)证明：
是等差数列；
(3)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）在正项数列
中，
，
令
，得
，解得
，负值舍去；
令
，得
，即
，则
，
所以
，负值舍去’
（2）当
时，
，而
，则
，
即
，又
，
所以
是首项为2，公差为2 的等差数列.
（3）由（2）知
，可得
，
则
，
所以
.
6．（2025·江西·模拟预测）已知数列
满足
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
，变形可得
因为
，所以数列
是以1 为首项、2 为公比的等比数列，
故
，即
.
（2）因为
，由（1）知
，
所以
，
故
7（2025·广东）已知数列
的前
项和为
，且
，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）因为
，所以
，
因为
，所以
，即
，所以
．
即
，又
，所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列．所以
.
（2）
，
故数列
的前
项和
，
因为
，所以
，所以
．
8．（2025·江苏）设
为数列
的前
项和，已知
，且满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
为数列
的前
项和，当
时，
．若对于任意
，有
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
，
∴
，
，
∴
,
当
∴
时，
；
当
时，也符合上式，
∴
．
（2）
，
∵
，
∴
，
当
时，满足
，
当
时，存在
，（其中，
表示不超过
的最大整数），
使得
，则
，
∴
，不满足条件，∴
．
题组三 错位相加法求和
1．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知
为等比数列，
是
，
的等差中项．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设
的公比为
，因为
为
，
的等差中项，
所以
，即
，则
，解得
，所以
.
（2）设
的前
项和为
，又
，
，①
，②
①
得
②
，
所以
.
2．（2025·四川·三模）已知在各项为正的等比数列
中，
，
是
与
的等差中项．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设各项为正的等比数列
的公比为
，由
，所以
，
因为
是
与
的等差中项，所以
，化简得
，
解得
（舍去），所以数列
的通项公式为
；
（2）由（1）可得，
，
所以
，
，
两式相减得
，
所以
．
3．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)
．(2)
．
【解析】（1）因为
，取
可得
，又
，所以
，解得
，
当
时，用
替换
可得
，所以
，即
，
所以
，又
，即
，
所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，所以
，即
．
（2）因为
，
所以
，①
，②
－
得
①
②
所以
，所以
．
4．（2025·山东·模拟预测）已知
为数列
的前
项和，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）解：因为
，所以
.
又因为
，所以
，所以
，所以
是公差为1 的等差数列.
则
，所以
.
当
时，
，
当
时，
满足上式，所以
.
（2）证明：由题意及（1），得
，
所以
，①
，②
①-②得
，
整理得
.
又
，
所以
，得证.
5．（2025·全国一卷·高考真题）设数列
满足
，
(1)证明：
为等差数列；
(2)设
，求
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】（1）由题意证明如下，
，
在数列
中，
，
，
∴
，即
，
∴
是以
为首项，1 为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，
，
在数列
中，首项为3，公差为1，
∴
，即
，
在
中，
，
∴
，
当
且
时，
∴
，
∴
∴
.
6．（2025·辽宁·二模）记数列
的前
项和为
，已知
．
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）因为
，
所以当
时，
；
当
时，
，
所以
，
即
，
又
，
所以
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列．
（2）由（1）得
所以
．
（3）由（2）得
，
记
，①
则
，②
由
－
得
①
②
所以
，
所以
．
7．（2025·辽宁·三模）已知数列
满足
(1)求数列
的通项公式；
(2)求和：
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当
时，
，
当
时，
，
所以
，即
，
经检验，当
时不满足上式，
所以数列
的通项公式为
；
（2）令
，由（1）可得
，
，
两式相减得
，
即
，
化简得
.
8．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列
的前项和为
，
，且
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，求数列
的前项和；
(3)在（2）的条件下，
中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析
【解析】（1）由已知
，
，
所以数列
为首项
，公差的等差数列．
（2）由（1）
，且
时，
，
，
也符合，所以
所以
，
所以
，
因为
，
所以
，
，所以
，
记数列
的前项和为
，
则
，
，
所以
，
所以
.
（3）不存在，显然数列
为递增数列，
若存在正整数
，使得
成等差数列，不妨设
，
则
，
即
，
因为
，所以
，显然
不成立，
所以数列
中不存在不同的三项构成等差数列．
题组四 分组转化求和
1．（24-25 高二上·上海·期中）在数列
中，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，
所以数列
是以
为首项，3 为公比的等比数列，
所以
，所以
；
（2）因为
，
所以
.
2．（2024·山东·二模）已知
是公差不为0 的等差数列，其前4 项和为16，且
成等比数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设
的公差为
，由题意知
，即
，
即有
，因为
，可得
，
，
所以
；
（2）设数列
的前
项中的奇数项之和为
，偶数项之和为
，
则
，
，
所以
．
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列
满足
，
，
是数列
的前
项和，
记
．
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)求
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)10170.
【解析】（1）由
，
，得
，
则
，而
，
所以数列
是等比数列.
（2）由（1）得，
，所以数列
的通项公式
.
（3）由（2）得，
，
.
4．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列
的前n 项和为
，满足
，
，数列
满足
，
，且
.
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)设
，
为
的前n 项和，求
.
【答案】(1)
，
(2)
【解析】（1）
，
，
，
，
又
，
，
，
，
由
两边同除以
，
得
，
从而数列
为首项
，公差
的等差数列，
，
从而数列
的通项公式为
（2）由（1）知
，
，
，
设
，
则
，
两式相减得
，
整理得
，
.
5．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列
和
满足：
，
，且
(1)设
，证明：
是等比数列；
(2)设
，试求
的前n 项和
．
【答案】(1)证明见详见
(2)
【解析】（1）
，
，
又
构成以
为首项，2 为公比的等比数列.
（2）由（1）可知
，
，
又
构成以
为首项，
为公比的等比数列
，
，
当
∴
为偶数时，
当
为奇数时，
所以
6．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，满足
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）因为
，所以
时，
，
两式相减可得
，所以
，即
，
所以数列
为常数列，则
，可得
.
（2）因为
，所以
，
可得
，
所以
.
所以
.
7．（2025·山西临汾·三模）已知正项数列
中，
，满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知数列
满足
求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
，得
，
因为
，所以
，则
，
所以
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，所以
．
（2）方法一：
由（1）知
方法二：
由（1）知
设
，则可得
，
所以
是以4 为首项，4 为公比的等比数列，
所以
的前n 项和
，
设
所以
的前n 项和
所以
．
8．（2025·河南·三模）已知等差数列
的前n 项和为
，且
，
．
(1)求
；
(2)若数列
满足
，求数列
的前20 项和
．
【答案】(1)
(2)4212
【解析】（1）设等差数列
的公差为d，
由
，
，得
，解得
，
所以
．
（2）因为
，所以
，
故
9．（2025·辽宁辽阳·一模）已知等比数列
是递减数列，
的前
项和为
，且
、
、
成等差数
列，
，数列
满足
，
，
(1)求
和
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
，
(2)
【解析】（1）设等比数列
的公比为
，由题意可得
，则
，
因为数列
是等比数列，解得
，所以，
，
因为
，所以，
，
因为
，则
，所以，
，故
.
（2）当
为奇数时，
，令
，
则
，
所以，
，
两个等式作差可得
，
化简得
；
当
为偶数时，
，
令
，则
，
故
.
10．（2025·四川自贡·二模）已知数列
的前
项和
，数列
是正项等比数列，满足
，
.
(1)求
，
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，求
.
【答案】(1)
，
(2)
【解析】（1）因为
，
所以
时
.
当
时，
，
所以
，
，满足
，所以
，
数列
是正项等比数列
，
.
所以公比
，
.
（2）由（1）知
，
，
.
题组五 奇偶并项求和
1．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列
的通项公式为
，其前n 项和为
，则数列
的前2025 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】数列
的通项公式为
，其前n 项和为
，
所以
，
则数列
的前2025 项和为
.
故选：D.
【例4-2】（2023 春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在数列
中，
，当
时，
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)设
，数列
的前n 项和为
，求
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为
，
所以
，两边同除以
，得
，
所以
是以
为首项，1 为公差的等差数列.
（2）由（1）知，
，整理得：
，
则
，
当n 为偶数时，
，
当n 为奇数时，
，
所以
.
题组六 其他方法求和
1（2025·江苏）已知数列
是公差不为0 的等差数列，
，且
成等比数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前2023 项和.
【答案】(1)
(2)1012
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，由题意可知，
即
解得
，所以
；
（2）由（1）可知，
，
对于任意
，有
，
所以
，
故数列
的前2023 项和为
.
2．（2024·河南）记
为数列
的前
项和，已知
，且满足
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）方法1：
，
时，
，
累加得：
，
时也成立，
.
，
是等差数列
方法2：
，
，
为常数数列，
，
，
，
是等差数列.
方法3：
当
时，
，
①
，
②
②-①可得：
，
是等差数列，因为
.
（2）由（1）知
，所以
，
方法1：并项求和
当
为偶数时，
，
方法2：错位相减求和
①
②
①-②：
3．（2024·陕西咸阳·三模）数列
满足
，
.
(1)求数列
通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）数列
中，
，
，显然
，则
，
数列
是首项为1，公差为1 的等差数列，
，
所以数列
通项公式是
.
（2）由（1）知，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
所以
.
