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5.3 利用递推公式求通项公式（精讲）
考向一 公式法求通项
【例1-1】（24-25 四川）已知数列
的前
项和为
，且
，则
.
【答案】
【解析】当
时，
，
当
时，
不满足上式，则
.故答案为：
.
【例1-2】（24-25 上海）数列
的前n 项和
，则其通项公式
.
【答案】
【解析】当
时，
.
当
时，
，显然
，所以数列
的通项公式为
.故答案为：
.
【例1-3】（2025·宁夏银川）已知数列
满足
，则数列
的通项公式为 .
【答案】
【解析】由题意
，
当
时，
，两式相减得，
，解得
，
在
中，令
，可得
，故
也满足
，
综上所述，所求即为
.故答案为：
.
【例1-4】（24-25 高二下·四川成都·期末）已知数列
的前n 项和为
，若
，则
．
【答案】
【解析】数列
中，
，则
，解得
，
，即
，于是
，
所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
，
所以
（
）.故答案为：
【例1-5】（24-25 云南昭通·期中）已知数列
的首项
，
的前n 项和为
，且满足
，则数列
的通项公式为 ．
【答案】
【解析】因为
，即
，
所以
，又
，所以数列
是以1 为首项，以
为公差的等差数列，
所以
，
，
当
时，
，所以
，
当
时，
也成立，所以
，故答案为：
【一隅三反】
1．（24-25 辽宁）已知数列
中，前n 项和
，求
的通项公式为 .
【答案】
【解析】
①，当
时，
，
当
时，
，
显然
不满足
，综上，
.故答案为：
2．（2025 广东中山）已知数列
的前
项和为
，且
，则数列
的通项公式是 .
【答案】
【解析】∵
，∴
时，
，∴两式相减得：
，即
，
又∵
，即
，
，即
，符合上式，
∴数列
是以3 为首项、
为公比的等比数列，∴
．
故答案为：
.
3．（2025·山东济南·二模）已知数列
的前
项和为
，且满足
，则
【答案】
【解析】由题设，数列
是首项、公差均为1 的等差数列，
则
，所以
，
当
，则
，显然
满足上式，
所以
.
故答案为：
4．（24-25 甘肃）在数列
中，
，则
的通项公式为 .
【答案】
【解析】数列
中，
，
时，有
，
时，由
，得
，
两式相减得
，即
，
时，也满足
.
所以
.
故答案为：
5．（2024·广东佛山·二模）设数列
的前
项之积为
，满足
（
），则
【答案】
【解析】因为
，所以
，即
，所以
，所以
，
显然
，所以
，所以数列
是首项为
，公差为2 的等差数列，
所以
，即
，所以
．
考向二 累加法求通项
【例2-1】（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
中，
，
，则
．
【答案】
【解析】由已知得
，
再由累加法得：
．
故答案为：
【例2-2】（2025·四川）已知数列
满足
，对任意
，
，
，则数列
的通项
公式为
.
【答案】
【解析】由题，
，
所以
.故答案为：
.
【一隅三反】
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知
，
，则通项公式
.
【答案】
【解析】因为
，即
，
故
，
，
，
，
，
以上各式相加得
.
又
，所以
，而
也适合上式，故
.
故答案为：
.
2.（24-25 河北）在数列
中，
，
，则
的通项公式为
【答案】
【解析】由已知得
，
将上述
个等式相加，整理得
又因为
，所以
3.（23-24 四川绵阳）已知数列
满足
，
，则其通项公式为 .
【答案】
【解析】不妨设
，则
，
由
，
经检验当
时满足，故
，解得
，即数列
的通项公式为
.故答案为：
.
4．（24-25 河南）记数列
的前
项和为
，已知
且
，则
.
【答案】
【解析】当
时，由
得
，即
，
因为
，所以
，
所以
，
，
则
，
又
满足上式，故
，故答案为：
．
考向三 累乘法求通项
【例3-1】（24-25 广东）在数列
中，
，
，则数列
的通项公式为
【答案】
【解析】因
，则
，
当
时，符合题意，故数列
的通项公式为
.
【例3-2】（2026 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，则数列
的通项公式为 ．
【答案】
【解析】当
时，有
，故
，
则有
，
．
上述
个式子累乘得
．
因为
，所以
，而当
时，
，也满足上式，
故数列
的通项公式为
．故答案为：
.
【例3-3】（2024 高三·全国·专题练习）在数列
中，
，前
项和
，则数列
的通项
公式为
【答案】
【解析】由于数列
中，
，前
项和
，所以当
时，
，
两式相减可得：
，所以
，
，所以
，所以
，
所以
，
符合上式，
因此
.故答案为：
【一隅三反】
1．（24-25 江苏连云港）已知数列
中，
，则
.
【答案】
【解析】
，
，
，即
，
.故答案为：
.
2．（24-25 黑龙江）已知数列
的各项为正数，且
，
，则
【答案】
【解析】因为数列
的各项为正数，且
，
，
故当
时，
，
由题意可知，对任意的
，
，则
，所以，
，
则有
，所以，数列
为常数列，
故
，所以
.
3．（2025·黑龙江）数列
中，
，当
时，
，则数列
的通项公式为 .
【答案】
【解析】因为
，
，
所以
，
，
，…，
，
累乘得
，
，
所以
，
，
由于
，所以
，
，
显然当
时，
满足
，
所以
，
故答案为：
.
4（2024·四川泸州·三模）已知
是数列
的前
项和，
，
，则
.
【答案】
【解析】当
时，
，即
，
，
则
，即
，
则有
，
，
，
，
则
，
当
时，
，符合上式，故
.
故答案为：
.
考向四 构造等比数列（待定系数法）
【例4-1】（24-25 山西）若数列
的首项
，且满足
，则数列
的通项公式为
【答案】
【解析】∵
，∴
，即
，
∴数列
是以
为首项，以
为公比的等比数列，∴
，∴
.
【例4-2】（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，且
，
，则数列
的通项公式为
.
【答案】
【解析】法一：因为
，所以
.
设
，则
，所以
.
设
，则
.
因为
，
，所以
，
，
所以
，即
，即
，所以
.
因为
，所以数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，
所以
，
.
法二：因为
，所以
，
由
，
，得
，
，
所以数列
的奇数项是首项为2，公比为4 的等比数列，偶数项是首项为4，公比为4 的等比数列，
当
为奇数时，
，即
；
当
为偶数时，
，即
.
综上，
.
故答案为：
【例4-3】（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，则数列
的通项公式为
.
【答案】
【解析】解法一：设
，整理得
，可得
，
即
，且
，
则数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，即
；
解法二：(两边同除以
) 两边同时除以
得：
，
整理得
，且
，
则数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，即
；
解法三：(两边同除以
)两边同时除以
得：
，即
，
当
时，则
，
故
，
显然当
时，
符合上式，故
.
故答案为：
.
【一隅三反】
1.（2024·河南·模拟预测）已知数列
满足
，且
，则an=
【答案】
【解析】 因为
，又
，令
，可得
，解得
，
所以
，所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，整理得
2.（23-24 上海·期末）数列
满足
，则数列
的通项公式为
.
【答案】
【解析】数列
中，由
，得
，即
，
而
，
，于是数列
是首项为3，公比为
的等比数列，
因此
，即
，
所以数列
的通项公式为
.
故答案为：
3.（2024 广东）在数列
中，
，且
，则
的通项公式为 ．
【答案】
【解析】因为
，设
，其中
、
，
整理可得
，
所以，
，解得
，所以，
，
且
，所以，数列
是首项为，公比也为的等比数列，
所以，
，解得
.
故答案为：
考向五 构造等差数列（倒数法）
【例5-1】（24-25 河南）已知数列
中，
，且
，则
．
【答案】
【解析】由
，可得
，即
，又
，
所以数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，
所以
，即
，所以
．故答案为：
【例5-2】（2025 云南临沧）已知数列
中，
数列
的通项公式
【答案】
【解析】因为
，可得
，
因为
，则
，即
，可得
，
对任意的
，所以
，等式两边取倒数可得
，则
，
所以，数列
为等差数列，且其首项为
，公差为1，
所以
，故
【例5-3】（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
中，
，
，
，则数列
的通
项公式为 ．
【答案】
【解析】将
两边同时除以
，得
，
∴
，又
，∴数列
是首项为1，公差为2 的等差数列，
∴
，∴
．故答案为：
【一隅三反】
1．（2025 湖北）若数列
满足
，且
，则数列
的通项公式为
_________.
【答案】
【解析】由
，则
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，所以
，故答案为：
2（2025·山西）已知数列{an} 满足a1=1，且
，且n N*
∈
），则数列{an}的通项公式为
【答案】
【解析】由题可知，将
，两边同时除以
，得出
，运用累加法，解
得
，整理得
；
3．（2025·山东青岛·二模）记等差数列
的前
项和为
，且
，则
．
【答案】
【解析】由
代入已知可得：
，
可得
是公差为2 的等差数列，因为
，所以
，即
，
所以
，故答案为：
.
考向六 其他方法求通项
【例6-1】（2025 山西）数列
，4，
，20，……的一个通项公式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A 选项，当
时，
，故A 错误；
对于B 选项，当
时，
，当
时，
，
当
时，
，当
时，
，故B 正确；
对于C 选项，当
时，
，故C 错误；
对于D 选项，当
时，
，故D 错误.
故选：B.
【例6-2】（2025 湖北）已知
，且
，则数列
的通项公式为___________.
【答案】
【解析】等式两侧同除
，得
，
所以
，
令
，所以
，
则
，
，
，……，
，
累加得：
，而
，故
，
即
，整理得
.故答案为：
【一隅三反】
1．（2024·贵州黔南·二模）
，数列1，
，7，
，31，
的一个通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于选项A：因为
，故A 错误；
对于选项B：因为
，故B 错误；
对于选项C：因为
，故C 错误；
对于选项D：检验可知对
均成立，故D 正确；
故选：D.
2．（2025 海南）已知数列
中，
且
，则数列
的通项公式为____.
【答案】
【解析】∵
，等式两侧同除
，可得
，
令
，则
，
∴
，又
，
∴
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
∴
，即
，
∴
，即
.
故答案为：
.
3．（2025·云南）设数列
的前
项和为
，且
.求
=
【答案】
【解析】由
，
当
时，
，解得
，
当
时，
，
所以
，
整理得：
，①所以有
，②
①-②可得
，所以
为等差数列，
因为
，所以公差为
，所以
.
4（2025·北京）已知数列
满足
，
，则数列
的通项公式为
_____________.
【答案】
【解析】∵
，则
当
时，则
，解得
；
当
时，等式两侧同除
，可得
，
则
，
令
，则
，
，
利用叠加法可得：
，
，
，
叠加得
，即
，
所以
，
即
，可得
；
综上所述：
.
故答案为：
.
5．（2024 黑龙江）已知数列{an}的前n 项和为
，
，
，求{an}的通项.
【答案】
【解析】∵
……①
∴
……②
②-①得：
……③
{
∵a}的特征函数为：
，
由
x=1.设
，
……④
将④代入③得：
，
∴
，∵
，
∴
，∴
.
