文档文本内容
6.3 空间几何中的垂直（精练题组版）
题组一 线面垂直
1．（2025 高三·全国·专题练习）（多选）如图，下列四个正方体
中，E，F，G 均为所在棱的
中点，则直线
平
面EFG 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】如图，在正方体
中，设M，N，Q 均为所在棱的中点，
则E，F，M，N，Q，G 共面，平面EFG 与平面EFMNQG 重合，
因为
⊥平面
，
平面
，
所以
，
因为四边形
是正方形，所以
，
又
分别为
中点，所以
，
所以
，又
所以
平面
，所以
.同理可得
.
又
，
所以直线
平面EFMNQG，
则直线
平面EFG，A 正确；
同理可得，B，D 正确；
因为E，F 分别为AB，
中点，所以
，
所以
是异面直线EF 与
所成的角，
则
，故
，
即EF 与
不垂直，
故直线
与平面EFG 不垂直，C 错误．
故选：ABD.
2．（2025 高三·全国·专题练习）如图四个正方体
中，
是正方体的一条对角线，点
、
、
分别为所在棱的中点，能得出
平面
的图形的序号是 ．（写出所有符合要求的图形序号）
【答案】（1）（4）
【解析】对于（1），如图所示：
易知
平面
，而平面
平面
，则
平面
，故（1）正确；
对于（2），如图所示:
易知
平面
，而平面
与平面
不平行，故得不到
平面
，故（2）错误；
对于（3），如图所示：
易知
平面
，而平面
与平面
不平行，故得不到
平面
，故（3）错误；
对于（4），如图所示：
易知
平面
，而平面
平面
，则
平面
，故（4）正确；
故答案为：（1）（4）
3．（2025 高三·全国·专题练习）如图所示，正方体
中，连接
，
，
，
．求证：
平面
．
【答案】证明见解析
【解析】
平面
，
是
在平面
内的射影，
又
，由三垂线定理得
．
同理可证
．又
平面
．
平面
．
4．（2025 安徽）如图，在四棱锥
中，
底面
，底面
为平行四边形，
.证
明：
平面
.
【答案】证明见解析
【解析】
底面
，
平面
，
，
又
，
，
平面
，
平面
.
5．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱
中，已知
，侧面
为正方形.求
证：
平面
.
【答案】证明见解析
【解析】因为直三棱柱
，
平面
，
又
平面
，
，
又
，
平面
，
，
平面
.
又
平面
，
.
侧面
为正方形，
，
又
，
、
平面
，
平面
.
6．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
为等边三角
形，平面
平面
，
，
，
.求证：
平面
.
【答案】证明见解析
【解析】证明：取
的中点
，连接
，如图，
因为
为等边三角形，所以
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
又
，
，
面
，所以
平面
.
即证：
平面
.
题组二 面面垂直
1．（2025 河南）（多选）如图，在正方体
中，E，F，M 分别为所在棱的中点，P 为下底面
的中心，则（ ）
A．平面
平面
B．
C．
D．
平面
【答案】ABD
【解析】即判断平面
平面
，如图①，由正方体可得
，
平面ABCD，
因为
平面ABCD，所以
，又
，
，
平面
，
则
平面
，又
平面
，则平面
平面
，A 正确；
如图②，取
中点为N，连接MN，PN，易得
，
平面
，又
平面
，
则
，结合
，且MN，
平面MNP，则
平面
，
又
平面MNP，则
，B 正确；
如图③，连接
，易得
，则判断
，即判断
，又
，
则
是以
为直角的直角三角形，则
与
不垂直，即MP 与
不垂直，C 错误；
因为
，
，得
，又
平面
，
平面
，
则
平面
，D 正确．
故选：ABD.
2．（2025 高三·全国·专题练习）在棱长均为2 的正三棱柱
中，D 是棱AC 的中点，则（ ）
A．
B．
C．平面
平面
D．平面
平面
【答案】BD
【解析】在正三棱柱中，
，又
，故
与
不平行，A 错误；
由题得
，
，
，
所以
，所以
，B 正确；
因为
平面
，
平面
，
，
且
在平面
与平面
的交线上，
与
不垂直，
所以平面
与平面
不垂直，C 错误；
因为
是正三角形，
是
的中点，所以
，
又
，且
，
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
，D 正确．
故选：BD.
3．（2025 甘肃）如图，在正四棱锥
中，已知侧棱长为4，底面边长等于2，
是
的中点．求证：
平面
平面
．
【答案】证明见解析
【解析】证明：在正四棱锥
中，连接
，
交于点
，连接
，
因为四棱锥
为正四棱锥，所以
平面
，
因为
平面
，所以
．
又
，
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
．
4．（2025 云南）在直三棱柱
中，
.求证：平面
平面
；
【答案】证明见解析
【解析】证明：在直三棱柱中，有
平面
，
因为
平面
，所以
，
又因为
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以平面
平面
.
故证：平面
平面
.
5．（2025 江苏）如图，在四面体
中，
，
，
，点
为
的中点，
点
为
上一点.求证：平面
平面
；
【答案】证明见解析
【解析】证明：由题意可得
为等腰直角三角形，设斜边
，
所以
，
又因为
，
所以
，
所以
，
又因为点
为
的中点，
所以
，
又
平面
，
，
所以
平面
，
又因为
平面
，
所以平面
平面
.
6．（2025 黑龙江）如图，正方形ABCD 所在的平面与半圆弧
所在平面垂直，M 是
上异于C，D 的点．
求证：平面
平面BMC．
【答案】证明见解析
【解析】方法一：因为M 是半圆弧
上异于C，D 的点，所以
，
因为正方形ABCD 所在的平面与半圆弧
所在平面垂直，且
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
,又
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
．
方法二：记平面
平面
，
由正方形
得，
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
，
同法一得
平面
，则
平面
，
又
平面
，所以
，
因为M 是半圆弧
上异于C，D 的点，所以
，
所以根据二面角的定义可知平面
平面
．
7．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，
，证明：
平面
平面
．
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，设
相交于点
，连接
，
因为
，故
，则
，
所以
为
的中点，且
，
所以
．
因为
，
所以
，所以
，因为
为
的中点，所以
．
因为
平面
，所以
平面
．
因为
平面
，所以平面
平面
．
8．（2025 海南）一副三角板按如图所示的方式拼接，其中
，将
折起，使得
.证明：
平面
平面
.
【答案】证明见解析
【解析】因为
，
，
且
，
平面
，
故
平面
，
又因为
平面
，
所以平面
平面
．
9．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，点
在棱
上，且
.求证：平面
平面
.
【答案】证明见解析
【解析】因为
，所以
，
所以
，即
.
因为
，所以
，
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
.
因为
平面
，所以
平面
.
连接
，交
于
，连接
，
易得
，
，
所以
，又因为
，所以
，所以
，
因为
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
.
10．（2025 安徽）已知直三棱柱
分别为线段
上的点，
．证明：平面
平面
．
【答案】证明见解析
【解析】在直三棱柱
中，
，
又
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，故
，
因为
，四边形
为矩形，
则
，
，
所以
，所以
，
因为
，
所以
，则
，
因为
平面
，
所以
平面
，因为
平面
，
所以平面
平面
．
题组三 线线垂直
1．（2025 广西）（多选）如图，在下列各棱长都相等的正六棱柱中，O 为底面中心，M，N 为顶点，P 为所在
棱的中点，则满足
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】
如图，由正六棱柱的性质可知，
，
，
因为
底面ABC，
底面ABC，所以
，
又因为
，
平面POD，
所以
平面POD，又因为
平面POD，
所以
，即
，故A 正确；
如图，由正六棱柱的性质易知，四边形
为平行四边形，所以
，
同理由正六棱柱的性质易知，
，
，四边形
是平行四边形，
则
，显然
与
不垂直，所以
与
不垂直，故B 错误；
如图，设C 是
的中点，因为正六棱柱各棱长均相等，易得四边形
是正方形，
则
，因为
分别是
的中点，所以
，则
，
由正六边形的性质易知
，所以
，
又在正六棱柱中，
平面
，
平面
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
又
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，故C 正确；
如图，设C 为其所在棱的中点，由选项C 的证明同理可得
平面ACB，
又因为
平面ACB，所以
，
又由正六棱柱的性质可知，
，
假设
成立，则
，又因为
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
，显然AB 与PC 不垂直，所以假设不成立，故D 错误．
故选：AC
2．（24-25 吉林 ）如图，在三棱柱
中，
，平面
平面
，
平面
平面
．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）因为
，所以
，所以
，
又平面
平面
，平面
平面
平面
，所以
平面
．
又
平面
，所以
，
同理可得
平面
，又
平面
，所以
，
又
平面
，所以
平面
；
（2）取
为
的中点，连接
，
由（1）知
平面
，又
平面
，所以
，
又
，所以
，
所以
，
又
，则
，
所以
，所以
．
又
，所以
，所以
，
因为
，所以
，
又
平面
，又
平面
，所以
，
又
，所以
，
又
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
又
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
．
3．（24-25 北京通州·期末）如图，在五面体
中，四边形
是正方形，平面
平面
，
，
，
.
(1)求证：
；
(2)求证：
平面
；
(3)求证：
.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析；
【解析】（1）由正方形
，得
，
又∵
平面
，
平面
，∴
∥平面
，
∵
平面
，平面
平面
，
∴
（2）由正方形
，得
,
∵平面
平面
，平面
平面
，
平面
,
∴
平面
，
又∵
平面
，∴
，
由（1）知
，∴
，
，
又
，
平面
，
∴
平面
；
（3）取
的中点
，连接
，则
，
又
，所以四边形
是平行四边形.
∴
，∴
.
由
，
得，
，∴
.
∵
，
，
平面
，
∴
平面
.
∵
平面
，∴
.
由正方形
，得
∥
，∴
,
∵
，
平面
，∴
平面
,
∵
平面
，∴
4．（2025 高三·全国·专题练习）如图所示，在正三棱柱
中，已知
．求证：
．
【答案】证明见解析
【解析】过
作
于
，过
作
于
，连接
，
，
则由正三棱柱的性质可知
平面
，
平面
．
，由三垂线逆定理得
，
，
，
，
又
，
．
由三垂线定理得到
．
5．（24-25 四川内江·期中）如图，在四棱锥
中，四边形
是正方形，
，
为侧棱
上的点，且
．
(1)证明：
：
(2)已知点
是侧棱
上靠近点
的三等分点，求证：
平面
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】（1）令
交
于点
，连接
，在正方形
中，
，
，
又
，则
，而
，
平面
，
因此
平面
，而
平面
，所以
.
（2）在正方形
中，
，在线段
上取一点
，使得
，
由
，得
，连接
，则
，
而
平面
，
平面
，则
平面
，
由
，得
，则
，
而
平面
，
平面
，则
平面
，
又
，
平面
，于是平面
平面
，而
平面
，
所以
平面
.
题组四 垂直中的动点
1．（2025 高三·全国·专题练习）如图，已知立方体
底面棱
的中点
，在直线
上是否
存在一点
，使得
？说明理由.
【答案】存在，理由见解析
【解析】如图，分别取
中点
，
因为
平面
，
所以
平面
，所以
平面
，
平面
，所以
，
因为
平面
，
所以
平面
，所以
平面
，
平面
，所以
，
又因为
平面
，
所以
平面
.
延长
交
延长线于点
，由于
平面
，
所以
，由于
为
的中点，故
，
所以在直线
上存在一点
，
，
使得
.
2．（2025 高三·全国·专题练习）如图1，
直角梯形
，
，
，在
上是否存在一点
，使得平面
平面
？请证明．
【答案】存在，证明见解析
【解析】由
，
，则
，
，则
，
所以
，则
，
由
直角梯形
，
直角梯形
，则
，
由
，
平面
，则
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
，
如图2，作
，
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
．
3．（2025·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形
中，
，
，
，
分别为
的中点，且
，将梯形
沿
翻折至梯形
，使得平面
平面
，得到
如图2 的多面体
.
(1)证明：
四点共面；
(2)在
上取一点
，使得平面
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
.
【解析】（1）因为平面
平面
，平面
平面
，
且
，
平面
，
所以
平面
，又
，
以
为原点，以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，
易得
，
则
，
则
，则
，
即
，所以
四点共面.
（2）由（1）知，
，
，
，
，
设
，则
，则
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，得
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，得
，
由平面
平面
，则
，解得
，
则
，则
，又
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，得
，
易得平面
的一个法向量为
，
则
，
则平面
与平面
夹角的余弦值为
.
题组五 垂直的判定定理及性质定理的辨析
1．（2025·重庆·二模）已知
是两条不重合的直线，
是两个不重合的平面，则下列说法正确
的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【解析】对于A，如图所示：
，但
，故A 错误；
对于B.，如图所示：满足
，但
，故B 错误；
对于C，满足
，但
不平行，故C 错误；
对于D，
，由线面平行的性质可和
，故D 正确.
故选：D.
2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知直线
、
与平面
、
、
，则能使
的充分不必要条件是
（ ）
A．
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】D
【解析】对于A 选项，若
，
，则
、
平行或相交，A 不满足要求；
对于B 选项，若
，
，
，则
、
平行或相交，B 不满足要求；
对于C 选项，若
，
，
，则
、
斜交或垂直，C 不满足要求；
对于D 选项，如下图所示：
因为
，过直线
作平面
，使得
，
由线面平行的性质定理可得
，
因为
，则
，因为
，故
；而反过来不成立；D 满足要求.
故选：D.
3．（2025·安徽合肥·模拟预测）设
是两条不重合的直线，
是三个不重合的平面，则下列命题中错误
的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】A
【解析】若
，则
或
与
互为异面直线，故A 错误；
若
，由面面平行的性质定理，可得
，故B 正确；
若
，由线面垂直的性质，可得
，故C 正确；
若
，则
，
又因为
是两个不同的平面，
是两条不重合的直线，则
，D 选项正确；
故选：A
4．（24-25 福建龙岩·期中）已知m，n 是两条不重合的直线，
，
是两个不重合的平面，则下列结论正确的
是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若m，n 是异面直线，
，
，
，
，则
【答案】D
【解析】对于A，若
，
，则
与
平行或相交，故A 错误；
对于B，若
，
，则
或
，故B 错误；
对于C，若
，
，
，则
与
平行或异面，故C 错误；
对于D，因为
，所以在
内存在直线
∥
，又
，所以
∥
；
又
是两条异面直线，所以直线
与
是两条相交直线；又
，所以
；故D 正确.
故选：D.
5.（2025·天津）已知m，n 是两条直线，
是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】C
【解析】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A 错误；
对B：若
，
，则
或
，故B 错误；
对C：根据线面垂直的定义可知，C 正确；
对D：若
，
，则直线
与平面
的位置关系不确定，故D 错误.
故选：C
4.（2025·甘肃兰州）已知
是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【解析】若
，则
或
或
或
，故A 错误；
若
，则
或
，故B 错误；
若
，在
内作
，所以
，又
，所以
，
又
，所以
，所以
，故C 正确；
若
，则
或
或
为异面直线，故D 错误.
故选：C.
