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5.5 数列与其他知识的综合应用（精讲）
考向一 斐波那契数列
【例1】（24-25 上海·单元测试）若数列
满足
，
，
（
，n 为正整数），则称
数列
为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直
接的应用．设
是数列
的前n 项和，则下列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】按照规律有
，
，
，
，
，
，
，
，故A、C 错；
，
则
，
故B 对；
，
故D 错．故选:B．
【一隅三反】
1．（2024·山东·模拟预测）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列
数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它
前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用
表示斐波那契数列的第
项，则数列
满足：
，
.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由题意可知斐波那契数列的前10 项为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
所以
，所以A 错误，
对于B，当
时，
，
，
，
所以三式相加得
，
所以
，所以B 正确，
对于C，因为数列
满足：
，
，
所以
，
，
，……，
，
，
，
以上2023 个等式相加得
,
因为
，所以
，所以C 正确，
对于D，因为
，
，
所以
，
,
,
,
……,
,
所以
，所以D 正确，
故选：BCD
2.（23-24 河南南阳·阶段练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，
1，2，3，5，8，13，
．其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和．后来人们把这样的一列数组成的
数列
称为“斐波那契数列”．记
为“斐波那契数列”
的前
项和，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
所以
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
故选：A
3．（2024·四川成都·模拟预测）（多选）斐波那契数列
满足
，
（
）．下列命
题正确的有（ ）
A．
B．存在实数
，使得
成等比数列
C．若
满足
，
（
），则
D．
【答案】BC
【解析】对A，因为
满足
，
所以
，
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
所以
，所以A 选项错误；
对B，若
为等比数列，则可设
，
将
代入可得，
，
即
，则有
或
，
所以存在实数
，使得数列
为等比数列，故B 选项正确；
对C，根据数列
的递推公式可计算出如下结果，
显然
的分子为
满足斐波那契数列，可以表示为
，
同理，
的分母为
满足斐波那契数列，
可以表示为
，所以
，故C 选项正确；
对D，根据斐波那契数列公式可得，
，
又因为
，
所以
，故D 选项错误.
故选：BC.
考向二 数列与三角函数综合
【例2-1】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）数列
满足
，
，且
，令
，则数列
的前
项和为 ．
【答案】
【解析】由题意可知
，则
，故
，
由
得，
，即
，
故数列
是以
为首项，以为公差的等差数列，
故
，则
，
所以数列
的前
项和为
．
故答案为：
【例2-2】（2024 宁夏）已知
的三个内角
、
、
的对边分别为
、
、，内角
、
、
成等差数
列，
，数列
是等比数列，且首项、公比均为
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和
．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）因为内角
、
、
成等差数列，
，
所以
，
，
因为
，所以
，
，
故数列
是首项、公比均为
的等比数列，
.
（2）
，
，
，
则
，
故数列
的前
项和
.
【一隅三反】
1．（2025·甘肃金昌·二模）已知等差数列
中，
，公差为函数
的最小正周期，则
之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
，
由题意得等差数列
的公差
，因此
.
故选：A.
2．（2025·河北·模拟预测）记
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)若
，求A；
(2)若a，b，c 成等差数列，
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，所以
，又因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
，且
，所以
，
所以
，所以
；
（2）因为
，所以
，所以
，所以
为钝角，所以
，
又因为
成等差数列，所以
，因为
，所以
，
所以由正弦定理得
，所以
，
所以
，
为锐角，所以
，
所以
，左右平方得
，所以
由正弦定理得
，所以
，所以
，
所以
，
所以
的面积为
.
3．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数
的所有正零点构成递增数列
．
(1)求函数
的周期和最大值；
(2)求数列
的通项公式
及前
项和
．
【答案】(1)周期2，最大值2
(2)
，
【解析】（1）由题可得
，
因此函数
的周期
，
当
，即
时，取最大值，最大值为
．
（2）由
得
，
因此函数
的所有正零点为
，
，
，因此
是首项为
，公差为1 的等差数列；
，
考向三 数列与统计概率综合
【例3-1】（2025·全国·二模）某科技公司食堂每天中午提供A、B 两种套餐，员工小李第一天午餐时随机选择
一种套餐，如果前一天选择A 套餐，那么第二天选择A 套餐的概率为
；如果前一天选择B 套餐，那么第二天
选择A 套餐的概率为
.
(1)食堂对A 套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，对员工对于A 套餐的满意程度进行了调查，统计了
120 名员工的数据，如下表（单位：人）
套餐A 满意
度
A 套餐改善
前
A 套餐改善
后
合
计
满意
20
40
60
不满意
30
30
60
合计
50
70
120
根据小概率值
的独立性检验，能否认为员工对于A 套餐的满意程度与套餐的改善有关？
(2)若A 套餐拟提供2 种品类的素菜，
种品类的荤菜，员工小李从这些菜品中选择3 种菜品，记
选择素菜的种数为X，求
的最大值，并求此时n 的值；
(3)设员工小李第n 天选择B 套餐的概率为
，求
.
参考数据：
，其中
.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)认为员工对于A 套餐的满意程度与套餐的改善没有关系
(2)
，
或
(3)
【解析】（1）零假设
：认为员工对于A 套餐的满意程度与套餐的改善无关，
由已知数据计算
，
根据小概率值
的独立性检验，没有充分证据推断
不成立，即接受
，
因此认为员工对于A 套餐的满意程度与套餐的改善没有关系.
（2）依题意，
，令
，
，当且仅当
时取等号，
当
时，
，
当
时，
，即当
时，数列
单调递减，
于是
，
所以
的最大值为
，此时
或
.
（3）由员工小李第n 天选择B 套餐的概率为
，则员工小李第n 天选择A 套餐的概率为
，
因此
，而
，
，又
，
因此
，所以
.
【例3-2】（2025·安徽六安·模拟预测）投掷均匀的骰子，每次掷得的点数为1 或2 时得1 分，掷得的点数为
3，4，5，6 时得2 分．独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分．
(1)设投掷2 次骰子，最终得分为
，求随机变量
的分布列与期望；
(2)若投掷
次骰子，记合计得分恰为
分的概率为
，求
.
【答案】(1)分布列见解析，
;
(2)
；
【解析】（1）
可能取值为2，3，4，
，
，
.
的分布列为
2
3
4
数学期望
.
（2）根据题意，投掷
次，得分为
分，则只有一次投掷得2 分，
所以
，
则
，
则有
，
两式相减，得
，
所以
.
【一隅三反】
1．（2025·海南·模拟预测）甲、乙两位同学参加一场答题竞赛，甲同学每次答对问题的概率为0.8，乙同学每
次答对的概率为0.6，答题规则是如果该同学此题答对，则继续答题，如果答错则由对方进行答题，已知两位
同学答第一题的概率相等，则第n 次答题的同学是甲的概率是 ．
【答案】
【解析】第n 次答题的同学是甲的概率设为
，由乙答题的概率为
则第
此由甲答题的情况为：第
次甲答题且答对或者第
次乙答题且答错，
所以
，且
，代入化简得则递推关系为
，
当答题次数无限多时，
，所以
，解得
，构造
，
递推关系为
，又
，所以
，即
.
故答案为：
2．（2025·湖北恩施·模拟预测）某单位有400 名员工，其中男员工240 人，女员工160 人，该单位为了了解该
单位员工的高密度脂蛋白胆固醇情况，以便调整食堂菜品，使员工身体更加健康.该单位男员工的高密度脂蛋
白胆固醇的均值为1.4，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为1.5，该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的方
差为0.6，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为0.3. 为了让员工吃得更健康，该单位设立了营养餐厅A 和素
食餐厅B 两家餐厅，经过统计分析发现：一个员工第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A 餐
厅的员工第二天选择A 餐厅的概率为
，第二天选择B 餐厅的概率为
；前一天选择了B 餐厅的员工第二天选
择A 餐厅的概率为
，第二天选择B 餐厅的概率为
，如此往复.
(1)求该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值与方差；
(2)按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取5 名员工，再从这5 名员工中随机选择3 人参加座谈会，记抽到男
员工的人数为
，求
的分布列及数学期望；
(3)设第n 天选择A 餐厅用餐的概率为
，求
；经过一年（365 天）后，在A 餐厅和B 餐厅就餐的员工趋于
稳定，如果A 餐厅准备每天180 人的用餐，是否合理，请说明理由.
【答案】(1)1.44；0.4824
(2)分布列见解析，
(3)不合理的，理由见解析
【解析】（1）由题意知，该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值平均数为：
；
该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为：
；
（2）按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取5 名员工，则抽取3 名男员工，2 名女员工.
从这5 名员工随机选择3 人，记抽到男员工的人数为
，可得
的取值为1，2，3.
可得
的分布列为：
1
2
3
所以期望
；
（3）设第n 天选择A 餐厅用餐的概率为
，
则可得：
.
∴
，
∴
且
，
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列.
∴
，
∴
，即一年以后，员工选择A 餐厅的概率约为
.
设400 名员工选择A 餐厅的人数为X，
，
所以400 名员工中选择A 餐厅的平均人数约为
（人），
，A 餐厅每天准备180 人的用餐是不合理的.
3．（2025·江西·二模）某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取
10 名业绩突出的员工参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰
子，初始分数为0，每次掷得点数为偶数得2 分，点数为奇数得1 分.连续投掷累计得分达到9 分或10 分时，游
戏结束.
(1)设员工在游戏过程中累计得
分的概率为
.
①求
；
②求证数列
为等比数列.
(2)得9 分的员工，获得二等奖，得10 分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，且该
公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过1 万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？（精确到1 元）
【答案】(1)①
；②证明见解析；
(2)1499 元.
【解析】（1）①由题意，员工游戏过程中累计得1 分，即第一次投掷为奇数，其概率为
；
累计得2 分，即第一次投掷为偶数或连续两次投掷都是奇数，其概率为
；累计得3 分，即前
两次投掷一次为偶数，一次为偶数或连续三次投掷都是奇数，其概率为
；
②由题知，累计获得
分时有可能是获得
分时掷骰子点数为奇数或获得
分时掷骰子点数为偶数，而掷
骰子点数为奇数和偶数的概率均为
.
所以
，
则
，又
故
为首项为
，公比为
的等比数列.
（2）由（1）知
，
将所有等式相加得
，
所以
，
所以
，
设一等奖的奖金为
元，二等奖的奖金为
元，
由题意知
元，
解得
，即一等奖的奖金最多不超过1499 元.
4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，已知
甲、乙第一轮答对的概率都为
. 甲如果第
轮答对，则他第
轮也答对的概率为
，如果第
轮答
错，则他第
轮也答错的概率为
; 乙如果第
轮答对，则他第
轮也答对的概率为
，如果第
轮答错，
则他第
轮也答错的概率为
. 在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响.
(1)若前两轮活动中第二轮甲乙都答对，求两人第一轮也都答对的概率；
(2)如果在每一轮活动中至少有一人答对，游戏就可以一直进行下去，直到他们都答错为止.
（i）设事件
“甲在第
轮活动中答对”，求
；
（ii）设停止游戏时进行了
轮游戏，求
.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）4.
【解析】（1）设事件
“甲在第轮活动中答对”，
“乙在第轮活动中答对”，
“甲乙在第轮
活动中都答对”，
，
则
，
，
，
所以两人第一轮也都答对的概率为
.
（2）（i）依题意，
，而
，
则
，而
，因此
为常数列，
所以
.
（ii）由（i）得
，则每一轮游戏可进行下去的概率为
，
，
，
令
，则
，
于是
，
两式相减得
，
因此
，所以
.
考向四 数列中的存在性问题
【例4】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列
是各项均不为0 的等差数列，
为其前
项和，且满足
，数列
的前
项和为
．
(1)求数列
的通项公式及数列
的前
项和
．
(2)是否存在正整数
，使得
成等比数列？若存在，求出所有的
的值；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)
，
(2)存在，
【解析】（1）
是各项均不为0 的等差数列，
，
.
，
.
（2）若存在正整数
，使得
成等比数列，
则
，即
，
化简得：
，解得：
，
又
且
，所以
，
故存在正整数
，使得
成等比数列．
【一隅三反】
1．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列
的前项和为
，
，且
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，求数列
的前项和；
(3)在（2）的条件下，
中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析
【解析】（1）由已知
，
，
所以数列
为首项
，公差的等差数列．
（2）由（1）
，且
时，
，
，
也符合，所以
所以
，
所以
，
因为
，
所以
，
，所以
，
记数列
的前项和为
，
则
，
，
所以
，
所以
.
（3）不存在，显然数列
为递增数列，
若存在正整数
，使得
成等差数列，不妨设
，
则
，
即
，
因为
，所以
，显然
不成立，
所以数列
中不存在不同的三项构成等差数列．
2.（2024 江西）已知数列
满足：
.
(1)当
时，求数列
中的第10 项；
(2)是否存在正数
，使得数列
是等比数列，若存在求出
值并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
，证明见解析
【解析】（1）由已知
，所以
，相除得
；
又
，所以
，所以
.
（2）假设存在正数
，使得数列
是等比数列，由
得
，由
，得
，
因为
是等比数列，
，即
，
下面证明
时数列
是等比数列，
由（1）知数列
和
都是公比是
的等比数列，
所以
，
；
所以
为奇数时，
，
为偶数时，
，
所以对一切正整数
，都有
，所以
，所以存在正数
使得数列
是等比数列.
考向五 数列函数、导数的综合
【例5】（2025·上海浦东新·三模）已知
.
(1)数列
的前
项和为
，点
均在函数
的图象上，求数列
的通项公式；
(2)设
；当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意，
，
当
时，
，
当
时，
，
则
.
（2）
，
设
，当
时，
，
恒成立，
则
，
因为
，所以
【一隅三反】
1.（2024·浙江·一模）已知数列
的首项是1，其前
项和是
，且
，
.
(1)求
，
的值及数列
的通项公式；
(2)若存在实数
，使得关于
的不等式
，
有解，求实数
取到最大值时
的值.
【答案】(1)
，
，
(2)4 或5
【解析】（1）∵
，∴
当
时，
，
即
，
当
时，
也满足
，
∴
，
∴
，
.
（2）由（1）可知
，
∴
，∴
令
，
，当
时，
，
单调递增;
当
时，
,
单调递减;
∵
,
∴当
或
时，
取得最大值70，
∴
取得最大值时，
取4 或5.
2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数
在
上的最小值为0
(1)求实数
的值：
(2)对任意的
，数列
满足
，且
，证明：当
大于1 时，
也大于1：
(3)在（2）的条件下，若
为数列
的前
项和，求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）当
时，
，当
时，
，不成立
当
时，
，
当
时
，
当
时
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
函数
在
处取最小值，此时
，解得
.
（2）
，
设
当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
，即
.
（3）要证
，只需证
又
所以只需证
，即证
，
由于
，只需证
,
，
即证
，由（2）可知，
，
即需证
，
设
，
所以
单调递减，因为
,所以
，
即
，所以
，
即
，累加后得证.
考向六 数列与解析几何的综合
【例6】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知椭圆
经过点
．
(1)求
的离心率．
(2)设
，
分别为
的左、右顶点，
，
为
上异于
，
的两动点，且直线
的斜率恒为直线
的斜率
的5 倍．
①当
的值确定时，证明：直线
过
轴上的定点；
②按下面方法构造数列
：当
时，直线
过的定点为
，且
，证明：
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【解析】（1）因为椭圆C 经过点
，所以
，故
，
所以C 的离心率
；
（2）①由（1）知C 的方程为
，
，
.
由对称性可知直线
的斜率不可能为0，设
，
，设
的方程为
．
由
，可得
，
所以
，即
，
且
，
．所以
则
，
解得
，则
的方程为
，
即直线
过x 轴上的定点
.
②由①可知，
，又
，
，
所以
是首项为2，公比为2 的等比数列，所以
，
.
【一隅三反】
1．（2025·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系xOy 中，过点
的直线与抛物线
交于A,B 两点，若
直线OA,OP,OB 的斜率依此成等比数列，则的斜率为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】A
【解析】设的方程为
，
，
将直线方程代入抛物线方程得
，所以
，
，所以
，
因为
，所以
．所以
．所以
．
故直线的斜率为
．
故选：A.
2．（2025·江西新余·模拟预测）若点
在曲线
上，记数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．9
D．65
【答案】D
【解析】依题意，
，则
，故数列
是公比为4 的等比数列，
则
.故选：D.
3（2025·浙江温州·模拟预测）已知双曲线
过点
，其渐近线的方程为
．
按照如下方式依次构造点
；过右支上点
作斜率为1 的直线与C 的左支交于点
，过
再
作斜率为
的直线与C 的右支交于点
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)用
表示点
的坐标；
(3)求证：数列
是等比数列．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）由题意可得
，解得
，
所以双曲线C 的方程为：
（2）过
作斜率为
的直线方程为
，
联立其与双曲线方程可得
，
设
,
由于
在抛物线上，所以
则
，
所以
，
故
（3）设
，
由于
在双曲线上，所以
，
则
，化简可得
，
，故
，
所以
，
,
所以
，
故
是等比数列.
考向七 插项数列
【例7】（2025·湖南常德·模拟预测）记
为数列
的前
项和，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差
为的等差数列，求数列
的前2025 项和.
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）
为数列
的前
项和，
，
时，
，则
，
时，由
，得
，
两式相减可得
，即
，
数列
是首项为
，公比为
的等比数列，则
；
（2）由题设
，可得
，
记
的前
项和为
，因为
，
为正整数，
则
.
【一隅三反】
1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列
是正项等比数列，满足
，
，且
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，记数列
的前
项和为
，
求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）
，
，又
，
，
则
，
，故
.
（2）因为
，所以
，则
，
，
，
所以
所以
.
2．（2025·广东广州·三模）已知公差不为零的等差数列
和等比数列
满足
，且
成等
比数列，
成等差数列.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)令
，去掉数列
中的第
项
，余下的项顺序不变，构成新数列
，写出数列
的前4
项并求
的前
项和
；
【答案】(1)
；
(2)3，9，81，243；
【解析】（1）设等差数列的公差为
，等比数列的公比为
，由题意得：
，
又
，
，解得
，
所以
，
；
（2）由（1）得
，
去掉第
项后，前4 项依次为3，9，81，243，
，
综上，
.
3（24-25 高三上·天津南开·期末）已知等差数列
的前
项和为
，数列
是等比数列，满足
，
，
，
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)对任意的正整数
，设
，求
；
(3)若对于数列
，在
和
之间插入
个
，组成一个新的数列
，记数列
的前
项和为
，
求
.
【答案】(1)
，
；
(2)
；
(3)2170.
【解析】（1）在等差数列
中，
，而
，解得
，
公差
，则
；
设等比数列
的公比为
，
，由
，得
，
即
，解得
，
，
所以数列
和
的通项公式分别为
，
.
（2）由（1）得，当
为奇数时，
，
则
；
当
为偶数时，
，
，
，
则
，
两式相减得
，因此
，
所以
.
（3）依题意，数列
：
项为
前的总项数为
，
数列
是递增的，当
时，
，
当
时，
，
因此数列
的前
项中，有数列
的前
项，有
个，
所以
.
考向八 数列与集合的综合
【例8】（2025·湖南长沙·三模）（多选）已知等比数列
的前
项和为
，且
为等差数列，
且
，记集合
中元素的个数为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】设等比数列
的公比为
，由
，得
，
两式相减得
，即
，所以
，
又
，解得
，则
，故A 正确；
，故B 不正确；
设等差数列
的公差为
，由
，得
，解得
，
所以
，故C 正确；
由
，得
，则集合
中元素的个数为
，即
，故D 正确．故选：ACD．
【一隅三反】
1．（2025·云南昆明·二模）已知等差数列
，公差为
，
，前
项和为
，记集合
，
若
中有2 个元素，则
，
的关系可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，得
，则
，
由
中有2 个元素，得关于
的方程
有不小于2 的整数解，
而
，则
，方程
中
系数为2，
的系数
是正整数，
选项A 符合要求，选项BCD 不符合要求.
故选：A
2．（2025·上海·模拟预测）已知数列
为等差数列，
是公比为
的等比数列，且
(1)证明:
;
(2)若集合
，求集合
中所有元素的和.
【答案】(1)证明见解析
(2)1023
【解析】（1）设数列
的公差为
，则
，
即
，所以原命题得证.
（2）由（1）得
，
所以
，
因为
，所以
，
对应的
，
所以集合
中所有元素的和为
.
3．（24-25 高三下·河南·阶段练习）在前
项和为
的等比数列
中，
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前2025 项的和
；
(3)从集合
中随机取出四个元素
（其中
），记
，求
的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）设等比数列
的首项为
，公比为
，因为
，
所以
①.
因为
，所以
，化简得
②.
联立①②解得：
.
所以数列
的通项公式为
.
（2）因为
，所以
.
所以前2025 项和为：
.
（3）由题意知，
.
.
要使得
，即
.
要使不等式成立，则
任何一个都不能大于等于11，
所以需要从1-10 中选4 个数才能满足，
此时，共有
种，
所以概率为
.
考向九 数列与取整
【例9-1】（2025 高三·全国·专题练习）已知等差数列
的前
项和为
．若
表示不超
过
的最大整数，则
（ ）
A．101
B．100
C．99
D．98
【答案】A
【解析】因为数列
是等差数列，所以由
可得
解得
，
故
．根据设问所求，可知
，
故当
时，
，当
时，
，所以
．：A.
【例9-2】（2025·广东广州·三模）已知数列
满足
，且对任意的
，都有
.
(1)设
，求数列
的通项公式；
(2)数列
表示不超过
的最大整数，求
的前350 项和
.
【答案】(1)
(2)681
【解析】（1）由
可得
，
又
，所以
，即
是以3 为公差的等差数列，
又
，得
，
，
所以
，解得
，故
，
所以
.
（2）由（1）可得
，
又
所以
，
所以
.
【一隅三反】
1．（2025·河北·模拟预测）已知函数
为函数
的正零点，若
（
表示
不超过
的最大整数），则数列
的前10 项和
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
是关于
的二次函数，其对称轴为
，
因为
，且
在区间
上单调递增，
所以正零点
一定在区间
上，
又因为
，
所以
，所以
，
则
，故
.
故选：A．
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列
的各项均为正数，
，若
表示不超过
的最大整数，则
（ ）
A．615
B．620
C．625
D．630
【答案】C
【解析】因为
，
所以
，可得
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
所以
，因为数列
的各项均为正数，
所以
，因为
，当
时，
，当
时，
，当
时，
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
，
则
.故选：C.
3．（2024·湖南·模拟预测）已知数列
为公差不为0 的等差数列，
，且
成等比数列，设
表
示不超过
的最大整数，如
，记
为数列
的前
项和，则
．
【答案】573
【解析】由数列
是等差数列，设其公差为
，因为
成等比数列，
所以
，即
，解得
或
（舍去），
所以
，则
．
当
时，
，
即
，共有
个
，
因为
，所以
，
令
，则
，
两式相减得
，则
，所以
，故答案为：
573.
考向十 数列新定义
【例10-1】（2025·广西·模拟预测）我们把公差不为0 的等差数列
称为“一阶等差数列”，若数列
是“一阶等差数列”，则称数列
是“二阶等差数列”.例如：1，3，7，13，21，31…，后项与前
项的差值：2，4，6，8，10，…，这些差值构成的数列是公差为2 的等差数列，则称数列1，3，7，13，21，
31….为“二阶等差数列”.
(1)若数列
的通项公式为
，试判断数列
是否为“二阶等差数列”，并说明理由；
(2)若数列
为“二阶等差数列”，且
，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求
；
【答案】(1)是，理由见解析
(2)
【解析】（1）因
，则
，
故
，
是公差为2 的等差数列，则数列
是“二阶等差数列”.
（2）由题意
是“一阶等差数列”，
又
首项为1，公差为3，故
，
则
，
又
满足上式，故
.
则 “二阶等差数列”
的通项公式为
.
【一隅三反】
1．（2025·河南信阳·模拟预测）若数列
满足：当
为奇数时，
；当
为偶数时，
.
则称数列
为和积交替数列.
(1)若数列1，a，b，6 为和积交替数列，分别求实数a，b 的值；
(2)若数列
为和积交替数列，且
，
.
（i）若3 是数列
中的项，求实数的值；
（ii）若
，证明：
.
【答案】(1)
或
(2)（i）
或
；（ii）证明见解析
【解析】（1）由题知
，
，
解得
，或
；
（2）（i）由题知
，则
，
，
由
，则
；
，
由
，则
；
，但
，
，
所以
；而
，…
以此类推，当
，
时，
.
所以若3 是数列
中的项，
则
或
或
，解得
或
.
（ii）易知数列中的项均为正整数，由题知
，且
，
所以
，同取以2 为底的对数，得
，
即
.又
，所以
，
则
，
累乘整理，得
，
所以
时，
.
当
时，
符合上述不等式，
所以
，结论得证.
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）若数列
满足
，则称
为“阶跃数列”.
(1)若
，判断
是否为“阶跃数列”；
(2)在“阶跃数列”
中，若
，求实数
的取值范围；
(3)记“阶跃数列”
的前
项和为
，证明：数列
是“阶跃数列”.
【答案】(1)
为“阶跃数列”；
(2)
.
(3)证明见解析
【解析】（1）令
，则
，
所以
，即
，所以
为“阶跃数列”；
（2）令
，
则
，
又
为“阶跃数列”，所以
，
所以
，即
，
令
，则
，所以
为递减数列，
所以当
时，
取到最大值1，所以
.
（3）因为
为“阶跃数列”，所以
，即
，
所以
所以
.
当
时，
，
整理得
，
所以
，即
；
当
时，
所以对
，即数列
是“阶跃数列”.
3．（2025·河南·模拟预测）若对于任意的
，
为数列
中小于
的项的个数，则称数列
是
的
“生成数列”.
(1)分别写出数列1，0，3，4 及
，
，2，
的“生成数列”的前4 项；
(2)若数列
满足
，且
的“生成数列”为
，求
；
(3)若
为等比数列，且
，公比
，
的“生成数列”为
，
的“生成数列”为
，求
.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【解析】（1）由生成数列的定义可知：数列1，0，3，4 的“生成数列”的前4 项是1，2，2，3；
数列
，
，2，
的“生成数列”的前4 项是0，2，4，4；
（2）
为2，4，6，8，
，
则
中小于1 的项的个数
，小于2 的项的个数
，
小于3 的项的个数
，小于4 的项的个数
，
小于5 的项的个数
，小于6 的项的个数
，
，
在
中，当n 为奇数时，设
，
，
则小于
的偶数有
个，所以
在
中，当n 为偶数时，设
，
，
则小于2k 的偶数有
个，所以
，
所以
；
（3）因为
为等比数列，且
，公比
，所以
下面我们来证明：
因为
表示
中小于k 的项的个数，
表示
中小于
的项的个数，
所以易得
，即
，
设
，由
，
，可得
，
，
又因为
，所以
，所以
