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5.2 等比数列（精讲）
考向一 等比数列基本量的计算
【例1-1】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）等比数列
的前
项和为
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-2】（2025·广东·模拟预测）正项等比数列
及其前项和
满足：
，
，则
的值为
（ ）
A．416
B．468
C．520
D．607
【例1-3】（2025·重庆·三模）已知等比数列
的前n 项和为
，公比为q，且
，
，
，成等差数列，
则公比
（ ）
A．
或1
B．2 或
C．1
D．
【一隅三反】
1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）记等比数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．3
B．2
C．
D．
2．（2025·海南·模拟预测）已知
为各项均为整数的等比数列，且
，记
为
的前
项和，则
（ ）
A．43
B．85
C．110
D．127
3．（2025·辽宁大连·三模）已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．16
B．32
C．27
D．81
考向二 等比数列的证明或判断
【例2-1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列
中，
，
，设
，证明数列
为等比数列，并求
的通项公式；
【例2-2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列
满足
，
，
是数列
的前
项和，记
．
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)求
．
【一隅三反】
1．（2025·新疆喀什·三模）记数列
的前n 项和为
，已知
(1)证明:数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列
中，
，
.
(1)证明：
是等比数列；
(2)求数列
的前
项和.
3．（2025·河北邢台·二模）已知数列
满足
，记
，证明：数列
为
等比数列，并求出数列
的通项公式；
考向三 等比中项
【例3-1】（24-25 高二下·辽宁朝阳·期中）在等比数列
中，
，则
（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【例3-2】（2024·山东淄博·二模）已知等比数列
则
（ ）
A．8
B．±8
C．10
D．±10
【例3-3】（2025 山东）在由正数组成的等比数列
中，若
，
的
为
A．
B．
C．
D．
【例3-4】（2025·湖北黄冈·一模）已知实数
，
，成等比数列，则圆锥曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【一隅三反】
1．（2024·山东·一模）若
是2 和8 的等比中项，则实数
的值是（ ）
A．5
B．
或5
C．4
D．
或4
2．（2025 云南曲靖·阶段练习）在等比数列
中，
是函数
的极值点，则
A．
B．
C．
D．
3．（2024·广东江门·一模）已知各项均为正数的等比数列
中，若
，则
＝（ ）
A．3
B．4
C．8
D．9
4．（2025·河北）若等比数列
的各项均为正数，且
（为自然对数的底数），则
（ ）
A．20
B．30
C．40
D．50
5．（2024·江苏南通·二模）若
成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考向四 等比数列的简单应用
【例4-1】（2025·陕西安康·模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：
今有马行转迟，次日
“
减半疾，七日行七百里
，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一
”
共行走了
里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-2】（2024·四川内江·一模）
年月
日是第
个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生
态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校
个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第
组领取所剩树苗
的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，
此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·宁夏银川·三模）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公
元583 年.在一次数学实践课上某同学将一张腰长为1 的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角
形，则对折6 次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·云南昆明·模拟预测）每年6 月到9 月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的
花期为3 天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000 个花蕾，第一天有10 个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数
量都是前一天的2 倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
3．（23-24 高三下·山东济南·开学考试）已知甲植物生长了一天，长度为
，乙植物生长了一天，长度为
.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的
倍，乙每天的生长速度是前一天的
，则甲的长度第一次超
过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取
）
A．第6 天
B．第7 天
C．第8 天
D．第9 天
考向五 等比数列片段和的性质
【例5-1】（2025·江西赣州·二模）设等比数列
的前n 项和为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．7
C．63
D．7 或63
【例5-2】（2025·江西·二模）记
为等比数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．81
B．71
C．61
D．51
【例5-3】（2025 四川绵阳·阶段练习）已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，
，
成等差数列，
则
的最小值为( )
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·河南·模拟预测）记等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，若
，且
，则
（ ）
A．40
B．-30
C．30
D．-30 或40
3．（2025 河南）已知正项等比数列{an}的前n 项和为Sn，且S8-2S4=5，则a9+a10+a11+a12的最小值为（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25
考向六 等比数列前n 项和的特征
【例6-1】（2025 湖北）在等比数列
中，已知前n 项和
，则a 的值为（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2
【一隅三反】
1．（2025·河北沧州·一模）已知
为等比数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．72
B．
C．144
D．
2．（2024·甘肃金昌·期末）等比数列
的前
项和
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
3．（23-24 江西吉安·期末）设等比数列
的前n 项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．2
考向七 等比数列奇数项（或偶数项）的和
【例7-1】（2025·安徽）已知项数为奇数的等比数列
的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则
这个等比数列的项数为（ ）
A．5
B．7
C．9
D．11
【例7-2】（2025 安徽）已知一个项数为偶数的等比数列
，所有项之和为所有偶数项之和的
倍，前项
之积为
，则
（ ）
A． B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025 河南·阶段练习）已知等比数列
共有32 项，其公比
，且奇数项之和比偶数项之和少60，则
数列
的所有项之和是（ ）
A．30
B．60
C．90
D．120
2．（2024 浙江）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为
，偶数项之和为
，则这个
数列的项数为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 江西抚州）等比数列
共有
项，其中
，偶数项和为84，奇数项和为170，则
（ ）
A．3
B．4
C．7
D．9
考向八 等比数列前n 项和的最值
【例8】（2025 广东）设等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项之积为
，且满足
，
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
是数列
中的最大值
D．
【一隅三反】
1．（2025 重庆）（多选）设等比数列
的公比为
，其前n 项和为
，前n 项积为
，且满足条件
，
，
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
是数列
中的最大项
D．
2．（23-24 高三上·江西·期中）（多选）在等比数列
中，
，
，
，若
为
的前
项和，
为
的前
项积，则（ ）
A．
为单调递增数列
B．
C．
为
的最大项
D．
无最大项
3．（2025 辽宁）（多选）等比数列
的公比为
，前
项积
，若
，
，
，则
A．
B．
C．
是
的最大值
D．使
的
的最大值是4040
