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6.1 空间几何体的体积与表面积（精练题组版）
题组一 直观图
1．（24-25 辽宁）一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△O′A′B′是等腰直角三角形且
，
其中斜边
，则这个平面图形的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由图可知：
，则
，原图形如下图：
所以
，则面积为
故选：B
2．（24-25·辽宁）用斜二测画法画出
的直观图
如图所示，角
的对边分别为
，且
，则
中，
边上的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为
，
由正弦定理可得：
，所以代入
可得：
，化简可得：
，则
，因为
，
所以
，已知
，即
，那么
中
边上的高
.
根据斜二测画法的性质，在斜二测画法中，平行于
轴的线段长度变为原来的一半，
那么原三角形
中
边上的高
.将
代入可得
.
所以
中
边上的高为
.故选：C.
3．（24-25 福建莆田）如图所示，梯形
是平面图形
用斜二测画法得到的直观图，
，
，则平面图形
中对角线
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由直观图知原几何图形是直角梯形
，如图，由斜二测画法可知
，
，
所以
.故选：A.
4．（24-25 广西防城港·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，
轴，
轴，
，则
的原图形的面积为（ ）
A．5
B．10
C．
D．
【答案】B
【解析】法一：如图所示，根据斜二测画法可知，
轴，且
，
原图形为
，其中
，且
，
则
的面积为
．
法二：直观图面积为
，
原图形的面积等于直观图面积的
倍，
所以原图形的面积为
．
故选：B
题组二 空间几何体的体积
1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）半径为1 的球O 内切于正三棱柱
，则该正三棱柱的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为球与上下底面相切，所以三棱柱的高
，
由上往下看，球的大圆面是正三角形的内切圆，
如图，等边三角形
的内切圆为圆
，设
中点为H，则
，
，即
，
.
故选：C．
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知高为
的圆锥的底面半径是圆柱底面半径的两倍，圆柱的高为圆锥高
的两倍，且圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设圆柱底面半径为，则圆锥底面半径为
.
因为圆锥的高为
，所以圆柱的高为
.因为圆锥和圆柱的侧面积相等，所以
.
解得
.所以圆锥的体积为
.故选：C.
3．（2025·山东烟台·三模）如图，在六面体
中，
平面
，四边形
与
为两个全等的矩形，且
，
，若
，
，则该六面体的
体积为（ ）．
A．14
B．
C．
D．24
【答案】B
【解析】在长方体
中，
，
，
.
根据题意可知：六面体
可以看成长方体
的一部分.
因为长方体
的体积
；
直三棱柱
的体积
；
直三棱柱
的体积
；
三棱锥
的体积
，
所以六面体
的体积
.
故选：B.
4．（2025·重庆·模拟预测）高为2 的圆锥的侧面展开图是圆心角为
的扇形，则此圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，高为，体积为
，侧面展开图扇形的圆心角为
，
则根据题意可知
，
，
所以
，即
，解得
，
，
所以圆锥的体积为
.故选：B.
5．（2025·山东德州·三模）已知正三棱锥底面边长为2，且其侧面积是底面积的
倍，则此正三棱锥的体积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，在正三棱锥
中，设顶点
在底面的射影点为
，则
为正
的中心，
延长
交
于点
，则
为
的中点，连接
，
因为正
的边长为
，
为
的中点，则
，
因为
，则
，则
，
，
由题意可知，正三棱锥的侧面积为
，则
，
即
，即
，故
，
因为
为正
的中心，则
，
因为
平面
，
平面
，则
，所以
，
因此，该三棱锥的体积为
.故选：D.
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知一个正四棱锥的底面边长为4，侧面积为
，用一个平行于底面的平面
截去一个底面边长为2 的正四棱锥后，得到一个正四棱台，则该正四棱台的体积为（ ）
A．
B．
C．28
D．
【答案】D
【解析】如图，设正四棱锥底面中心为
，则原正四棱锥的高为
，又取
中点为E，
则侧面等腰三角形的高为
，则正四棱锥侧面积为
.
则
．因为正四棱锥的底边长为4，截面正方形的边长为2，则截面经过原正四
棱锥各侧棱的中点，所以正四棱台的高为
，则棱台体积
．
故选：D
7．（25-26 高三上·江苏·开学考试）在正三棱台
中，
，侧棱与底面所成的角为
，
则此正三棱台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于正三角形，其面积公式
（
为边长）
已知正三棱台
中，
，则上底面
，下底面
设正三棱台上下底面中心分别为
,连接
，则
为正三棱台的高
因为正三角形中心到顶点的距离是边长的
倍所以
，
则
，且
已知侧棱与底面所成角为
，在直角梯形
中，
即
，解得
，
根据棱台体积公式
（为高，为下底面积，
为上底面积）
将
代入可得
故选：
8．（25-26 高三上·广东惠州·阶段练习）正四棱台的上､下底面棱长分别是1 和5，且棱台高为
，则该棱台
的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】正四棱台的上，下底面棱长分别是1 和5，则上底面积
，下底面积
，棱台的高
，
所以
.故选：B.
9．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）在四棱台
中，下底面
为正方形，
，
，则该四棱台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】延长四棱台侧棱交于一点P，得四棱锥
，且
，
为等边三角形，
．取
的中点E，
的中点F，
，
过点P 作
于点O，因为
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
，
又
，
平面
，
所以
平面
，即
为该四棱锥的高，
，
在
中，
，
原四棱台的高为
，
.
故选：D
10．（2025·湖南岳阳·三模）已知
，
，
，
是球
的球面上四点，
，
，
，
．记球
的体积为
，四面体
的体积为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
分别为
的中点，连接
，
因为
，
，所以
分别以
为斜边的直角三角形，
即分别过
作平面
和平面
的垂线，交点
即为球心，
分别为
的中点，
，
又
，
，
，
，
，
，
又平面
平面
，所以二面角
即是
，同时也是
，
，
，
即
，解得
，
所以
，
即直线
与平面
的夹角
，
设点
到平面
的距离为，则
，解得
，
所以
，
在
中，
，
所以
为等边三角形，
，
（为
的外接圆半径），
，
四边形
有外接圆，且外接圆半径为
，
则
，四面体
外接球半径
，
，故
，故选：A.
题组三 空间几何体的表面积
1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知一个圆台的上下底面半径分别为3 和4，母线长为
，则该圆台的侧面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】圆台的侧面积为
.故选：B．
2．（2025·河北石家庄·模拟预测）已知正三棱台的下底面边长为
，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为
，
则该三棱台的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】将正棱台
补全为正三棱锥
，
为底面中心，
，
，则
，
棱台的高
，棱台上底面
是正三棱锥
的中截面，
，等腰
高为
，
面积为
，等腰梯形
的面积为
，
所以该三棱台的侧面积为
.故选：D
3．（2025·辽宁·一模）已知一个圆锥的轴截面是边长为2 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知，圆锥的母线长和底面圆的直径均为
，所以圆锥的侧面积为
.故选：A.
4．（24-25 高三下·广东·开学考试）在正四棱台
中，
，侧棱与底面所成角的余
弦值为
，则该正四棱台的表面积是（ ）
A．36
B．40
C．52
D．56
【答案】D
【解析】过点
作
，垂足为H，则
.
因为侧棱与底面所成角的余弦值为
，所以
，所以
，
则梯形
的高
，
故该正四棱台的表面积是
.
故选： D.
5．（2025·湖南益阳·三模）已知圆锥的母线长为
，其外接球体积为
，则该圆锥的表面积为（ ）
A．3π
B．6π
C．9π
D．12π
【答案】C
【解析】
圆锥及其外接球的轴截面如图，
该其外接球的半径为
，则外接球体积为
，则
，即
，
设圆锥的高为
，圆锥的底面圆半径为
，则
，
由
，解得
，则此圆锥的表面积为
.故选：C
6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正四棱台
的体积为
，
，
，则该四棱
台的表面积为（ ）
A．18
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设正四棱台的高为，则
，解得
，
设正四棱台侧面等腰梯形的高为
，则
，
故该四棱台的表面积为
.
故选：B.
7.侧面均为等腰梯形，且侧面与底面
的夹角均为
，则该棱台的表面积为（ ）
A．18
B．
C．
D．34
【答案】B
【解析】由题意在棱台
中，底面
和
为正方形，各侧棱均相等，
过
作
底面
，交底面
于
，过
作
交
于
，连接
，
因为
底面
，所以
，
又因为
，
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
又因为平面
平面
，
所以
即为侧面与底面
夹角的平面角，即
，
由题意可知
，所以
，
所以该棱台的表面积
.
故选：B
8．（2025·陕西西安·模拟预测）已知圆锥的体积为
，其侧面积与底面积的比为
，则该圆锥的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设圆锥底面圆的半径为，母线长为，高为，
因为其侧面积与底面积的比为
，
，即
，
由圆锥的基础知识可知：
，所以
，
又因为圆锥的体积为
，所以
，所以
，
所以圆锥的表面积为
，
故选：D
9．（2025·天津和平·三模）已知底面半径为
的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面
半径为
，则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知圆锥的轴截面是边长为
的正三角形，
则圆锥的高
，如图，
由△
△
，可得
，则
，
，
圆柱侧面积
，
圆锥侧面积
，则
．
故选：C．
10．（2025·河北沧州·模拟预测）在正四棱台
中，
，侧棱和底面所成角为
，则该正四棱台的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，连接
，则
，过
作
于
，
则
，由正四棱台的性质可得
平面
，
故
即侧棱和底面所成角，
所以
，在
中，可得
，
过
作
于
，连接
，因为
平面
，
所以
，而
平面
，
故
平面
，而
平面
，故
，
而
，则
，
所以该正四棱台的侧面积为
，
故选：B．
题组四 组合体的体积
1．（2025·湖南永州·模拟预测）将上下底分别为
、
，高为的直角梯形绕其最短的底边旋转一周得到的几
何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】将上、下底分别为
、
，高为的直角梯形绕其最短的底（即上底）旋转一周，
得到的几何体是在一个底面半径为，高为
的圆柱中挖去
个底面半径为，高为的圆锥所形成的组合体．
已知圆柱底面半径
，高
，则圆柱体积
．
已知圆锥底面半径
，高
，则圆锥体积
．
所以，该组合体的体积
．故选：D.
2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图，在梯形
中，
，
，
，
，
为
线段
的中点，先将梯形挖去一个以
为直径的半圆，再将所得平面图形以线段
的垂直平分线为旋转轴
旋转一周，则所得几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】连接
，由题意知
.
几何体为一个圆台中挖去半球所形成的几何体，其中圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，半球的半径为
1，
，
，
故该几何体的体积为
.
故选：A.
3．（2024·北京·模拟预测）
中，
，则将
以
为轴旋转一周所形成的
几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
过点
作
于点
，
则将
以
为轴旋转一周所形成的几何体是都以
为底面圆半径，分别以
为高的两个圆锥的组
合体，因为
，所以
，从而
，
由等面积法得
，即
，解得
，从而所求体积为
.
故选：D.
4．（2024·四川成都·模拟预测）我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面
内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点
且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为
，其中
分别是上下底面的面积，
､
是中截面的面积，为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形
且对应边平行（如图），下底面长20 米，宽10 米，堆高1 米，上底的长宽比下底的长宽各少
､
､
2 米.现在要彻
底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5 吨的卡车装运，则至少需要运（ ）（注：1 立方米该建筑材料约
重1.5 吨）
A．51 车
B．52 车
C．54 车
D．56 车
【答案】B
【解析】由条件可知：上底长为
米，宽为米；中截面长
米，宽米；
则上底面积
平方米，中截面积
平方米，
下底面积
平方米，
所以该建筑材料的体积为
(立方米)，
所以建筑材料重约
（吨），
需要的卡车次为
，所以至少需要运
车.故选：B
题组五 组合体的表面积
1．（2025 高三江苏徐州）如图1 是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2 是该屋顶的结构示
意图，其中四边形
和四边形
是两个全等的等腰梯形，
和
是两个全等的
正三角形．已知该多面体的棱
与平面
成的角
，
，则该屋顶的侧面积为（ ）
A．80
B．
C．160
D．
【答案】D
【解析】设
分别是
的中点，连接
，根据对称性可知，
在平面
的射影在
上，设其为
，连接
，
则
平面
，而
平面
，所以
，
所以
是
与平面
成的角，即
，
所以
，
过
作
，垂足为
，连接
，
由于
平面
，所以
，
由于
平面
，所以
平面
，
由于
平面
，所以
，
，所以
，
所以
，所以
，
所以该屋顶的侧面积为：
.
故选：D
2．（2024·辽宁大连·一模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图
所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径
，圆柱体部分的高
，圆锥体部分的高
，则这个陀螺的表面积(单位：
)是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知：圆锥的母线长为
，
所以这个陀螺的表面积是
.
故选：C.
3．（23-24 天津·期中）冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”.通常以木镟之，大小不一，
一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知
分别是上、下底面圆的
圆心，
，底面圆的半径为
，则该陀螺的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由底面圆的半径为
，得底面圆的面积为
，
又知
，则
得圆柱的高
等于母线长，且圆柱的母线长为
，
已知圆锥的高
为
，圆的半径为
，则圆锥的母线长为：
，
则陀螺的表面积为：
；
故选：B.
4．（2024·陕西安康·模拟预测）随着古代瓷器工艺的高速发展，在著名的宋代五大名窑之后，又增加了三种瓷
器，与五大名窑并称为中国八大名瓷，其中最受欢迎的是景德镇窑．如图，景德镇产的青花玲珑瓷(无盖)的形
状可视为一个球被两个平行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可视为球冠(截得的圆面是
底，垂直于圆面的直径被截得的部分是高，其面积公式为
，其中
为球的半径，为球冠的高)．已知
瓷器的高为
，在高为
处有最大直径(外径)为
，则该瓷器的外表面积约为(
取3.14) （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知：球的半径为
，上球冠的高
，下球冠的高
，
设下底面圆的半径为，则
，
所以该瓷器的外表面积为
.
故选：C.
5．（2025·黑龙江）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号
（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022 年5 月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功
完成10 次升空大气科学观测，最高升空至9050 米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的
世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55 米，高19 米，若将它近似看作一个半球、一个
圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2 所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积约为（ ）
（参考数据：
，
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由图2 得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为
，
而圆台一个底面的半径为
，圆台的母线长为
，则
，
，
，
，
所以
．
故选：A．
6．（2025·四川）一个旋转体的正视图如图所示，上面部分是一个直径为2 的半圆，下面部分是一个下底边长
为4，上底边长和高均为2 的等腰梯形，则该旋转体的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题知，该旋转体的下面部分是下底面半径为2，上底面半径为1，高为2 的圆台，上面部分是半径
为1 的半球，故该旋转体的表面积为
.故选：B．
7．（2025 湖北）如图为一个火箭的整流罩的简单模型的轴截面，整流罩是空心的，无下底面，由两个部分组
成，上部分近似为圆锥，下部分为圆柱，则该整流罩的外表面的面积约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意，上部分圆锥的母线长为
，
所以圆锥的侧面积为
，
下部分圆柱的侧面积为
，
所以该整流罩的外表面的面积约为
．
故选：B.
题组六 体积表面积的最值
1．（2025·山东·模拟预测）已知圆柱的侧面展开图的周长为定值
，则该圆柱的侧面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为圆柱的侧面展开图为矩形，设矩形的长宽分别为
，
则
，圆柱的侧面积为：
.
由
（当且仅当
时取“
”）.
故选：D
2．（2025·安徽蚌埠·三模）三棱锥
中，
，
，
，
，则三棱锥
的体积的最大值为 ．
【答案】
【解析】
如图所示，因为
，
，
由余弦定理得：
，
所以
，
外接圆的圆心为
，
则半径
，
当点
在三棱锥
的外接球的顶端时，且
平面
，
点
到平面
的距离
最大，又
，所以
，
，
所以三棱锥
的体积的最大值为
．
故答案为：2.
3．（2025·河南许昌·模拟预测）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，若
，则三棱锥
体积的最大值为 .
【答案】
【解析】过点
作
于F，连接BF.
由题意知，
，
，且
，
又
，PF，
平面PBF，所以
平面PBF.
所以
，所以当
最大时，
取得最大值.
过F 作
于E.因为
，所以只需EF 最大.
在
中，
，
，所以P 在以A，C 为焦点的椭圆上，如图所示：
因为
，要使
最大，只需
为短轴顶点，即
为短轴的一半.
此时
，
，所以
.所以
，
所以
，所以
，
即三棱锥
体积的最大值为
.
故答案为：
.
4．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知在四棱锥
中，面
底面
，且
，
，则四棱锥
体积的最大值为 ．
【答案】
【解析】如图，设
中点为
，连接
，
，
是
的中点，
，则
，
又面
底面
，面
底面
，所以
底面
，
设四边形
面积为，
，
则
，
，当
时取等，
令
，
，
令
，解得
或
（舍），即
，
所以当
时，
，
，
单调递增，
当
时，
，
，
单调递减，
即
，
底面
，
，
所以四棱锥
体积的最大值为
.
5．（2025·河北·模拟预测）在三棱锥
中，
，点P 在平面ABC 上的投影O 是
的垂心，
平面PBC，若
，则三棱锥
的体积的最大值为 ．
【答案】
【解析】设BC 的中点为D，
因为
，所以
，
因为O 是
的垂心，
所以
，
，
所以
，
所以
，
所以
，即
，
所以
，
因为
平面PBC，
平面PBC，所以
，
由题意知，
平面ABC，
因为
平面ABC，
所以
，
在Rt
中，由射影定理得，
，
所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以三棱锥
体积的最大值为
．
故答案为：
．
6．（2025·江西·模拟预测）已知点A，B，C，D 都在半径为3 的球面上，且
是边长为
的正三角形，
则三棱锥
体积的最大值为 .
【答案】
【解析】设
外接圆的圆心为
，半径为.
由正弦定理，在正
中，
，
，则
.
因为
，所以
，即
，解得
.
已知球的半径
，球心
到平面
的距离
，
外接圆的半径，根据勾股定理
，可得
.
当点
，球心
，
共线且
与
在平面
同侧时，点
到平面
的距离最大，最大距离
.
根据正三角形面积公式，可得
.
根据三棱锥体积公式，可得
.
故答案为：
.
7．（25-26 高三上·广东·阶段练习）在
中，
，设点
为线段
上一点（不含
端点），将
沿
折起，得到四面体
，则此四面体体积的最大值为 .
【答案】
/
【解析】已知
，
因为
，根据勾股定理逆定理可知
，
如图，作
，垂足分别为
，
当平面
平面
时四面体体积最大，此时
，
为四面体
的高，
设
（
在线段
上，
），因为
，
所以
，则
，即
，所以
，
而
，
易得
，则
，则
，
又
的面积
，
所以四面体的体积为
，
记函数
，
，
则
，
所以
时，
单调递减，
时，
单调递增，
，所以
.
故答案为：
.
8．（2025 高三·全国·专题练习）某圆锥的底面半径为1，高为
，若该圆锥内部有一个圆柱，且其一个底面
落在圆锥的底面上，则当圆柱的体积最大时，圆柱的高为 ．
【答案】
/
【解析】如图，设圆锥底面半径为
，高为
，圆锥内切圆柱的底面半径为
，高为
，则
，
由三角形相似得
，则
，
所以圆柱体积为
．
设
，则
．
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减．
所以当
时，
取得最大值，
即当
时，圆柱体积最大，此时圆柱的高
．
故答案为：
.
9．（24-25 高二下·内蒙古·期末）已知一个圆锥的母线长为6，则当该圆锥的体积取最大值时，该圆锥的侧面
积为 ．
【答案】
【解析】设该圆锥的底面半径为，高为，则
，则
，
所以该圆锥的体积
，则
，
当
时，
，当
时，
，所以
，
此时
，该圆锥的侧面积为
．
故答案为：
题组七 实际生活中的体积与表面积
1．（2025·湖北武汉·三模）如图，如图1 的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2 的方斗杯，其形状是一
个上大下小的正四棱台，
，
，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的
时，水的体
积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（ ）
A．112
B．
C．
D．496
【答案】B
【解析】设水面与棱台的四条侧棱分别相交于
，
过
作
交
于点E，交
于点
，如下图所示：
易知四边形
为等腰梯形，则四边形
为平行四边形，
因为水面的高度是方斗杯高度的
，则
，因此
，
设棱台
的高为，设体积为V，
则棱台
的高为
，设体积为
，
则
所以
，由题意，
，
则该方斗杯可盛水的总体积为
故选：B.
2．（25-26 河北）我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳
突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密．碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文
字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该元青花团菊花纹小盏口径8.4 厘米，底径2.8 厘米，
高4 厘米，它的形状可近似看作一个圆台，则该圆台的体积约为（ ）（单位：立方厘米）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设该圆台的上底面、下底面的半径分别为
，，由题意
，
．
则该圆台的体积为
立方厘米．
故选：D．
3．（2025 高三·全国·专题练习）最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》．该书收录了
有关降水量计算的四个例子，其中一个是天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺
二寸，盆深一尺八寸（注：1 尺
寸），当盆中积水深九寸时，平地的降雨量（降雨量是指在一定时间内降
落在地面上的某一点或某一单位面上的水层深度）是（ ）
A．9 寸
B．6 寸
C．4 寸
D．3 寸
【答案】D
【解析】由题意知天池盆上底面半径为
14 寸，下底面半径为
6 寸，高为
18 寸，
由积水深9 寸知水面半径为
（寸），如图，
则盆中水体积为
（立方寸）
所以降雨量为
（寸），
故选：D．
4．（2025 高三·全国·专题练习）中国的瓷器享誉世界，其中六棱形和八棱形的瓷器非常常见．现有一个有盖
正六棱形瓷器，其外部形状可近似抽象为如图所示的正六棱柱
．其中
，厚
度可以忽略．现欲利用其储存一定量的米粒，要求为便于取用，米堆顶部呈现圆锥的形状，底部密集堆放．顶
部圆锥要求尽可能高，圆锥底面平行于瓷器底面，与下方米堆衔接处的米粒可忽略，但米堆高度不得超过容器
的最大高度．米粒空间利用率按
计算，米堆顶部圆锥的任意一条母线与底面成
角，则该瓷器可存储的米
粒的最大体积为（为计算方便，
，以平衡误差）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】符合题意的米堆储存方案如图所示．
由题干所述顶部圆锥的几何性质，知顶部圆锥的高度与圆锥底面半径相等．
又由于圆锥尽可能高，故半径应取到可能的最大值，即使得底面圆与内壁相切，
此时圆锥高度与底面圆半径符合
，
故底部米堆的高度
．
计算得米堆的体积
，
从而米粒的体积
．
故选：B．
5．（24-25 山东日照·期末）降水量是指降落在水平面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中把24 小
时内的降水量叫做日降水量.某学生用上口直径为20cm，底面直径为12cm，母线长为
的圆台型水桶放
置在水平地面上来测量日降水量.某次降雨过程中用此桶接了24 小时的雨水，雨水的高度是桶深的
，则本次
降雨的日降水量是（ ）
A．29.6mm
B．46.3mm
C．63.5mm
D．82.2mm
【答案】A
【解析】如图所示，
cm，
cm，
，
过点
作
⊥
于点
，则
，
cm，
cm，
桶的深度为
cm，
故雨水的高度为
cm，由三角形相似知，
cm，
故
cm，
雨水的体积
，
圆台型水桶的上口直径为20cm，面积为
，
故本次降雨的日降水量是
cm，故为29.6mm.
故选：A
6．（2025·浙江宁波·三模）一个长方体墨水瓶的长、宽、高分别为10cm、8cm、15cm，内部装有400 毫升墨
水.将墨水瓶倾斜，使其一条长边（10cm）置于水平地面，高边（15cm）所在直线与水平地面成45 度角，则此
时墨水与墨水瓶接触部分的面积为（ ）
A．180
B．220
C．260
D．300
【答案】C
【解析】如下图，若截面为等腰直角三角形，腰长为
，
则
，可得
，不符，
如下图，若截面为直角梯形，上底长为
，
则
，可得
，满足，
所以此时墨水与墨水瓶接触部分的面积
.
故选：C
7．（2025·河北秦皇岛·二模）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇
扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为
，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，圆台的侧面积为
，母线长
圆台的高
则圆台上下底面面积为
由圆台的体积计算公式可得：
故选：C.
8．（2025·安徽滁州·一模）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有
一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为
，上板长为
若把该扇面围成一个圆台，则圆台的
高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设小扇形的半径为xcm，则大扇形的半径为
，
设圆台的上下底面半径分别为
，
则
，
所以
，
所以
，
所以圆台的高为
故选：
9．（2025·广东广州·模拟预测）某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径
之比为
，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100 个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米
需要100 克涂料，则共需涂料（ ）
A．
克
B．
克
C．
克
D．
克
【答案】C
【解析】作圆台的轴截面如图：
梯形
为等腰梯形，取上、下底面的中心分别为
、
，再取
中点
，连接
，
则
中，因为
，所以
，
，所以
.
所以
.
所以灯罩的侧面积为：
.
所以100 个灯罩的外表面面积为：
.
又每平方米需要100 克涂料，所以共需涂料
克.
故选：C
10．（24-25 高三下·浙江·开学考试）一个底面边长为
的正四棱柱形状的容器内装有一些水（底面放置于
桌面上），现将一个底面半径为
的铁制实心圆锥放入该容器内，圆锥完全沉入水中且水未溢出，并使得水
面上升了
.若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设圆锥的高为，
所以圆锥的体积
，
由题意正四棱柱中水上升的体积即为圆锥的体积，
所以
，所以
，
则圆锥的母线长为
，
故圆锥的侧面积为
.
故选：A
11．（2025·湖南湘潭·一模）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，
，若底面
水平放置时，水面恰好
过侧棱
的中点，当侧面
水平放置时，水面恰好与
交于点D，则
等于（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】D
【解析】若底面
水平放置时，水面恰好过侧棱
的中点，
设棱柱
的体积为V，则水的体积为
；
当侧面
水平放置时，三棱柱有水部分的体积为
，
则无水部分为水平放置的小三棱柱
（一侧面为水面），其体积为
，
由于三棱柱
和三棱柱
的高相同，
故
，由于
，则
∽
，
故
，而
，故
，故
，
故选：D
题组八 展开图距离最值
1．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
是直线
上一动点，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
在平面
内，
在平面
内，
将两个平面铺平后转化成平面上的问题解决，如图：
则
的最小值就是平面四边形
内
的长，
在直三棱柱
中，
平面
，
平面
，
，
，
，即
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
由余弦定理可得
.
故选：A.
2．（2025·山东·模拟预测）已知正方体
的棱长为
，
是棱
的中点，点
，
分别在平
面
与平面
内、则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】C
【解析】如图所示，设点
关于平面
的对称点为
，延长
交平面
于点
，
记点
，
到平面
的距离分别为
，
，易知
，
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，
令
得
，故
，
故
，
故
，则
，所以
.
故选：C.
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）在长方体
中，
，且点
满足
，点
分别在直线
和平面
上，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题设，易知
平面
，
平面
，所以平面
平面
，
将平面
翻折到与平面
为同一个平面，如下示意图，显然
在平面
上的投影为
，
当
交
于
时，最小
，
而
，又
且
，
所以
，即
，故
，
所以
的最小值为
.
故选：B
4．（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥
，底面
是边长为2 的正三角形，且
平面
为
的中点，
为平面
内一动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．3
D．2
【答案】A
【解析】
平面
平面
平面
平面
.
如图，设点
关于平面
对称的点为
，连接
，
，
则四边形
为平行四边形且
.
连接
（当且仅当
三点共线时取等号）.
取
的中点
，连接
，
则
平面
平面
.
在
中，由余弦定理，得
，
，
的最小值为
.
故选：A.
5．（2025·江苏泰州·二模）在三棱锥
中，底面
为斜边
的等腰直角三角形，顶点S 在
底面
上的射影为
的中点．若
，
为线段
上的一个动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，在三棱锥
中，设点
为线段
的中点，连接
.
由题易知：
，
，
平面
.
在
中，
，故
，
所以
是边长为2 的等边三角形.
将
展开到与
共面，如图所示，
则
，当且仅当
三点共线时等号成立，即
取得最小值.
在
中，
，
，
由余弦定理可得：
，
所以
，
即
的最小值为
.
故选：A.
6．（23-24 山西运城·阶段练习）已知三棱锥
的底面ABC 是边长为1 的等边三角形，
平面ABC
且
，一只蚂蚁从
的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】将底面
旋转，以
为轴，旋转至平面
与平面
共面，如图，
设
的中心为
，此时
为最短距离，设
到直线
的距离为
，
则
，所以
.
故选：B
7．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1 的立方体
中，若点
分别在线段
上运
动，点
为
中点，点
为底面
上的动点，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】把平面
沿直线
旋转到平面
内（如图44）：
则点
到底面对角线
的距离为所求的最小值，
从而有
，
设点
到底面对角线的距离为
，
过点
作
于点
，作
交
于点
，
因为
为
中点，所以
为
中点，
由题意设
，所以
，
所以
，
而
，
故所求为
.
故答案为：
.
8．（23-24 四川内江·期中）如图，在三棱锥
中，
，
，过点
作截面
，则
周长的最小值为 .
【答案】
【解析】如图，
沿着侧棱
把正三棱锥
展开在同一个平面内，原来的点
被分到两处
，
则线段
的长度即为
周长的最小值.
在
中，
，
，
故
，所以
.
故答案为：
.
9．（2025·重庆·模拟预测）已知圆锥的高为
，底面直径
的长为
，那么从点A 出发沿该圆锥的表
面到点B 的最短路径长为
．
【答案】
【解析】由题设，圆锥底面周长为
，母线长为
，故侧面展开图圆心角为
，
将圆锥沿过
点的母线展开，得到如下图示半径为6
的半圆，且
为圆弧的中点，
从
到
有两种方式，一种方式从圆锥体侧面
，一种方式从圆锥的底面
，
若沿侧面
，如上图，从点A 出发到点B 的最短路径长
；
若沿底面
，此时最短路径长为直径长度
；
综上，从点A 出发沿该圆锥的表面到点B 的最短路径长
.
故答案为：
10．（2025 北京·阶段练习）已知圆锥底面半径为
，母线长为2，点A 为底面圆周上一点，若一只蚂蚁从点A
出发沿着圆锥的侧面爬行一周回到A 点，则蚂蚁爬行的最短距离为 ．
【答案】
【解析】由题意，圆锥底面半径为
，母线长为2，
因为圆锥底面半径为
，可得底面周长为
，
可得圆锥的侧面展开图为圆心角为90 度的扇形，如图所示，
则三角形
为边长为2 的等腰直角三角形，所以最短距离为
.
故答案为：
题组九 截面
1．（23-24 贵州）如图，在正方体
中，点
分别是
的中点，过点
的平面截
该正方体所得的截面是（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【答案】C
【解析】
延长
与直线
相交于
连接
与
分别交于点
连接
，则五边形
即为截面，
故选：C.
2．（2024·浙江温州·模拟预测）边长为2 的立方体被一个平面所截，截得的截面图形面积最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当截面过立方体中心且过两条侧棱时，其截面面积最大，
如图所示矩形
符合要求，此时截面面积为
.故选：A.
3．（2025·江苏南通·模拟预测）过正方体
的中心作与
垂直的平面
，则平面
截正方体
所得的截面是（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【答案】D
【解析】
在正方体中，
平面
，
平面
，所以
，
又在正方形
中，
，
，所以
平面
，
平面
，所以
，
由于
分别为
的中点，所以
，
故
，同理
，
，所以
平面
，
且平面
过正方体
的中心
，
故选：D
4．（22-23 高三上·安徽阜阳·期末）已知正方体
的棱长为2，M、N 分别为
、
的中点，
过
、
的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图所示，最大面积的截面四边形为等腰梯形
，
其中
，高为
，
故面积为
.
故选:D．
5．（2025 云南昭通·阶段练习）如图，已知正方体
的棱长为2，点
是线段
的中点，平面
经过点
，则正方体
被平面
截得的截面面积为（ ）
A．2
B．4
C．4
D．
【答案】B
【解析】根据题意，作出正方体被平面
所截得到的截面为四边形
，如下所示：
根据正方体的几何特点，显然四边形
为矩形，
且
，故其面积
.
故选：
.
6．（2026·云南）已知正方体
的棱长为3，
分别为棱
与
上的点，其中
，平面
经过点
，则
截此正方体所得的截面为（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【答案】C
【解析】如图所示：
取
、
的中点H、
，且使BM=1，
因为
，
，
，
所以
，
，
所以
在平面
上，
所以截面是五边形，
故选：C
7．（24-25 高一下·云南昆明·期中）在正方体
中，
为
的中点，
为
的中点，
为线段
上一动
点（不含
）．过
与正方体的截面记为
，下列说法中正确的是（ ）
A．当
时，截面
为五边形
B．当
时，截面
只能是六边形
C．当
时，截面
的面积最大
D．当
时，截面
只能是五边形
【答案】D
【解析】对于A，当
时，分别取
的中点为
，如下图所示：
由正方体性质可得
，即可得
为正六边形，
因此当
时，截面
为六边形，即A 错误；
对于B，如下图：
当
时，不妨取
与
重合，可知截面
只能是四边形
，可知B 错误；
对于C，延长
交
于
，交
于
，连接
交
于点
，连接
交
于
，如下图所示：
不妨取正方体的棱长为3，易知
，
可知
为等腰三角形，其底边上的高为
，
因此其面积为
；
又
，可知四变形
为等腰梯形；
其高为
，因此其面积为
；
此时五边形面积为
当当
时，截面为边长是
的正六边形，其面积为
；
显然当
时，截面
的面积不是最大的，即C 错误；
对于D，根据C 选项中的分析可知，当
时，截面
为在五边形
的基础上绕着
向下摆动，
此时截面始终于
有交点，此时截面
只能是五边形，即D 正确.
故选：D
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）在长方体
中，
，点
是线段
上靠近
的四等分点，点
是线段
的中点，则平面
截该长方体所得的截面图形为（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【答案】C
【解析】延长
交
的延长线于点
，连接
交
于点
，连接
，
延长
交
的延长线于点
，连接
交
于点
，连接
，
则五边形
为平面
截该长方体所得的截面图形，
不妨设
，又点
是线段
上靠近
的四等分点，点
是线段
的中点，
所以
，
，
，所以
，又
，
所以
，又
，所以
，
又
，即
，解得
，
又
，即
，解得
，符合题意，
即五边形
为平面
截该长方体所得的截面图形.
故选：C
9．（2025 高三·全国·专题练习）如图，正方体
的棱长为4，
，
分别为棱
，
的中
点，过
，
，
作正方体的截面，则截面多边形的周长是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】取
的中点为T，取
的中点为S，取
上靠近D 的四等分点为M，
取
上靠近
的四等分点为G，取
上靠近
的三等分点为N，
连接
.
如图
由正方体性质可知
，在
中，
分别为
的中点，
所以
，所以
，故
四点共面，
在正方形
中，
且
，所以
为平行四边形，
所以
，由正方体性质可知
，
在
中，
分别为
的三等分点，所以
，所以
，
故
四点共面，
所以五边形
为所求的截面多边形.
易知
，
，
，
，
，
故
，
，
，
，
.
所以截面五边形
的周长为
.
故选：D.
10．（2025 高三·全国·专题练习）已知正方体
的棱长为2，平面
过直线
，且与平面ABCD
所成的角为
，则当
分别取得最大值、最小值时，
截正方体
的截面面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设平面
平面
，易知
平面ABCD，所以
，
过点C 作
于K，连接
，又
平面
，可得
，
则
即为平面
与平面ABCD 所成的角
，设
，则
，
若
，则
，故
，结合面面角的取值范围，可假想
，
则
取得最大值
，此时平面
即为平面ACGE，则截面面积为
；
易知
，所以当
时，
取得最小值，此时
，
则
平面
，设BF，DH 的中点分别为M，N，则平面
必过MN，
所以截面面积为
，所以截面面积之比为
．
故选：A.
11．（2025 高三·全国·专题练习）在棱长为2 的正方体
中，E，F 分别是棱
，
的中点，
过顶点A 且与平面
平行的平面记为
，则
截该正方体所得截面的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
如图，设
分别是棱
的中点，连接
，
则
，因
平面
，
平面
，则
平面
，
又因
，则有
，可得
，
则
，又
平面
，
平面
，故得
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
，
则
截该正方体所得截面即为
，因
，
故
的面积为
．
故选：A.
12．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知正方体
的棱长为 3 ，以
为球心，
为半径的球被
该正方体的表面所截，则所截得的曲线总长为
【答案】
.
【解析】如下图所示，易知球被由正方体的表面所截曲面为
，
由
，即
，故
.
球被面
，面
，面
所截的曲线长均为
，
故在此三面上所截得的曲线长为
，
球在面
，面
，面
所截得的曲线长均为
，
故在这三面上所截得的曲线长的和为
，
故所截得的曲线总长为
.
故答案为：
.
