文档文本内容
5.1 等差数列（精讲）
考向一 等差数列基本量的计算
【例1-1】（2025·山东德州·三模）已知
为等差数列
的前
项和，
，则
（ ）
A．2
B．8
C．16
D．32
【例1-2】（2025·广西柳州·模拟预测）设等差数列
的前
项和为
，若
，则
的公
差为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【例1-3】（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
【一隅三反】
1．（2025·北京·高考真题）已知
是公差不为零的等差数列，
，若
成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．16
D．18
2.（2025·福建·模拟预测）已知
为等差数列
的前
项和，若
，
，则
（ ）
A．28
B．32
C．36
D．40
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则公差
为
（ ）
A．
B．
C．
D．1
4．（2025·浙江·三模）设等差数列
的前
项和为
，已知
，
，则
（ ）
A．17
B．21
C．23
D．27
5．（2025·山西·二模）已知等差数列
公差不为0，记其前n 项和为
，若
，
，则正整数k
的值为（ ）
A．3
B．6
C．8
D．12
考向二 等差中项及应用
【例2-1】（2026 高三·全国·专题练习）若
是1 和3 的等差中项，
是1 和4 的等比中项，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【例2-2】（2025·宁夏银川·二模）已知等差数列
的前n 项和为
，且
，则
（ ）
A．0
B．10
C．15
D．30
【例2-3】（2025·广西·三模）在公差不为0 的等差数列
中，若
是
与
的等差中项，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-4】（2025·山东·一模）已知
的展开式中第2 项，第3 项，第4 项的二项式系数成等差数
列，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【一隅三反】
1．（2025·辽宁·一模）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．4
B．60
C．68
D．52
2．（23-24 浙江）在
中，三个内角
成等差数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
3．（2025·广东汕头·模拟预测）已知
，
为
和
的等差中项，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4（2025·安徽淮北·二模）若实数
和
的等差中项为1，则
的最小值为 .
考向三 等差数列前n 项和最值
【例3-1】（2025·广西南宁·三模）设等差数列
的前n 项和为
，若
，
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-2】（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列
的前
项和为
，若
，
，则当
取最小值
时
的值为（ ）
A．12
B．13
C．14
D．25
【例3-3】（24-25 高三下·云南昭通·阶段练习）已知数列
是等差数列，其前n 项和为
，若
，
，则数列
中最小的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025·江西·模拟预测）记
为等差数列
的前n 项和，且
，则满足
的n 的最大值为
（ ）
A．40
B．41
C．42
D．43
2．（24-25 陕西西安·期末）设等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为
的等差数列
的前
项和为
，若
，
成等比数列，
则满足
的
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·甘肃金昌·模拟预测）（多选）许多已知等差数列
的公差
，其前n 项和记为
，
，则
下列说法正确的是（ ）
A．数列
中有最大项
B．数列
中有最小项
C．若
，则
D．若
，
，则
取最小值时
考向四 等差数列片段和的性质
【例4-1】（24-25 广西）已知等差数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．8
B．10
C．12
D．16
【例4-2】（24-25 河南）已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．56
B．105
C．112
D．189
【例4-3】（23-24 甘肃 ）设等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-4】（2024 高三·全国·专题练习）设等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．18
B．36
C．54
D．72
【一隅三反】
1．（24-25 江西）已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．36
B．48
C．60
D．120
2．（24-25 四川）已知
是等差数列
的前n 项和，若
，
，则
（ ）
A．75
B．65
C．50
D．55
3．（2024·河南周口·模拟预测）设
为等差数列
的前
项和，已知
，则
（ ）
A．12
B．14
C．16
D．18
4．（2025·吉林长春·二模）已知等差数列
的前n 项和为
，若
，则
的值为（ ）
A．0
B．3
C．6
D．12
5．（2025·四川）设等差数列
的前
项和
，若
，
，则
（ ）
A．18
B．27
C．45
D．63
6．（24-25 河南·阶段练习）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
考向五 等差数列和与n 的比值
【例5-1】（2025·江西）已知数列
和
都是等差数列，且其前n 项和分别为
和
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-2】（24-25 四川）已知等差数列
，
的前
项和分别为
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
，
分别是等差数列
，
的前n 项和，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-4】（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列
，
的前n 项和分别为
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-5】（23-24 湖北武汉）在等差数列
中，
，其前n 项和为
，若
，则
等于（ ）
A．10
B．100
C．110
D．120
【例5-6】（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知等差数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（24-25 高三上·河南·期末）已知
与
分别是等差数列
与等差数列
的前n 项和，且
，
则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2024·河北衡水·三模）已知数列
均为等差数列，其前
项和分别为
，满足
，则
（ ）
A．2
B．3
C．5
D．6
3．（2025 湖北）已知
分别是等差数列
的前项和，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·宁夏银川·阶段练习）已知等差数列
和
的前n 项和分别为
，
，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·江苏）已知两个等差数列
和
的前n 项和分别为Sn 和Tn，且
=
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 河北保定·期末）已知数列
满足
，
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·贵州）等差数列
的前
项和为
，若
且
，则( )
A．
B．
C．
D．
8．（2024 高三·全国·专题练习）已知Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a1＝﹣2018，
，则S2020
等于（ ）
A．﹣4040
B．﹣2020
C．2020
D．4040
考向六 等差数列的奇数项（偶数项）之和
【例6-1】（2025 河南）一个等差数列共100 项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【例6-2】（2025 陕西）等差数列
共2n+1 个项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则n=（ ）
A．10
B．13
C．11
D．22
【一隅三反】
1．（2023·重庆·二模）已知等差数列
的前30 项中奇数项的和为
，偶数项的和为
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 河南）已知等差数列
的公差
，
，那么
（ ）
A．80
B．120
C．135
D．160
3．（2025 上海）设等差数列的项数
为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向七 等差数列的证明与判断
【例6-1】（2025·全国一卷·高考真题）设数列
满足
，
，证明：
为等差数列；
【例6-2】（2025·福建厦门·三模）已知数列
的前项和为
，
，且
，证明：数列
为等差数列；
【一隅三反】
1．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，
，
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求
的通项；
(3)求
的最大值．
2．（24-25 高三下·甘肃庆阳·期中）记
为正项数列
的前
项和，且
.
(1)求
的值；
(2)判断
是否为等差数列，并求
的通项公式；
4.（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列
满足
，
，数列
满足
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求数列
的通项公式及前n 项和
；
考向八 含绝对值的等差数列的前n 项和
【例7-1】（23-24 高三上·贵州·阶段练习）记等差数列
的前
项和为
，已知
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，求
.
【例7-2】（24-25 高三上·湖北·开学考试）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列
，记
为
的前
项和，从下面
中再选取一个
①②③
作为条件，解决下面问题．①
；②
；③
．
(1)求
的最小值；
(2)设
的前
项和为
，求
．
2（2023·全国乙卷·高考真题）记
为等差数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
考向九 等差数列的简单应用
【例8-1】（23-24 高三下·重庆渝中·阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称
神十八
，于
“
”
2024 年4 月执行载人航天飞行任务．运送
神十八
的长征二号
“
”
运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为
，以后每秒钟通过的路程都增加
，在达到离地面
的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点
火到进入转弯程序大约需要的时间是（ ）秒．
A．10
B．11
C．12
D．13
【例8-2】（24-25 山东 ）
中国剩余定理
又称
孙子定理
，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二
“
”
“
”
(除以3 余2)，五五数之剩三(除以5 余3)，七七数之剩二(除以7 余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：
已知正整数
满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p 按照从小到大的顺序排成
一列，构成数列
，记数列
的前n 项和为
，则
的最小值为（ ）
A．26
B．36
C．38
D．46
【一隅三反】
1．（2024·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：
今有
“
竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？
其大意为：现有一根七节的竹
”
子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少
升？以此计算，这根竹子的装米量为（ ）
A．升
B．
升
C．
升
D．
升
2．（2025 江西抚州·期中）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷
长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，
相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺
五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ）
A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸
B．秋分的晷长为75 寸
C．立秋的晷长比立春的晷长长
D．立冬的晷长为一丈五寸
3．（2023·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知
其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只
知道将它们三个三个地数，会剩下2 个；五个五个地数，会剩下3 个；七个七个地数，也会剩下2 个.这些物品
的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5 个数的和为
（ ）
A．189
B．190
C．191
D．192
