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6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（精讲）
思维导图
常见考法考点一 分类加法计数原理
【例1】（2020·上海浦东新·华师大二附中高二期中）从集合 中任意选择三个不同的数，
使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个
A．98 B．56 C．84 D．49
【答案】A
【解析】当公差为 时，数列可以是： ， ， ，…… ，共13种情况.
当公差为 时，数列可以是： ， ， ，…… ，共11种情况.
当公差为 时，数列可以是： ， ， ，…… ，共9种情况.
当公差为 时，数列可以是： ， ， ，…… ，共7种情况.
当公差为 时，数列可以是： ， ， ， ， ，共5种情况.
当公差为 时，数列可以是： ， ， ，共3种情况.
当公差为 时，数列可以是： ，共1种情况.
总的情况是 .
又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，
所以这样的等差数列共有 个.
故选：A
【解题思路】
分类计数原理解题思路
1.根据题目特点恰当选择一个分类标准．
2.分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不
同的方法，不能重复．
3.分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏
【一隅三反】1．（2020·重庆高二期末）完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会
第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）
A．5种 B．4种 C．9种 D．45种
【答案】C
【解析】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；
会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择，
故选：C.
2．（2020·陕西高二期末（理））李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配
送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔 天、 天、 天、 天去配送一次．已知 月 日李明分
别去了这四家超市配送，那么整个 月他不用去配送的天数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】将 月剩余的30天依次编号为1，2，3 30，
因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔 天、 天、 天、 天去配送一次，且 月 日李明分别去了
这四家超市配送，
所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢
编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，
则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；
李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天；
李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；
李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天；
所以李明需要配送的天数为 ，
所以整个 月李明不用去配送的天数是 .
故选：B.
3．（2020·甘肃省会宁县第二中学高二期中（理））将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ）
A．16种 B．12种 C．9种 D．6种
【答案】B
【解析】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法
有：
当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； ^
当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
因此，不同的放球方法有12种，故选B.
考点二 分步乘法计数原理
【例2】（2020·安徽合肥一中高二开学考试）某校为了庆祝新中国成立70周年举办文艺汇演，原节目单
上有10个节目已经排好顺序，又有3个新节目需要加进去，不改变原来节目的顺序，则新节目单的排法有
（ ）种
A．165 B．286 C．990 D．1716
【答案】D
【解析】第一步：10个节目空出11个位置，加入1个新来的节目，所以加入一个新节目有11种方法，
第二步：从排好的11个节目空出的12个位置中，加入第2个新节目，有12种方法，
第三步：从排好的12个节目空出的13个位置中，加入第3个新节目，有13种方法，
所以由分步乘法计数原理得，加入3个新节目后的节目单的排法有 （种）.
故选：D
【方法总结】
(1)利用分步计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须
满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．
(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
【一隅三反】
1．（2021·南宁市银海三美学校高二月考）如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，
相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（ ）A．280 B．180 C．96 D．60
【答案】 B
【解析】按区域分四步：第1步，A区域有5种颜色可选；
第2步，B区域有4种颜色可选；
第3步，C区域有3种颜色可选；
第4步，D区域也有3种颜色可选.
由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案.
选选：B.
2．（2020·古丈县第一中学高二月考）7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，每名旅客可选择方案有3种，
因此7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是 .故选：B.
3．（2020·湖南省长沙县第九中学高二期末）从集合 中任取两个互不相等的数a，b组成复数
，其中虚数有（ ）
A．10个 B．12个 C．16个 D．20个
【答案】C
【解析】∵a，b互不相等且为虚数，∴所有b只能从{1，2，3，4}中选一个有4种，
a从剩余的4个选一个有4种，∴根据分步计数原理知虚数有4×4＝16（个）．
故选：C．
4．（2020·湖北车城高中高二月考）现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，
则不同的涂色方法共有（ ）A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种
【答案】D
【解析】根据题意分步完成任务：
第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；
第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；
第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；
第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方
法；
第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；
第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方
法；
所以不同的涂色方法： 种.
故选：D.
考点三 两个计数原理综合运用
【例3】（2021·三亚华侨学校高二考试）某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学
校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．选2个班参加社会实践，要求这2个班不同年级，有
_______种不同的选法．
【答案】
【解析】选2个班参加社会实践，这2个班不同年级，
2个班为高一和高二各一个班有 ，
2个班为高二和高三各一个班有 ，
8×6=48
2个班为高三和高一各一个班有 ，
所以不同的选法共有 .
故答案为： .【方法总结】
两种计数原理选择思路
①分清要完成的事情是什么；
②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；
③有无特殊条件的限制；
④检验是否有重复或遗漏．
【一隅三反】
1．（2021·北京市鲁迅中学高二月考）如图，圆形花坛分为 部分，现在这 部分种植花卉，要求每部分
种植 种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有 种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______
种（用数字作答）
【答案】260
【解析】根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有： 种，
当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有： 种，
所以不同的种植方案共有 种，
故答案为：260
2．（2021·山西）假设今天是4月23日，某市未来六天的空气质量预报情况如下图所示.该市有甲、乙、
丙三人计划在未来六天（4月24日～4月29日）内选择一天出游，甲只选择空气质量为优的一天出游，乙
不选择周一出游，丙不选择明天出游，且甲与乙不选择同一天出游，则这三人出游的不同方法数为
________.【答案】85
【解析】若甲选择周一出游，则三人出游的不同方法数 ；若甲不选择周一出游，则三人出
游的不同方法数 .故这三人出游的不同方法数 .
故答案为：85
3．（2021·沙坪坝·重庆八中）某学校需要把包含甲，乙，丙在内的6名教育专家安排到高一，高二，高
三三个年级去听课，每个年级安排2名专家，已知甲必须安排到高一年级，乙和丙不能安排到同一年级，
则安排方案的种数有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
【答案】B
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①甲和乙丙中1人在高一，
此时高一的安排方法有 种，高二的选法有 种，则此时有 种安排分法，
②甲和其他三人中的1人在高一，
则乙丙三人分别在高二、高三，有2种情况，将其他三人全排列，安排到三个年级，有 种安排方法，
则此时有 种安排方法；
故有 种安排方法；
安排方案的种数有12+24=36
故选：B．
