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5.4 求和常用方法（精讲）
考向一 公式法求和
【例1】（2024 嘉兴）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）令
，求数列
的前
项和
．
【答案】
【解析】（1）解：设等差数列
的公差为
，由
可得
，
解得
，
（2）解：
，且
，故数列
为等比数列，且首项为2，公比为4，
因为
【一隅三反】
1.（2025·安徽滁州）已知等差数列
的前
项和为
，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设
的公差为
，由题知，
，解得
，
所以数列
的通项公式为
．
（2）由（1），得
．所以
，
，
所以数列
是首项为1，公差为1 的等差数列．
所以数列
的前
项和
．
2．（2025·陕西）在等差数列
中，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，
由题意可得
，解得
.
故
.
（2）由（1）可得
，则
，从而
.
因为
，所以
是首项为2，公比为4 的等比数列.
由等比数列的前
项和公式可得
.
考向二 裂项相消求和
【例2-1】（2025·四川成都·模拟预测）已知数列
的首项
，且满足
．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)记
，数列
的前n 项和
，证明：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）由
得，
，
，
又
，所以
是首项为2，公比为2 的等比数列．
（2）由（1）知，
，所以
，
所以
，
．
【例2-2】（2025 高三·全国·专题练习）已知递增等比数列
中，
，设
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设递增等比数列
的公比为
，则
．
因为
，所以
，解得
．所以
，解得
，
所以
．
（2）因为
，所以
，
．
【例2-3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知各项都是正数的数列
，其前
项和为
，
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意得
，
所以
，又数列
是各项都是正数的数列，
，所以
，
，
当
时，有
，所以
，
所以
，故数列
是1 为首项，2 为公差的等差数列，所以
.
（2）由（1）得
，
所以
，
所以
，
裂项得
，证毕.
【例2-4】（2025·陕西渭南·二模）已知等差数列
满足
是关于
的方程
的两个根.
(1)求
.
(2)求数列
的通项公式.
(3)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）数列
是等差数列，设公差为
，由根与系数关系得
，
于是有
，则
，故
，则
；
（2）由（1）知
，故
，由根与系数关系知
；
（3）由（2）得
，
所以
【一隅三反】
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列
的首项为
，前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知
，记数列
的前
项和为
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由已知
得
，
即
，则
，
，
，
，
等式左右分别相加可得
，
则
；
（2）依题意得，
，
则
，
又
，所以
，所以
，
即
．
2．（2025·河北保定·一模）记数列
的前n 项和为
，已知
，
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由
，
当
时，
，
两式相减得
，即
，①
则
，②
由①
②整理得，
，
所以
；
又
，则当
时，
，
当
时，
，则
，
所以
，满足
，
所以
，故数列
为等差数列，且首项为，公差为
.
（2）由（1）可知数列
是首项为，公差为
的等差数列，
所以
，
则
，
所以
.
3．（24-25 黑龙江）已知数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
，可得
时，
，解得
，
时，
，又
，
两式相减可得
，即有
，
数列
是首项为3，公比为3 的等比数列，所以
；
（2）数列
满足
，
所以
．
4．（2025·福建龙岩·二模）已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）由
，
，得
，又
，
数列
是首项为
，公差
的等差数列，
，即
，
当
时，
，且
也满足，
，则数列
的通项公式为
；
（2）由（1）得
，
.
考向三 错位相加法求和
【例3-1】（2025·海南·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列
的前
项和为
，
，数列
为等比数列，首项
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
，当
时，
，
相减得
，
已知数列
各项均为正数，即
，可化简得
，即数列
的公差
满足
，解得
，
当
时，
，解得
，则数列
通项公式为
，
可得
，则
，
由数列
为等比数列可得
，由
，求得
，
则数列
通项公式为
.
（2）由（1）知
，则
，
所以
，
则
，
作差的
，
化简得
，
解得
.
【一隅三反】
1．（2025·海南·模拟预测）已知数列
的前
项和
，数列
是首项为
的等比数列，且有
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
或
(2)
【解析】（1）
时，
，
时
，
时符合上式，∴
．
∴
，∴
，∴
，∴
或
．
（2）
，
设
，设其前
项和为
，则
，①
，②
①
②得
，
∴
，
时，
，
时，
，
综上
．
2．（2025·辽宁盘锦·三模）已知数列
的前
项和为
，其中
，
．
(1)求
的值以及数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
(2)
【解析】（1）依题意，
，解得
，所以
．
当
时，
，
当
时，
，满足上式，
综上所述，
．
（2）依题意，
，
故
，
故
，
两式相减可得，
，
则
．
3．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列
是等差数列，且
，数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
(2)
【解析】（1）由数列
的前
项和为
，可知
，
，
经检验当
时，
也满足上式，所以
．
在等差数列
中，因为
，
，
所以
，解得
，
所以
．
（2）由（1）知，
，
所以
．
则
，
两式相减，得
化简得：
．
考向四 分组转化求和
【例4-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且满足：
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）数列
的前
项和
，
当
时，
，
而
，不满足上式，
所以数列
的通项公式是
.
（2）由（1）知，
，
当
时，
；
当
时，
，而
也满足上式，
所以
.
【例4-2】（2025·云南玉溪·模拟预测）设
是等差数列，
是等比数列，
，且
.
(1)求
与
的通项公式；
(2)设
，求
的前
项和
．
【答案】(1)
，
；
(2)
【解析】（1）
是等差数列，设公差为
，
是等比数列，设公比为
，则
，
因为
，
，
所以
，解得
或
（舍去）
所以
，
；
（2）
，
.
【例4-3】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知
为公差不为零的等差数列，
，记
、
分
别为数列
、
的前
项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设数列
的公差为
，由
，则
，
即
，解得
，所以
．
（2）由
可知，
当
为偶数时，
．
当
为奇数时，
．
综上所述，
．
【一隅三反】
1．（2025 河北沧州·阶段练习）已知数列
是由正数组成的等比数列，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
满足
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等比数列
的公比为
，由
，
得
，∵
是由正数组成的等比数列，则
，
，
则
，解得
或
（舍），又
，所以
，
解得
，所以
（2）
，
所以
2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
是等差数列，
是各项都为正数的等比数列，且
，
，
，
.
(1)求
，
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
，
(2)
【解析】（1）
是等差数列，
是各项都为正数的等比数列，设公差为
，公比为
，由
，
，
，
，
可得
，解得：
（负的舍去），
则
，
（2）
∴
.
3．（2025·浙江嘉兴·三模）记
为数列
的前
项和，已知
，
，数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，若对任意
，
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
时，
，解得
或
，因为
，所以
，
时，
，得
，
因为
，所以
，又
，
故数列
是首项为3，公差为2 的等差数列，
所以数列
的通项公式为
；
（2）解法一：由
，所以
，
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
，
所以
，
因为对任意的
，
成立，
所以，当
为奇数时，即
，所以
，
不等号的右边可看作关于
的二次函数，对称轴为
，
因为
为奇数，所以
时，
，则
当
为偶数时，
，所以
，
同理可得，因为
为偶数，所以
时，
，则
，
综上，
.
解法二：由
，
当
为偶数时，
.
当
为奇数时，
，
所以
（下同解法一）
解法三：因为对任意的
，
成立，
则
，即求
的最小值，令
，
当
为奇数时，
则
，所以
最小值一定在
为奇数时取到，
当
为奇数时，
，
当
时，
，当
时，
，
所以当
为奇数时，
，
则
的最小值为
，
所以
.
考向五 奇偶并项求和
【例5】（24-25 高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知数列
的首项为
，且满足
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求数列
的前
项和为
；
(3)求数列
的前
项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）因为
，
，
若
，则
，与
矛盾，
所以
，所以
，
所以
，因为
，所以
，
所以数列
是以首项为2，公差为4 的等差数列.
（2）由（1）知
，
数列
的前
项和为
.
（3）因为
，
设数列
的前n 项和为
，
当n 为偶数时，
，
因为
，
所以
，
当
为奇数时，
为偶数.
，
所以
.
【一隅三反】
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）数列
的前2025 项和为（ ）
A．1012
B．
C．1013
D．
【答案】C
【解析】设数列
的前
项和为
，则
.
可以将相邻两项看作一组，即
，
，
，
，
，一共有
组，还剩下
最后一项2025.
每一组的值都为
，例如
，
，
，以此类推.
因为一共有1012 组，每组的值为
，所以前2024 项分组后的和为
.
等于前2024 项分组后的和加上最后一项2025，即
.
故选：C.
2．（2025·江苏）已知数列
的前
项和
，其中
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前2023 项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，则
，由
，可得
，
当
时，则
，整理得
，即
；
当
时，则
，可得
，
整理得
，
因为
，则
，
可得
，即
，
故数列
是以首项为1，公差为2 的等差数列，
所以
.
（2）由（1）可得：
，
当
为偶数时，则
，
所以
，
即
.
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知在正项数列
中，
，且
成等差数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
成等差数列，
，即
，而
，
为等比数列，
又
，得
.
（2）
，
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
，
.
考向六 其他方法求和
【例6-1】（2028 河南）已知
，
．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
故
故答案为：
【例6-2】（2025·广东广州·三模）已知数列
满足
，且对任意的
，都有
.
(1)设
，求数列
的通项公式；
(2)数列
表示不超过
的最大整数，求
的前350 项和
.
【答案】(1)
(2)681
【解析】（1）由
可得
，
又
，所以
，即
是以3 为公差的等差数列，
又
，得
，
，
所以
，解得
，故
，
所以
.
（2）由（1）可得
，
又
所以
，
所以
.
【例6-3】（2025·广东广州·三模）已知公差不为零的等差数列
和等比数列
满足
，且
成等比数列，
成等差数列.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)令
，去掉数列
中的第
项
，余下的项顺序不变，构成新数列
，写出数列
的前4
项并求
的前
项和
；
【答案】(1)
；
(2)3，9，81，243；
【解析】（1）设等差数列的公差为
，等比数列的公比为
，由题意得：
，
又
，
，解得
，
所以
，
；
（2）由（1）得
，
去掉第
项后，前4 项依次为3，9，81，243，
，
综上，
.
【一隅三反】
1．（2025 江苏常州·期中）已知函数
，仿照等差数列求和公式的推导方法，化简：
．
【答案】
/
【解析】∵
，∴
，
∴
.
∴
.
故答案为:
.
2．（2025·河南·二模）记
为正项数列
的前
项积，且
，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)
表示不超过
的最大整数，如
，
，设
，求数列
的前
项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
可得，
，即
，
又∵
，∴
是首项为2，公比为2 的等比数列，
∴
；
（2）由（1）可知，
.
∵
，
可得
，
当
为奇数时，则
，即
；
当
为偶数时，则
，即
.
设
为数列
的前
项和，
可得
.
∴数列
的前
项和为
.
3．（2025·湖南常德·模拟预测）记
为数列
的前
项和，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差
为的等差数列，求数列
的前2025 项和.
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）
为数列
的前
项和，
，
时，
，则
，
时，由
，得
，
两式相减可得
，即
，
数列
是首项为
，公比为
的等比数列，则
；
（2）由题设
，可得
，
记
的前
项和为
，因为
，
为正整数，
则
.
4．（2025·天津滨海新·三模）已知等差数列
与正项等比数列
满足：
，
．
(1)求
、
通项公式；
(2)若对数列
、
，在
与
之间插入
个
，组成一个新数列
，求数列
前100 项和
；
(3)若
（其中
），证明：
．
【答案】(1)
；
(2)209
(3)证明见解析
【解析】（1）因为
，
，
所以
，
解得
，所以
；
因为
，
，所以
，
又因为
，所以
，
；
（2）设
，
在数列
中，从项
开始到项
（不含
）之前，
共有项数为
，
所以
，
，
当
时，
；当
时，
，
所以数列
前100 项是项
之后还有32 项为2，
所以
；
（3）当
时，
，
，
，
，
，
，
，
当
时，
，
，
，
因为
，
，
所以
，
即
.
