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5.1 等差数列（精讲）
考向一 等差数列基本量的计算
【例1-1】（2025·山东德州·三模）已知
为等差数列
的前
项和，
，则
（ ）
A．2
B．8
C．16
D．32
【答案】C
【解析】设等差数列
的公差为
，由题意得
，解得
，所以
.
故选：C
【例1-2】（2025·广西柳州·模拟预测）设等差数列
的前
项和为
，若
，则
的公
差为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】因为
，所以
，解得
，
又
，所以
，所以公差为
.故选：A．
【例1-3】（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
【答案】C
【解析】方法一：由题意得：
，
，
则等差数列的公差
，则
，
，所以
.
方法二：因为等差数列的性质即
为等差数列，则
，得
，解得
.
故选：C
【一隅三反】
1．（2025·北京·高考真题）已知
是公差不为零的等差数列，
，若
成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．16
D．18
【答案】C
【解析】设等差数列
的公差为
，
因为
成等比数列，且
，所以
，即
，解得
或
（舍去），所以
.故选：C.
2.（2025·福建·模拟预测）已知
为等差数列
的前
项和，若
，
，则
（ ）
A．28
B．32
C．36
D．40
【答案】C
【解析】设等差数列
的公差为
，因为
，
，故两式作差可得：
，即
，
，又
，故
.
故选：C.
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则公差
为
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】由
，则
，即
，所以
，则
，
由
，则
.故选：C
4．（2025·浙江·三模）设等差数列
的前
项和为
，已知
，
，则
（ ）
A．17
B．21
C．23
D．27
【答案】D
【解析】设等差数列
的公差为
，由题意得
，解得
，所以
.故
选：D.
5．（2025·山西·二模）已知等差数列
公差不为0，记其前n 项和为
，若
，
，则正整数k
的值为（ ）
A．3
B．6
C．8
D．12
【答案】B
【解析】设等差数列
公差为
，由
，得
，解得
，
，
，
，
因此
，整理得
，解得
.故选：B
考向二 等差中项及应用
【例2-1】（2026 高三·全国·专题练习）若
是1 和3 的等差中项，
是1 和4 的等比中项，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【解析】由题知
，所以
，由
得
，所以
．故选：D.
【例2-2】（2025·宁夏银川·二模）已知等差数列
的前n 项和为
，且
，则
（ ）
A．0
B．10
C．15
D．30
【答案】C
【解析】因为
所以
又因为
故选：C.
【例2-3】（2025·广西·三模）在公差不为0 的等差数列
中，若
是
与
的等差中项，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为在公差不为0 的等差数列
中，
是
与
的等差中项，所以
，所以
，
所以
，当且仅当
，即
，
时等号
成立，所以
的最小值为
.故选：
.
【例2-4】（2025·山东·一模）已知
的展开式中第2 项，第3 项，第4 项的二项式系数成等差数
列，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【解析】已知
的展开式中第2 项，第3 项，第4 项的二项式系数为
，
依题意成等差数列，故
，得到：
，
化简得
，即：
，解得：
或
（舍去）故选：C
【一隅三反】
1．（2025·辽宁·一模）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．4
B．60
C．68
D．52
【答案】D
【解析】
，∴
，∴
，故选：D.
2．（23-24 浙江）在
中，三个内角
成等差数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】因为
成等差数列，所以
；
又
，所以
，即
，所以
，所以
.故选：C.
3．（2025·广东汕头·模拟预测）已知
，
为
和
的等差中项，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题知
，得到
，所以
，
当且仅当
，即
时，取等号.故选：D.
4（2025·安徽淮北·二模）若实数
和
的等差中项为1，则
的最小值为 .
【答案】2
【解析】若实数
和
的等差中项为1，则
，
，即
，
即
，当且仅当
取等号.故
的最小值为2.故答案为：2.
考向三 等差数列前n 项和最值
【例3-1】（2025·广西南宁·三模）设等差数列
的前n 项和为
，若
，
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】假设等差数列
的公差为
，由
得
,
所以
，所以
，故
，
则
则
．故选：C．
【例3-2】（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列
的前
项和为
，若
，
，则当
取最小值
时
的值为（ ）
A．12
B．13
C．14
D．25
【答案】C
【解析】由
可得
，由等差数列的性质可得：
，
因
，则等差数列
的公差
，即等差数列
为递增数列，
故
，即
取最小值时，
的值为14.故选：C.
【例3-3】（24-25 高三下·云南昭通·阶段练习）已知数列
是等差数列，其前n 项和为
，若
，
，则数列
中最小的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，因为
，所以
，
所以公差
，故当
时，
，当
时，
，所以当
时，
取得最小值，即
中最小的项是
，故选：C.
【一隅三反】
1．（2025·江西·模拟预测）记
为等差数列
的前n 项和，且
，则满足
的n 的最大值为
（ ）
A．40
B．41
C．42
D．43
【答案】B
【解析】由已知可得
，
的公差为
，故
，故
，
令
，又
，所以
，故n 的最大值为41，
验证
，
，所以n 的最大值为41.故选：B.
2．（24-25 陕西西安·期末）设等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为数列
为等差数列，由
；
由
.所以
.
所以等差数列
是首项为正数的递减数列，且前6 项为正，从第7 项开始为负数.所以
最大.故选：B
3．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为
的等差数列
的前
项和为
，若
，
成等比数列，
则满足
的
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设数列
的公差为
，
因为
，
成等比数列，所以
， 解得
，
所以
，故
.
由
，得
，解得
. ∵
，∴
的最大值为
.故选：D.
4．（2025·甘肃金昌·模拟预测）（）许多已知等差数列
的公差
，其前n 项和记为
，
，则下列
说法正确的是（ ）
A．数列
中有最大项
B．数列
中有最小项
C．若
，则
D．若
，
，则
取最小值时
【答案】BC
【解析】对于A，因为
，且
，故
中无最大项，A 错误；
对于B，
，
，故
，
，
，则
为
中的最小项（当
时，
，
均为
中的最小项），B 正确；
对于C，若
，则可知
，
，即
，则可知
，故
，C 正确；
对于D，
，则可知
，则
，又
，则可知
，则
，即
，故
，故
最小，D 错误.故选：BC.
考向四 等差数列片段和的性质
【例4-1】（24-25 广西）已知等差数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．8
B．10
C．12
D．16
【答案】C
【解析】因为
是等差数列，所以
也是等差数列，
所以
，即
，解得
．故选：C．
【例4-2】（24-25 河南）已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．56
B．105
C．112
D．189
【答案】B
【解析】因为
成等比数列，
即
成等比数列，所以
，解得
，
又
，所以
，解得
.
故选:B.
【例4-3】（23-24 甘肃 ）设等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在等差数列
中，
成等差数列，则
，
设
，则
，故
，解得
，所以
.故选：A.
【例4-4】（2024 高三·全国·专题练习）设等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．18
B．36
C．54
D．72
【答案】D
【解析】因为差数列
中，
成等差数列，
令
，即
成等差数列，
则
，
即
，解得
，故选：D．
【一隅三反】
1．（24-25 江西）已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．36
B．48
C．60
D．120
【答案】B
【解析】由等差数列片段和的性质，
，
，
，
成等差数列，
故
，则
.故选：B
2．（24-25 四川）已知
是等差数列
的前n 项和，若
，
，则
（ ）
A．75
B．65
C．50
D．55
【答案】A
【解析】由等差数列前
项和的性质得：
成等差数列，
，即
，解得
.故选：A.
3．（2024·河南周口·模拟预测）设
为等差数列
的前
项和，已知
，则
（ ）
A．12
B．14
C．16
D．18
【答案】B
【解析】由等差数列的片段和性质知，
成等差数列，
由
，得该数列首项为4，公差为2，所以
.故选：B
4．（2025·吉林长春·二模）已知等差数列
的前n 项和为
，若
，则
的值为（ ）
A．0
B．3
C．6
D．12
【答案】A
【解析】因为
是等差数列，所以
成等差数列，
又
，所以
成等差数列，则
，则
.故选：A.
5．（2025·四川）设等差数列
的前
项和
，若
，
，则
（ ）
A．18
B．27
C．45
D．63
【答案】C
【解析】由题意得
成等差数列，即
成等差数列，
即
，解得
.故选：C
6．（24-25 河南·阶段练习）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意设
，则
，由
是等差数列，所以
也成等差数列，
所以
，解得
；
，解得
，所以
，
故选：C.
考向五 等差数列和与n 的比值
【例5-1】（2025·江西）已知数列
和
都是等差数列，且其前n 项和分别为
和
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于等差数列的前n 项和满足
，知道
，故
.故选：B.
【例5-2】（24-25 四川）已知等差数列
，
的前
项和分别为
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为等差数列
，
的前
项和分别为
，
，
所以我们对
进行变形，得到
，
因为
，所以
，即
，故D 正确.
故选：D
【例5-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
，
分别是等差数列
，
的前n 项和，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
是等差数列，
所以
，又
，
所以
，
故选：C.
【例5-4】（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列
，
的前n 项和分别为
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为等差数列
，
的前n 项和分别为
，
，所以
，
因为
，所以可设
，
，则
，
，所以
.
故选：D.
【例5-5】（23-24 湖北武汉）在等差数列
中，
，其前n 项和为
，若
，则
等于（ ）
A．10
B．100
C．110
D．120
【答案】B
【解析】因为数列
是等差数列，则数列
也为等差数列，设其公差为
，
则
，则
，又因为
，所以
，所以
，所以
.
故选：B.
【例5-6】（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知等差数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设等差数列
的公差为
，
则
，
数列
是公差为
的等差数列，
，解得：
，
.故选：D.
【一隅三反】
1．（24-25 高三上·河南·期末）已知
与
分别是等差数列
与等差数列
的前n 项和，且
，
则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由等差数列的性质可知
，
所以
故选：C
2．（2024·河北衡水·三模）已知数列
均为等差数列，其前
项和分别为
，满足
，则
（ ）
A．2
B．3
C．5
D．6
【答案】A
【解析】因为数列
均为等差数列，可得
，
且
，又由
，可得
．因此
.
故选：A．
3．（2025 湖北）已知
分别是等差数列
的前项和，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
分别是等差数列
的前项和，故
，且
，故
，
故选：D
4．（24-25 高三上·宁夏银川·阶段练习）已知等差数列
和
的前n 项和分别为
，
，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为数列
和
均为等差数列，所以
.
故选：D.
5．（2025·江苏）已知两个等差数列
和
的前n 项和分别为Sn 和Tn，且
=
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
=
，所以可设
，
，
，
所以
，
，所以
，故选：A.
6．（23-24 河北保定·期末）已知数列
满足
，
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
数列
是以
为公差的等差数列，
，
数列
是以为公差的等差数列，
.
故选：B.
7．（2025·贵州）等差数列
的前
项和为
，若
且
，则( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
的公差为d，∵
∴
，即{
}为等差数列，公
差为
，由
知
，故
﹒故选：A﹒
8．（2024 高三·全国·专题练习）已知Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a1＝﹣2018，
，则S2020
等于（ ）
A．﹣4040
B．﹣2020
C．2020
D．4040
【答案】C
【解析】∵Sn 是等差数列{an}的前n 项和，∴数列{
}是等差数列．
∵a1＝﹣2018，
，∴数列{
}的公差d
，首项为﹣2018，∴
2018+2019×1＝1，
∴S2020＝2020．故选：C．
考向六 等差数列的奇数项（偶数项）之和
【例6-1】（2025 河南）一个等差数列共100 项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为
，则由条件可知：
数列的奇数项之和为
，①
偶数项之和为
，②
由②-①，得
，所以
，即该数列的公差为
.
故选：D.
【例6-2】（2025 陕西）等差数列
共2n+1 个项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则n=（ ）
A．10
B．13
C．11
D．22
【答案】A
【解析】等差数列
共2n+1 个项，其中奇数项有
个，偶数项有
个，
设等差数列
的公差为
，奇数项和
①，
偶数项和
②，
①-②得
，则
.故选：A
【一隅三反】
1．（2023·重庆·二模）已知等差数列
的前30 项中奇数项的和为
，偶数项的和为
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为
，首项为
，
则
，所以
，
因为
，即
，则
，
等差数列的奇数项是以
为首项，
为公差的等差数列，等差数列
的前30 项中奇数项有15 项，所以
，得
，
所以
.
故选：B
2．（2025 河南）已知等差数列
的公差
，
，那么
（ ）
A．80
B．120
C．135
D．160
【答案】C
【解析】在等差数列
中，公差
，
，
所以
,
所以
，
故选：C
3．（2025 上海）设等差数列的项数
为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题知，奇数项有
项，偶数项有
项，
奇数项之和为
，
偶数项之和为
，
所以奇数项之和与偶数项之和的比为
，
故选：D
考向七 等差数列的证明与判断
【例6-1】（2025·全国一卷·高考真题）设数列
满足
，
，证明：
为等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】由题意证明如下，
，
在数列
中，
，
，∴
，即
，
∴
是以
为首项，1 为公差的等差数列.
【例6-2】（2025·福建厦门·三模）已知数列
的前项和为
，
，且
，证明：数列
为等差数列；
【答案】证明见解析；
【解析】由
，
，则
，
所以
，故
是首项、公差均为1 的等差数列；
【一隅三反】
1．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，
，
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求
的通项；
(3)求
的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)3.
【解析】（1）因为
，所以
，故
，
又
，所以
是以3 为首项，3 为公差的等差数列．
（2）由（1）知
，
当
时，
，
而
时，
不满足题意，
所以
.
（3）由（2）知，当
时，
，
又
，所以，
的最大值为
.
2．（24-25 高三下·甘肃庆阳·期中）记
为正项数列
的前
项和，且
.
(1)求
的值；
(2)判断
是否为等差数列，并求
的通项公式；
【答案】(1)
(2)
是常数列，也是等差数列，
.
【解析】（1）令
可得
， 又
，故
.
（2）
，①
，②
由②-①，得
，即
故
，故
是常数列，也是等差数列
故
，故
.
3．（2025·河南许昌·三模）在数列
中，
，且
，证明：
是等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】
在数列
中，
，且
，
，
是首项为
，公差为2 的等差数列．
4.（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列
满足
，
，数列
满足
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求数列
的通项公式及前n 项和
；
【答案】(1)证明见解析
(2)
，
【解析】（1）
，
所以数列
为等差数列，首项为
，公差为1.
（2）
，
.
考向八 含绝对值的等差数列的前n 项和
【例7-1】（23-24 高三上·贵州·阶段练习）记等差数列
的前
项和为
，已知
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，求
.
【答案】(1)
(2)8872
【解析】（1）由
则
设
的公差为
则
则
所以数列
的通项公式为
.
（2）由题可知
，
.
【例7-2】（24-25 高三上·湖北·开学考试）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
，
(2)
，
.
【解析】（1）由
，则当
时
两式相减得
，所以
.将
代入
得，
，
所以对于
，故
是首项为2，公比为2 的等比数列，所以
.
（2）
.
，
因为当
时
，当
时
，所以当
时，
，
当
时，
.故
.
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列
，记
为
的前
项和，从下面①②③中再选取一个
作为条件，解决下面问题．①
；②
；③
．
(1)求
的最小值；
(2)设
的前
项和为
，求
．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，且
．
选择①：（1）因为
，所以
，解得
．
所以
，则
，
利用二次函数对称性和开口方向知，
关于
对称，
因为
，所以当
或6 时，
.
选择②：因为
，可得
，
因为
，所以
，此时
，所以
，
因为
，所以
单调递增，且当
时，
．
所以当
或11 时，
最小，此时
.
选择③：因为
，所以
，即
，所以
，
所以
，则
，
利用二次函数对称性和开口方向知，
关于
对称，
因为
，所以当
或6 时，
.
（2）解：若选择①或③：由（1）知
，当
时，
，
所以
.
若选择②：由（1）知
，且当
时，
，且
，
所以
.
2（2023·全国乙卷·高考真题）记
为等差数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为
，
由题意可得
，即
，解得
，
所以
，
（2）因为
，
令
，解得
，且
，
当
时，则
，可得
；
当
时，则
，可得
；
综上所述：
.
考向九 等差数列的简单应用
【例8-1】（23-24 高三下·重庆渝中·阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于
2024 年4 月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号
运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为
，以后每秒钟通过的路程都增加
，在达到离地面
的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点
火到进入转弯程序大约需要的时间是（ ）秒．
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】C
【解析】设出每一秒钟的路程为数列
，由题意可知
为等差数列，
则数列首项
，公差
，所以
，
由求和公式有
，解得
，故选：C．
【例8-2】（24-25 山东 ）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二
(除以3 余2)，五五数之剩三(除以5 余3)，七七数之剩二(除以7 余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：
已知正整数
满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p 按照从小到大的顺序排成
一列，构成数列
，记数列
的前n 项和为
，则
的最小值为（ ）
A．26
B．36
C．38
D．46
【答案】C
【解析】二二数之剩一、三三数之剩一的数分别为
、
，
，
因此数列
的项即为以上两类数的公共项
，即
，
，
而
，则数列
是等差数列，
于是
，
，
又对勾函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
时，
取得最小值38.故选：C
【一隅三反】
1．（2024·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有
竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹
子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少
升？以此计算，这根竹子的装米量为（ ）
A．升
B．
升
C．
升
D．
升
【答案】B
【解析】依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列
，
则
，
，
所以这根竹子的装米量为
（升）.
故选：B
2．（2025 江西抚州·期中）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷
长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，
相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺
五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ）
A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸
B．秋分的晷长为75 寸
C．立秋的晷长比立春的晷长长
D．立冬的晷长为一丈五寸
【答案】C
【解析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列
，其中
寸，
寸，公差为
寸，则
，解得
（寸），
同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列
，首项
，末项
，公差
（单位都为寸）.
故选项A 正确；
春分的晷长为
,
秋分的晷长为
，所以
正确；
立冬的晷长为
，即立冬的晷长为一丈五寸，
正确；
立春的晷长，立秋的晷长分别为
，
，
，故错
误.
故选：C.
3．（2023·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知
其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只
知道将它们三个三个地数，会剩下2 个；五个五个地数，会剩下3 个；七个七个地数，也会剩下2 个.这些物品
的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5 个数的和为
（ ）
A．189
B．190
C．191
D．192
【答案】B
【解析】根据题意，被以3 除余2，除以5 余3 的数，构成首项为，公差为
的等差数列，
则
，
所以将这样的正整数由小到大排列，则前5 个数的和为
.
故选：B.
