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6.1 空间几何的体积与表面积（精讲）
考向一 直观图
【例1-1】（24-25 山东济南）用斜二测画法画水平放置的
，其直观图
如图所示，其中
．若原
的周长为10，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-2】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知正三棱锥的高为
，其底面三角形的斜二测直观图面积为
，则
三棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（24-25 河南）如图，矩形
是水平放置的平面四边形
用斜二测画法画出的直观图，其中，
，
，则原四边形
的面积为（ ）
A．
B．
C．10
D．12
2．（2025·陕西西安·二模）（多选）如图，四边形
的斜二测画法的直观图为等腰梯形
，已知
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形
的面积为
D．四边形
的周长为
3．（2025·四川成都·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的平面图形
的直观图为如图所示的
，
已知
是边长为2 的等边三角形，则顶点
到
轴的距离是 .
4．（24-25·四川）如图，
是水平放置的
的直观图，若
，
轴，
轴，
则
的周长为 ．
4．（22-23 高一下·云南昭通·期末）已知水平放置的四边形ABCD 按照斜二测画法画出的直观图
如图
所示，其中
，
，则四边形
的面积是 ．
考向二 空间几何体的体积
【例2-1】（2025·辽宁大连·一模）空间中有一正方体
， 将点
依次连接， 得到体积
为
的三棱锥 ，则正方体的体积为（ ）
A．
B．24
C．
D．
2．（2025·四川成都·一模）已知圆锥的高为1，母线与底面所成角的大小为
，则该圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025·山西·三模）已知母线长为2 的圆锥的侧面积是底面积的2 倍，则圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·四川成都·模拟预测）已知正四棱台的上、下底面面积分别为4 和16，侧棱长为
，则该正四棱台
的体积为（ ）
A．
B．
C．56
D．
3．（2025·北京海淀·三模）如图，已知两个四棱锥
与
的公共底面是边长为2 的正方形，
顶点
在底面的同侧．棱锥的高
，
分别为AB、CD 的中点，
与
交于点E，
与
交于点F，则四棱锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向三 空间几何体的表面积
【例3-1】（2025·陕西西安·二模）已知正四棱锥
的底面边长为6，体积为48，则该四棱锥的侧面积
为 .
【例3-2】（2025·辽宁·模拟预测）已知圆锥的底面半径为6，体积为
，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，
若截得的圆台体积为
，则该圆台的表面积为 ．
【一隅三反】
1．（25-26 高三上·河北保定·阶段练习）某正四棱锥的底面棱长为4cm，其侧面与底面夹角的正切值为
，则
该正四棱锥的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·山东临沂·三模）一圆台的上、下底面半径分别为2、4，体积为
，则该圆台的侧面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·海南·模拟预测）已知一个圆锥的母线长为
，高为2，则该圆锥的表面积为（ ）
A．5
B．
C．
D．
4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在正三棱柱
中，
为
上一点，
，
，平面
将三棱柱截为两部分，则这两部分几何体的表面积之比为（ ）
A．
B．
C．8
D．9
考向四 组合体的体积
【例4-1】（2024·浙江）已知长方形ABCD 中，
，点E 为CD 的中点，现以AE 所在直线为旋转
轴将该长方形旋转一周，则所得几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-2】（2025·北京大兴·三模）《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为
羡除
的
“
”
五面体．如图，在羡除
中，底面
是正方形，
平面
∥
，
，其余棱长都为，则
这个几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-3】（2024·山西临汾·三模）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、
定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接
而成，其直观图如图2 所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12 厘米，中间圆的直径是20 厘米，上底面
圆的直径是8 厘米，高是14 厘米，且上、下两圆台的高之比是
，则该汝窑双耳罐的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1（2024·湖北武汉·二模）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义
的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧
面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，
球缺
是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆
“
”
面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为
，其
中
是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该
灯笼的体积为（取
）（ ）
A．
cm3
B．33664 cm3
C．33792 cm3
D．35456 cm3
2．（2024·北京西城·二模）楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体
，其中面
为正方形．若
，
，且
与面
的距离为
，则该楔体形
构件的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 高三上·云南昆明）如图，圆内接四边形ABCD 中，
.现将该四边形沿AD 旋转一周，则旋转形成的几何体的体积
为（ ）
A．
B．30
C．
D．40
考向五 组合体的表面积
【例5-1】（2026·山东）陀螺起源于我国，在山西夏县新石器时代的遗址中，就出土了目前发现的最早的石制
陀螺因此，陀螺的历史至少也有四千年，如图所示为一个陀螺的立体结构图，若该陀螺底面圆的直径
，圆柱体部分的高
，圆锥体部分的高
，则这个陀螺的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-2】（24-25 高三上·甘肃白银·阶段练习）如图，一个三阶魔方由27 个单位正方体组成，把魔方的中间一
层转动了45°之后，表面积增加了（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025·河南）如图1 所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2
是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、
下两个底面的边长分别为
和
，正六棱台与正六棱柱的高分别为
和
，则该花灯的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江苏）在2023 年3 月12 日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中，来自中国
的9 岁魔方天才王艺衡以4.69 秒的成绩打破了
解三阶魔方平均用时最短
吉尼斯世界纪录称号
“
”
.如图，一个
三阶魔方由27 个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了
之后，表面积增加了（ ）
A．54
B．
C．
D．
3．（2025 吉林四平）
阿基米德多面体
也称为半正多面体，半正多面体是由两种或多种正多边形面组成，
“
”
而又不属于正多面体的凸多面体．如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个
一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为
，则该阿基米德多面体的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 湖北）如图1 是文祥塔，位于浙江省温州市泰顺县城南象山之上，初名象山塔，后人重修时易名为
文祥塔．已知该塔六面七层且第七层塔身可近似地视为一个高2.8 m、底面边长为2 m 的正六棱柱，塔顶可近
似地视为一个高1 m 的正六棱锥，如图2 所示，则该塔的第七层塔身及其塔顶的表面积之和约为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向六 体积表面积的最值
【例6-1】（25-26 高三上·陕西汉中·开学考试）若用长为4cm，宽为2cm 的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个
圆柱筒的最大体积为（ ）
A．
cm3
B．
cm3
C．
cm3
D．
cm3
【例6-2】（25-26 高三上·江苏镇江·开学考试）已知一个圆锥的体积为
，圆锥内有一圆柱，圆柱的一个底面
在圆锥的底面上，则该圆柱体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025 高三·全国·专题练习）三棱锥的侧面两两垂直，且所有侧棱之和为3，则三棱锥的体积的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·贵州·开学考试）已知某圆锥放置于半径为
的球
内，当该圆锥的体积取得最大值时，该
圆锥的高为（ ）
A．
B．
C．
D．2
3．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点
为空间一定点，圆锥
（
为底面的中心 ）表面上的所有点到点
的距离均不超过3，则当该圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向七 实际生活中的体积与表面积
【例7-1】（2025·福建泉州·模拟预测）如图茶杯的形状是一个上宽下窄的正四棱台，上底面边长为下底面边长
的2 倍，容积为28ml，厚度忽略不计.当倒入14ml 茶水时，茶水的高度与茶杯的高度之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例7-2】（2025·河南·模拟预测）某城市地铁隧道的宽为
，为增强隧道的承重能力，需在底部铺设一层厚
度为
的钢筋混凝土垫层.若铺设钢筋混凝土垫层的费用为1800 元
，则铺设
钢筋混凝土垫层的费用
为（ ）
A．324 万元
B．432 万元
C．540 万元
D．648 万元
【例7-3】（2025·湖南·一模）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景
的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组
合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3 所示，则该圆台部分的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025·北京西城·模拟预测）有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆
柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·山东青岛·模拟预测）须弥座又名
金刚座
，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙
“
”
、
塔、碑等重要建筑的基座，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价
值.某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为
，下底
面边长为
，侧面积为
，则该正六棱台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·江苏苏州·三模）某厂生产一批圆台形灯罩，灯罩的上、下底面都是空的，上、下底面的半径之比为
1:2，高为15cm，母线长为25cm．现要对100 个这样的灯罩的内、外表面都涂上一层防潮涂料，若每平方米需
要100 克涂料，则共需涂料（ ）
A．
克
B．
克
C．
克
D．
克
4．（24-25 重庆酉阳）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，
扇
与
善
谐音，折
“
”
“
”
扇也寓意
善良
“
"“善行
、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象
”
征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧
，
所在圆的半径分别是3
和6，且
，则关于该圆台，下列说法错误的是（ ）
A．高为
B．体积为
C．表面积为14π
D．轴截面面积为
考向八 展开图距离最值
【例8-1】（2024·陕西西安·模拟预测）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P 为该圆台
某条母线的中点，若一质点从点P 出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径
长为（ ）
A．
B．6
C．
D．
【例8-2】（25-26 高三上·湖南长沙·开学考试）在棱长为2 的正方体
中，M 为线段
上一动
点，求
的最小值（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8-3】（24-25 高三上·湖北·期中）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3 的正方形
，点
在下底面
圆周上，且
，点
在母线
上，点
是线段
上靠近点A 的四等分点，则
的最小值为
（ ）
A．
B．4
C．6
D．
【一隅三反】
1．（2025·云南曲靖·二模）如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫
从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点
处，则小虫爬行的最短路程为（ ）
A．
B．16
C．24
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在棱长均为4 的正四面体
中，
为
的中点，
为
的中点，
是
上的动点，
是平面
上的动点，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 山西大同·期中）已知某圆台的体积为
，其轴截面为梯形
，
，
，则在该
圆台的侧面上，从点
到
的最短路径的长度为（ ）
A．
B．
C．6
D．
考向九 截面
【例9-1】（2025 浙江衢州·期末）用一个平面去截一个正方体，所得截面形状可能为：（ ）
三角形
四边形
五边形
六边形
圆
①
②
③
④
⑤
A．①②③
B．①②④
C．①②③④
D．①②③④⑤
【例9-2】（2025·安徽合肥·三模）已知正四棱锥
的所有棱长都等于3，点
是
的重心，过点
作平面
，若平面
平面
，则平面
截正四棱锥
的截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例9-3】（2024·四川宜宾·三模）已知E，F 分别是棱长为2 的正四面体
的对棱
的中点.过
的
平面
与正四面体
相截，得到一个截面多边形
，则下列说法正确的是（ ）
A．截面多边形
不可能是平行四边形
B．截面多边形
的周长是定值
C．截面多边形
的周长的最小值是
D．截面多边形
的面积的取值范围是
【例9-4】（2024·广西·模拟预测）在三棱锥
中，
平面
，
，
，
，点
为棱
上一点，过点
作三棱锥
的截面，使截面平行于直线
和
，当该截面
面积取得最大值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025 高三·全国·专题练习）如图，已知四面体
为正四面体，
分别是
中点，若用
一个与直线
垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面
去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该
多边形截面面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 北京·期中）一正四面体木块如图所示，点
是棱
的中点，过点
将木块锯开，使截面平行于棱
和
，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．
A．满足条件的截面不存在
B．截面是一个梯形
C．截面是一个菱形
D．截面是一个三角形
3．（23-24 高三上·河北廊坊·期末）如图所示，正四棱台
中，上底面边长为3，下底面边长为
6，体积为
，点
在
上且满足
，过点
的平面
与平面
平行，且与正四棱台各面相
交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知
分别是棱长为2 的正四面体
的对棱
的中点.过
的平
面
与正四面体
相截，得到一个截面多边形
，则正确的选项是（ ）
截面多边形
①
可能是三角形或四边形.
截面多边形
②
周长的取值范围是
.
截面多边形
③
面积的取值范围是
.
当截面多边形
④
是一个面积为
的四边形时，四边形的对角线互相垂直.
A．①③
B．②④
C．①②③
D．①③④
