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6.4 空间几何体的空间角与空间距离（精练题组版）
题组一 线线角向量法
1．（2025·安徽合肥·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何
体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）
､
.现有一个如图所示的曲池，它的高为
，
、
、
、
均与曲池的底面
垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和
，对应的
圆心角为
，则图中异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设上底面圆心为
，下底面圆心为
，连接
、
、
，
以
为坐标原点，分别以
、
、
所在直线为
、
、
轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则
、
、
、
，
所以
，
，
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
.
故选：A.
2．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知圆台的上底面圆
的半径为1，下底面圆
的半径为2，点
，
分别在
上、下底面圆周上，且
，则
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】过
的母线为
，连接
，则
，又因为
，所以
，
以
为坐标原点，
为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
所以
，
所以
，
所以
与
所成角的余弦值为
.
故选：A.
3．（2025·重庆·模拟预测）在
的二面角
中，
，
，
到棱的距离为，
到棱的距离
为
，
，则直线
与棱夹角的正弦值为 .
【答案】
/
【解析】过点
在平面
内作
，垂足为点
，过点
在平面
内作
，垂足为点
，
由二面角的定义可知，
，由题意可知，
，
，
因为
，
则
，解得
，
因为
，
所以，
，
故
，
即直线
与棱夹角的正弦值为
.
故答案为：
.
4．（2025·江苏苏州·三模）如图，正四棱锥
，
，
，
为侧棱
上的点，且
．
(1)求证：
；
(2)求异面直线
与
所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）连结
交
于点
，连结
，
因为正四棱锥
，所以
平面
，
又
平面
，
所以
，因为正四棱锥
，
所以四边形
是正方形，
所以
，因为
，
，
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
；
（2）
因为
，
，
，
所以以
为原点建立空间直角坐标系
，
，
，
，
，
所以
，
，
所以
，
因此异面直线
与
所成角的余弦值为
.
5．（2025·全国·模拟预测）在平行四边形
中（图1），
，
为
的中点，将等边
沿
折起，连接
，且
（图2）．
(1)求证：
平面
；
(2)
为线段
上的动点（不含端点），
能否与平面
平行？说明理由；
(3)求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)不可能，理由见解析；
(3)
【解析】（1）连接
，因为
，
为
的中点，
是等边三角形，
则
，
则在
中，因为
，
，
所以
．
在
中，因为
，所以
，
同理可得
，
又
，
，
故
平面
．
（2）
不可能与平面
平行，理由如下：
假设
平面
，
又因为
平面
平面
．
所以
平面
．
因为
平面
平面
，
从而有平面
平面
，这显然不成立，
所以
不可能与平面
平行．
（3）设
为
的中点，则
．
因为
平面
平面
，
所以平面
平面
．
又平面
平面
平面
，所以
平面
．
以点
为坐标原点，
方向为
轴正方向，
方向为
轴正方向，
过点
且平行于
的直线向上方向为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
所以
．
设平面
的法向量为
，
因为
，
所以
，
取
，则
，所以
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
．
题组二 线面角向量法
1．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在四棱锥
中，底面
为梯形，
，
为等边三角形，
为
的中点，且平面
平面
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见详解.
(2)
.
【解析】（1）如图，取
中点
，连接
，
，
在正三角形
中，
，
∵平面
平面
，平面
平面
，
∴
平面
，且
平面
，
∴
，
在梯形
中，
，∴四边形
为平行四边形，
∴
，又∵
，∴
，
又
，
平面
，
平面
，
∴
平面
，
平面
，
∴
，
如图建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
∵
，
，
∴
且
，且
，
平面
，
平面
，
∴
平面
.
（2）由（1）可知
，
∴
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，则
，即
，
直线
与平面
所成角
，
则
，
即直线
与平面
所成角的正弦值为
.
2．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在六棱锥
中，
平面
，六边形
是边
长为3 的正六边形，
是
上靠近点
的三等分点．
(1)证明：
平面
；
(2)求线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为
平面
平面
，所以
．
因为六边形
是边长为3 的正六边形，所以
．
又
平面
平面
，故
平面
．
（2）以点
为坐标原点，以
所在的直线为
轴，以
所在的直线为
轴，以
所在的直线为
轴，建立
如图所示的空间直角坐标系．
则
，
，
，
，
，
，
．
设平面
的一个法向量为
，由于
，
所以
，令
，得
，
即平面
的一个法向量为
，
所以直线
和平面
所成角的正弦值为
3．（2024·山东威海·二模）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
为等边三角形，
，
，
，
，M 为
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【解析】（1）设
中点为
，连接
，因为
为等边三角形，故
，
由题意，平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，故
，
又
，
，
平面
，故
平面
，
由
平面
，故
，
又M 为
的中点，
为等边三角形，则
，
因为
，
平面
，所以
平面
.
（2）
由（1）知
平面
，
平面
，故
，
连接
，
，则
，
即四边形
为平行四边形，故
，所以
，
故以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
设平面
的法向量为
，则
，令
，则
，
设直线
与平面
所成角为θ，
，则
.
4．（2025·江西新余·模拟预测）在多面体ABCDE 中，平面
平面
为等
边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，M，N 分别为AD，BE 的中点.
(1)求证：
；
(2)求直线MN 与平面ACE 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【解析】（1）连接
，过
作
，垂足为
，过
作
，垂足为
，
∵
为等边三角形，N 分别为BE 的中点，∴
∵平面
平面
平面
平面
平面
，
∴
平面
以
为坐标原点，
分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，
设等边
的边长为2，
则
设
则
∵四边形ABCD 为平行四边形，M 为AD 的中点，
所以
.
,
,
∵
，
所以
，即
.
（2）由（1）知
,
设平面
的一个法向量为
，取
则
，
所以
是平面
的一个法向量.
.
所以直线MN 与平面ACE 所成角的正弦值为
.
5．（2025·全国·模拟预测）由四棱柱
截去三棱锥
后得到如图所示的几何体，四边形
是菱形，
为
与
的交点，
平面
.
(1)求证：
平面
；
(2)若
，求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）如图所示，取
中点
，连接
，
，
则由题意
且
，故四边形
是平行四边形，
所以
且
，故
且
，
所以四边形
是平行四边形，则
.
又
平面
平面
，所以
平面
.
（2）由题意可知
两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系
，
则由题意
.
又
，
，
，
即
，
，
所以
，
，
.
设平面
的一个法向量为
，则
，
所以
，则
，取
，则
.
设
与平面
所成角
，
则
，
所以
与平面
所成角的正弦值为
.
题组三 二面角向量法
1．（2025·河北唐山·模拟预测）如图，在直四棱柱
中，
，
．
(1)求线段
的长；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）如图，因为
，
，所以
，即
.
又四棱柱
为直四棱柱，所以
平面
，
平面
，所以
，
.
所以，可以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴，建立如图所示的空间直角坐标
系
，则
，
，
，
设
，则
．
，
，
因为
，所以
，即
，
解得
，所以
.
（2）由（1）得，
，
，
，则
因为
，
设平面
的一个法向量是
，
则
，即
，令
，解得
，即
.
因为
，设平面
的一个法向量是
，
则
，即
，令
，解得
，即
.
则
．
故平面
与平面
夹角的余弦值为
.
2．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥
中，
是以
为斜边的等腰直角三角形，底面
是等腰梯形，且
，
，
，
，
为
中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与
所成角的余弦值；
(3)求平面
与平面
夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)
【解析】（1）设
，
为
中点，
是以
为斜边的等腰直角三角形
，
取
的中点
，底面
是等腰梯形，
.
连接
，
在
中，
，
在
中，
.
，
，且
平面
，
平面
；
（2）
如图，建系
，则
，
设直线
与
所成角为
，
（3）设平面
的法向量是
，即
，令
，解得
设平面
的法向量是
，即
令
，解得
设平面
与平面
夹角为
故面
与平面
夹角正弦值为
.
3．（2025·山西·三模）如图，在三棱柱
中，所有的棱长均相等，
是
的中点，
在上底面
的投影为
的重心
．
(1)证明：
；
(2)求平面
与平面
的夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）
在上底面
的投影为
的重心
．
平面
，
平面
，
，
，
，
是等边三角形，
是
的中点，故
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
又因为
平面
，
.
（2）解法一：延长
交
于点
，如图所示，
由（1）知平面
，故
为平面
与平面
的夹角，
，
，
设棱长为1，则
，
为
重心，
，
，
，
平面
与平面
的夹角的正弦值为
.
解法二：设
，有
，
，
，可求得
，
由
，
，可得
，
又由
平面
，以
为坐标原点，
，
，
分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示空间直角坐标系，
有
，
，
，
，
，
可得
，
，
设平面
的一个法向量为
，
有
，取
，
，
，可得
，
又由平面
的一个法向量为
，有
，
，
，
有
，
故平面
与平面
的夹角的正弦值为
．
4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，已知正三棱柱
的底面边长为2，高为4，点
满足
，
．
(1)证明：
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：方法一：如图①，连接
，
由题意知，
，
，
，
由勾股定理得
，
，
过点
作
⊥
于点
，
，
则
，由勾股定理得
，
故
，因此
，
在矩形
中，
为
的中点，
所以
，
所以
，所以
，
由于
平面
，
所以
平面
，
由于
平面
，所以
．
方法二：设
的中点为
的中点为
，连接
，
以
所在直线分别为
轴建立如图②所示的空间直角坐标系，
则
，
所以
，
由于
，因此
．
（2）设
的中点为
的中点为
，连接
，
以
所在直线分别为
轴建立如图②所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
故平面
与平面
夹角的余弦值为
．
5．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，直三棱柱
.
(1)求证：
；
(2)若
为
中点，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）在直三棱柱
中，
平面
面
，
则
又
，即
，又
，
平面
，
平面
，
所以
平面
又
平面
，所以
在直三棱柱
中，
，则四边形
为正方形
所以
，又
，
平面
，
平面
，
所以
平面
又
平面
，所以
（2）由（1）知
两两互相垂直，
故以
所在直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由于
，设
，则
，
设平面
的法向量为
则：
，取
，则
，得
，
由（1）知
平面
，则平面
的一个法向量为
由图可知二面角
的平面角为锐角，记为
.
则：
，
即二面角
的余弦值为
.
题组四 线线角的几何法
1．（24-25 高三下·黑龙江·阶段练习）在正四面体ABCD 中，M，N 分别是棱AB，CD 的中点，则直线AN 与
CM 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】将正四面体ABCD 中置于正方体中，如图，
易得
，
，
所以四边形
为平行四边形，则
，
则异面直线AN 与CM 所成角即为直线AN 与NE 所成角，
即
为直线AN 与CM 所成角（或补角），
设正方体的棱长为2，则
，
，
在
中，由余弦定理可得，
，
因此直线AN 与CM 所成角的余弦值为
.
故选：C.
2．（24-25 高三上·甘肃白银·期末）若
为正方体，则异面直线
与
所成角的大小为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】连接
，
，如下图：
易知
，所以
为异面直线
与
所成的角（或其补角），
易知
为等边三角形，所以
.
故选：A.
3．（2023·四川·模拟预测）在正四棱台
中，
，其体积为
，
为
的中
点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设正四棱台
的高为，
连接
，作
交
于点
，作
交
于点
，连接
，
则
为异面直线
与
所成角或其补角.
因为
，且正四棱台
的体积为
，
即
，
所以
，即
，
则
，
，
，
，
，
所以
.
故选：D.
4．（2025·四川）在正方体
中，
分别为
的中点，则异面直线
与
所成角
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，取
的中点
，连接
分别为
的中点，
所以
，故
.
所以四边形
是平行四边形，所以
，故
（或其补角）就是异面直线
与
所成的角.
设正方体
的棱长为2，则
，所以
.
又
，所以在
中，有
.
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
.
故选：D.
5．（2026·山西 ）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直
角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若
都是直角圆锥
底面圆的直径，且
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，连接
.
因为
为
中点，且
，所以四边形
为矩形，
所以
，所以
或其补角为异面直线
与
所成的角.
设圆
的半径为1，则
.
因为
，所以
.
所以在直角
中，
，
，
.
所以
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
.
故选：C.
6．（2025·黑龙江大兴安岭地·开学考试）在长方体
中，
分别是
的中点，则异面直线
与
所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】取
的中点
，连接
，因为
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
所以异面直线
与
所成角即为
与
所成角（或其补角），
即
，因为
平面
，
，所以
平面
，
平面
，所以
，
在
中，
.
故异面直线
与
所成角的正切值为
.
故选：A.
题组五 线面角的几何法
1．（2025·陕西咸阳·二模）如图，有一种“迷你”圆台形小灯饰，其下底面的直径为
，上底面的直径为
，高为
，已知点
是上底面圆周上不与直径
端点重合的一点，
是该圆台的一条母线，
为上
底面圆的圆心，当
面积最大时，
与平面
所成夹角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
为下底面圆的圆心，连接
，
和
，可知
为圆台的高，所以
，
当
面积最大时，
为弧
的中点，则
，所以
，
又因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为当
与
均在平面
的同一侧时，
是该圆台的一条母线，
所以
，
，
，
四点共面，且
，又
平面
，
所以平面
平面
，又因为平面
平面
，
所以点
在平面
的射影在直线
上，
则
与平面
所成的角即为
，
因为
，
，
，所以在
中，
.
，
故选：A.
2．（2025·广东茂名·二模）已知圆锥的母线长为定值，则该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，设圆锥的底面半径为，母线为
，则圆锥的高为
，
则圆锥的体积为
，记
，
则
，
由
可得
，由
，可得
，
即函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故当
时，
取得最大值，即圆锥的体积最大，
此时，母线与底面所成的角即
，其余弦值为
.
故选：A.
3．（2025·四川巴中·模拟预测）已知正四棱台
中，上底面
与下底面
的面积之
比为
，且其内切球的半径为2，则
与面
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
如图，根据正四棱台的性质可知，上底面
与下底面
均为正方形，
则
，即
，设
，
，则
，
取
为上下底面中心，取
为
中点，连接
，则
，
根据内切球的性质，球心
为
中点，记
为球与平面
的切点，则
.
所以
，
，
，
因为
，
，
，
根据勾股定理得出
，所以
，
同理
，
.
所以
分别为
的角平分线，即
.
因为
，
，
，
所以
.
连接
，则
，
为
在底面投影，则
位于
上，
，四边形
为矩形，
因为
，
，则
，
所以
，
，
因为面
与面
平行，所以
与面
所成的角即为
与面
所成的角
，
所以
.
故选：A.
4．（2025·上海松江·二模）已知梯形
中，
，
为
上的一点且
，
，
，将
沿
翻折使得二面角
的平面角为
，连接
、
，
为棱
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)当
时，求直线
和平面
所成角正弦值
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）取
的中点
，连接
、
，
因为点
为棱
的中点，且
，所以
且
，
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，同理可得
平面
.
因为
平面
，
平面
，且
，
所以平面
平面
.
因为
平面
，所以
平面
.
（2）过点
作
于点
，连接
，
因为
，
，
，
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
平面
，
平面
，且
，
所以
平面
.
所以
就是直线
和平面
所成角.
由题意得：二面角
的平面角为
，
由（1）易得
，
在
中，由
，
，得
，
取
中点为
，连接
，
因为
分别为
的中点，
所以
，且
，又
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
在
中，由
，
，得
，则
.
在
中，由
，得
，
即得直线
和平面
所成角为
.
5．（2025·福建泉州·二模）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
为
的中点，
为
的中点.
(1)证明:
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）取
中点
，连接
、
，
因为
，所以
，
由于
为
的中点，
为
的中点，所以，
且
，
因为
且
，
为
的中点，所以，
且
，
所以，
且
，故四边形
为平行四边形，所以，
，
又因为
平面
，
平面
，所以，
，
因为
，
，
、
平面
，所以，
平面
，
因为
，故
平面
.
（2）解法1：设直线
与平面
所成角为
，点
到平面
的距离为，
则
，
在
中，由余弦定理可得
，
可得
，解得
，即
，
所以，
，
在Rt
中，
，
，则
，
过点
在平面作
垂直于
的延长线于
，易得
，
因为
平面
，
平面
，则
，
因为
，
，
、
平面
，所以，
平面
，
由于
，
则
，
在
中，
，同理可得
，
又因为
，
为
的中点，所以，
，且
，
所以，
，
又
，即
，所以，
，
因此，
，
因此，直线
与平面
所成角的正弦值为
；
解法2：在
中，由余弦定理可得
，
可得
，解得
，即
，
如图，连接
，
由（1），
平面
，
平面
，则
，
又因为
，
，
，
，则四边形
为正方形，
因为
为
的中点，
，
由于
，
、
平面
，则
平面
，
如图，记
，过点
在平面
内作
，垂足为点
，
连接
，由于
平面
，
平面
，则
，
又因为
，
、
平面
，则
平面
，
所以
即为直线
与平面
所成角，
由于
，则
，
因为
平面
，
平面
，所以，
，
所以，
，则
为
的三等分点，
因为
，则
，
因为
为
的中点，则
，
则
，
，
于是
，即直线
与平面
所成角的正弦值为
；
解法3：因为
平面
，
，
如图，以
为坐标原点，
、
、
的方向分别为
、
、
轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐
标系，
在
中，由余弦定理可得
，
可得
，解得
，即
，
所以，
，
于是
、
、
、
、
，
则
，设平面
的一个法向量为
，
，
，
于是
，令
，则
，
设直线
与平面
所成角为
，
那么
，
即直线
与平面
所成角的正弦值为
.
6．（2025·浙江嘉兴·三模）如图，在边长为2 的正三角形
中，
，
分别为
，
的中点，将
沿
翻折至
，使得
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
.
【解析】（1）连接
，因为
为等边三角形，
为
中点，则
，
又
，且
面
，
面
，
，
面
，
又
面
，所以平面
平面
.
（2）解法一：（等体积法）
过点
作
，垂足为
，
平面
平面
，且平面
平面
，
面
；
又
，
分别为
，
中点，
翻折后，
，
，由对称性可知
，
又
，所以
，由
等面积得
，
设直线
和平面
所成角为
，点
到面
的距离为，
由
得：
，
又
，
，
所以
，
，故直线
与平面
所成角的正弦值为
.
解法二：（几何法）
分别取
，
的中点
，
，连接
，
，
，过点
作
，
为等边三角形，
，
分别为
，
中点，
，
，且
，则
面
；
面
，
面
面
，
平面
平面
，又
，
面
，
，
面
，所以点
到面
的距离即为
，
翻折后，
，
，由对称性可知
，
又
，由勾股定理的逆定理可知
，所以
，
在
中，
，
，故
边上的高为
，
由
等面积得
，
设直线
和平面
所成角为
，所以
，
故直线
与平面
所成角的正弦值为
.
解法三：（坐标法）
过点
作
，垂足为
，
平面
平面
，且平面
平面
，
面
，
又因为
，
分别为
，
中点，
所以翻折后，
，
，由对称性可知
，
又
，所以
，由
等面积得
，
因此以
为坐标原点，
，
分别为
轴，
轴建系如图，
则
，
，
，
，
，
设面
的法向量为
，
，
，
则
不妨令
，则法向量
，
设直线
和平面
所成角为
，则
，
故直线
与平面
所成角的正弦值为
.
题组六 二面角的几何法
1．（2025·河南·模拟预测）如图，在正三棱锥
中，
，
为
的中点.
(1)求证：
；
(2)求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由正三棱锥的性质可知
，
为
的中点，所以
，
由正三棱锥的性质可知
，
为
的中点，所以
，
又
平面
，
所以
平面
，
平面
，
所以
.
（2）过
作
，连接
，
因为
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
所以
，所以
为二面角
的平面角，
设
，则
，
所以等腰三角形
的底边上的高为
，
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
所以
为直角三角形，所以
，
，
所以二面角
的余弦值为
2．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在四棱柱
中，底面
和侧面
均为正方形.
(1)证明:
；
(2)若
，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【解析】（1）由题设，易知四棱柱的棱长都相等，且
，
，
，
由
都在平面
内，则
平面
，故
平面
，
由
平面
，则
，在菱形中
，
而
都在平面
内，则
平面
，
由
平面
，则
；
（2）由（1）知
平面
，令
，则
，
，
过
作
于
，所以
到
的距离
，连接
，
平面
，则
，
都在平面
内，
所以
平面
，
平面
，则
，
所以
即为二面角
的平面角，
，
所以
，所求角的余弦值为
.
3（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，多面体
中，四边形
是平行四边形，
，
，
，
，
在底面
的射影为
的中点
．
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由题意得
平面
，又
平面
，所以
．
因为
，
为
的中点，所以
．
因为
，
平面
，所以
平面
．
由
，得四边形
是平行四边形，故
，
又因为四边形
是平行四边形，
所以
，得
，
所以四边形
是平行四边形，
故
，所以
平面
；
（2）法一：作
且
，连接
．
因为
，
为
的中点，故
，
，
由勾股定理得
，
由（1）知，
，所以
，
由（1）知，四边形
是平行四边形，所以
，
四边形
是平行四边形，所以
，故由
，
又
为公共边，得
≌
．且两三角形关于
对称，
由于
，可得
，
因此
为二面角
的平面角．
由
，
，
又
平面
，
平面
，故
，
，
由勾股定理得
，故
，
因为四边形
是平行四边形，所以
，
在
中，由余弦定理得：
．
故二面角
的平面角的余弦值为
．
法二：由（1）可知，
两两垂直，以
为原点，分别以
所在直线
为
轴，建立空间直角坐标系
，如图所示．
由
，
，由勾股定理得
，
由题意知各点坐标如下：
，
，
，
．
因此
，
，
．
设平面
的一个法向量为
，平面
的一个法向量为
．
由
，即
可取
．
由
，即
可取
．
于是
，
由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，
故二面角
的平面角的余弦值为
4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在多面体
中，
四点共面，四边形
为平行四边
形，
，
，且
．
(1)若平面
与平面
的交线为，证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）如图，连接
．∵
，
四边形
为平行四边形，
．
平面
平面
，
平面
．
平面
，平面
平面
，
．
四边形
为平行四边形，
四边形
为菱形，
．
由题意知
，
，
,
．
．
平面
平面
．
平面
．
平面
平面
．
（2）如图，过点
作
，垂足为
，连接
．取
的中点
，连接
．
由（1）知，
平面
，
平面
．
可知四边形
和四边形
都是矩形，
．
在
和
中，
，
，
．
．
，
，
，
为二面角
的平面角．
，
四边形
是正方形，
．
在
中，
．
，
，
．
在
中，由余弦定理，得
，
平面
与平面
的夹角为
．
5．（2025·江苏苏州·三模）如图，已知四棱锥
中，四边形
为直角梯形，
，
，平面
平面
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求二面角
的正弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）在直角梯形
中，
，
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
又因为
，
，
、
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）分别取
、
的中点
、
，连接
、
、
，如下图所示：
因为
、
分别为
、
的中点，所以
，
在直角梯形
中，
，则
，
因为
为
的中点，
，故
，
，
所以四边形
为矩形，故
，
因为
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
、
平面
，
，所以
平面
.
因为
平面
，所以
，
所以二面角
的平面角为
，
因为
平面
，
平面
，所以平面
平面
，
所以二面角
是二面角
的余角，
因此二面角
的正弦值等于
，
因为
，
因为
，故
，所以
，
综上所述，二面角
正弦值的取值范围是
.
题组七 空间距离
1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）在棱长为
的正方体
中，
，
分别为棱
，
的中
点，
为棱
上的一点，且
，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】建立空间直接坐标系，写出点坐标，利用空间坐标法求点到平面的距离即可.
【详解】以
为原点，
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系
．
则
，
，
，
，所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
令
，则
，
，所以平面
的一个法向量为
．
所以点
到平面
的距离为
，
故选：A
2．（2025·全国·模拟预测）已知正方体
的棱长为3，点
在
上运动，点
在棱
上运
动，
上有一点
满足
，且
，则动点
到平面
距离的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图所示，以
为原点，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，
所以
，
则
，
，
，即
，
连接
，因为
，所以
，
则
，
，
，又
，
平面
，
所以
平面
，
则
是平面
的一个法向量，
设
到平面
距离为
，则
，
由上可设
，
则
，其中
，
故动点
到平面
距离的最小值为
.
故答案为：
.
3．（2025·天津南开·模拟预测）如图，在三棱柱
中，
平面
，且
，
，
，
分别
为
，
，
，
的中点，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）证明：在
中，因为
，且
为
的中点，所以
，
在矩形
中，因为
和
分别为
和
的中点，可得
，
因为
平面
，且
平面
，可得
，所以
，
又因为
，且
平面
，所以
平面
.
（2）解：以
为原点，以
所在直线分别为
轴，
轴和
轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则
，可得
，
设平面
的法向量为
，则
取
，可得
，所以
；
因为
平面
，且
平面
，可得
，
又因为
，且
，
平面
，
所以
平面
，即
平面
，
所以
为平面
的一个法向量，
设平面
与平面
的夹角为
，则
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值
.
（3）解：因为
为
的中点，可得
，所以
，
由（2）知，平面
的法向量为
，
设点
到平面
的距离为
，则
.
4．（2025·天津滨海新·三模）如图，在多面体ABCDGEF 中，四边形ABCD 为直角梯形，且满足
，
，
，
，
平面ABCD．
(1)证明：
平面CDE；
(2)求平面CDE 与平面ABE 夹角的余弦值；
(3)求点G 到直线AB 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）因为
平面
，
平面
，
所以
，
且
，
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
所以
，
由条件可知四边形
是正方形，所以
，
，且
平面
，
所以
平面
；
（2）
如图，以点
为原点，以
为
轴的正方向建立空间直角坐标系，
，
，
，
，
，
，
由（1）可知，平面
的法向量可为
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
所以
，令
，则
，
，
所以平面
的一个法向量
，
设平面CDE 与平面ABE 的夹角为
，
所以
；
（3）
,
所以点
到直线
的距离
.
5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知四棱锥
，
平面
，底面
是矩形，
，
，
，
分别是
与
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）取
的中点
，连接
.
则
.
而底面
为矩形，
是
的中点，
所以
.
所以
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，又
平面
，而
不在平面
内，
所以
平面
.
（2）因为
平面
，四边形
为矩形，所以以
为原点，以
所在直线为
轴建立
空间直角坐标系，如图所示.
则
，
.
所以
.
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，则
.
所以平面
的一个法向量为
，
所以
.
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
（3）因为
，平面
的一个法向量为
.
所以点
到平面
的距离为：
.
6．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
，
分别为
，
的中点．
(1)若平面
与直线
交于点
，求
的值；
(2)若平面
和平面
所成角的余弦值为
，求点
到平面
的距离．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在平面
内作
，
因为
平面
，
平面
，
平面
，
所以
，
所以以
为原点，
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
分别为
，
的中点，
，
，设
，
，
，
，
共面，
存在实数
，
，使得
，
即
，
所以
，解得
，所以
；
（2）设平面
的法向量为
，
，解得
，令
得
，
，
又
，
，
设平面
的法向量为
，
，解得
，令
得
，
，
设平面
和平面
所成的角为
，
，
整理得
，
，
，
，
，
故点
到平面
的距离为
．
题组八 动点问题
1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知
平面
，
，
是等腰直角三角形，其中
，且
．
(1)设线段
中点为
，证明：
平面
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得点
到平面
的距离等于
，如果存在，求
的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
的长为
【解析】（1）取
的中点
，
的中点
，连结
、
、
，
则有
，
，
因为
，
，所以
且
，
所以四边形
是平行四边形，则
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）存在.设
，在
中，
.
因为
平面
，所以
.
因为
平面
，
平面
，
平面
所以
,
，
则
均为直角三角形.
在
中，
，
同理，
.
取
的中点
，因为
，所以
，
而
.
故
.
因为点
到面
的距离等于
，
所以
.
而
，所以
，解得
.
所以在线段
上只存在唯一一点
，当且仅当
时，点
到面
的距离等于
.
2．（23-24 湖南·期中）如图，直四棱柱
的底面是菱形，
，且直线
与平
面
所成角为
．
(1)求直四棱柱
的高；
(2)在棱
上是否能找到一点
，使得平面
与平面
的夹角为
？若能，求出
的值；若不
能，说明理由．
【答案】(1)
(2)能，
【解析】（1）设
，
因为棱柱是直棱柱，且底面是菱形，故
两两垂直，
如图，以
分别为
轴正方向建立空间直角坐标系
，
因为菱形
中，
，
所以
，设
，
则
，
，
所以
设平面
的一个法向量为
，则由
,得
，
令
得，
，
所以
，
因为直线
与平面
所成角为
，
所以
，即
，解得
．
（2）假设能找到这样的点
，
设
，且
，
则
，
设平面
的一个法向量为
，则由
,得
，
令
得，
，
则
，
由平面
与平面
的夹角为
，
可得
，即
，解得
，
所以能找到这样的点
，
此时，
，故
．
3．（2024·北京）如图，在多面体
中，平面
⊥平面
.四边形
为正方形，四边形
为梯形，且
.
(1)求证：
⊥
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)线段BD 上是否存在点M，使得直线
平面
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
(3)存在，
【解析】（1）因为四边形
为正方形，所以
⊥
，
因为平面
⊥平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
⊥平面
，
因为
平面
，所以
⊥
；
（2）因为
⊥平面
，
平面
，
所以
⊥
，
⊥
，
又
，故
，
，
两两垂直，
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
因为
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，
解得
，令
，则
，
则
，
，
设直线
与平面
所成角的大小为
，
则
；
（3）设
，即
，
当
时，
与
重合，此时
与平面
不平行，
当
时，设
，则
，
解得
，故
，
设平面
的法向量为
，
则
，
令
，则
，故
，
则
，解得
，
故线段BD 上存在点M，使得直线
平面AFM，此时
.
4．（24-25 高二上·陕西汉中·期末）图1 是边长为
的正方形
，将
沿
折起得到如图2 所示的
三棱锥
，且
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)棱
上是否存在一点
，使得平面
与平面
的夹角的余弦值为
，存在，指出点
的位置；若
不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，且点
为线段
靠近
的三等分点
【解析】（1）取
的中点为
，连接
、
，作图如下：
因为四边形
是边长为
正方形，所以
，
，
在
中，
，则
，
因为
，
、
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）易知
是以
为斜边的等腰直角三角形，且
为
的中点，则
，
又因为
平面
，
以
为原点，分别以
、
、
所在直线为
、
、
轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则
、
、
、
，
设
，则
，设
，
，
可得
，解得
，所以
，
则
，
，
设平面
的法向量
，可得
，
令
，则
，
，所以平面
的一个法向量
，
由图易知平面
的一个法向量
，
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
化简可得
，解得
或
（舍去），
所以存在满足题设条件的点
，点
为线段
靠近
的三等分点.
5．（24-25 高三上·四川·期中）如图，在四棱锥
中，底面
是直角梯形，
，
且
，侧面
是正三角形，侧面
底面
，E 为
中点，作
交
于
F．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值；
(3)在平面
内是否存在点Q．使得
，若存在，求动点Q 的轨迹长度；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)不存在，理由见解析.
【解析】（1）由侧面
底面
，侧面
底面
，
面
，
又底面
是直角梯形，
，故
，
所以
面
，
面
，则
，
由侧面
是正三角形，E 为
中点，则
，
而
且都在面
内，则
面
，
面
，
所以面
面
，而
，面
面
，
面
，
所以
平面
.
（2）依题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，
，
所以
，
，
令
是面
的一个法向量，则
，
令
，则
，
令
是面
的一个法向量，则
，
令
，则
，
所以平面
与平面
的夹角的余弦值
.
（3）由
，即
，故
点在以
为直径的球体与平面
的交线上，
又
，其中点坐标为
，则
，
由（1）（2）知，
是面
的一个法向量，
所以
到面
的距离
，
所以以
为直径的球体与平面
不相交，故不存在
使
题组九 空间几何体外接球
1．（24-25 河南平顶山·期末）如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，
，M，N，E 分别为BC，AC，PC 的中点.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，
，三棱锥
的外接球为球O.
（ⅰ）证明：A，B，C，O 四点共面；
（ⅱ）求直线PO 与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【解析】（1）因为M，N，E 分别为BC，AC，PC 的中点，
所以
，因为
在平面
外，
平面
，
所以
平面
，
平面
，又
，所以平面
平面
；
（2）（ⅰ）证明：取
中点
，连接
，因为
，
，所以
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，且
，
设
外接圆圆心为
，半径为，则
，
所以
，所以
，
所以Q 点即为球心O，所以A，B，C，O 四点共面；
（ⅱ）由（ⅰ）可得
，
在
中，
，
在
中
，
在
中，
，故
，
设
到平面
的距离为，则
，
又
，
所以
，
设直线与平面所成的角为
，故
.
2．（2025 高三下·全国·专题练习）如图所示的四棱锥
中，
平面
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)
，
，
，
，
在同一个球面上，设该球面的球心为
．证明：
在平
面
上；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）在四棱锥
中，
⊥平面
，
，
平面
，
平面
，
∴
，
，
∵
平面
，
平面
，
，
∴
平面
，
∵
平面
，
∴平面
平面
.
（2）法一：
在四棱锥
中，
，
，
，
∥
，
，
，
建立空间直角坐标系如下图所示，
∴
，
若
，
，
，
在同一个球面上，
则
，
在平面
中，
∴
，
∴线段
中点坐标
，
直线
的斜率：
，
直线
的垂直平分线
斜率：
，
∴直线
的方程：
，
即
，
当
时，
，解得：
，
∴
在立体几何中，
，
∵
解得：
，
∴点
在平面
上.
法二：
∵
，
，
，
在同一个球面上，∴球心到四个点的距离相等
在
中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心，
作出
和
的垂直平分线，如下图所示，
由几何知识得，
，
，
，
∴
，
∴点
是
的外心，
在
中，
，
，
由勾股定理得，
∴
，
∴点
即为点
，
，
，
所在球的球心
，
此时点
在线段
上，
平面
，
∴点
在平面
上.
3．（24-25 高三下·广东深圳·阶段练习）如图所示，斜三棱柱
中，
为AB 的中点，
为
的
中点，平面
平面
．
(1)求证：直线
平面
；
(2)若三角形
是等边三角形且边长为2，侧棱
，且异面直线
与
互相垂直，求异面直线
与
所成角正切值；
(3)若
，
，
，若三棱柱
有内切球，求三棱柱
的体
积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)24
【解析】（1）如图，连接
交
于
点，连接
，
得
为
的中点，而
为
的中点，由中位线定理得
，
因为
平面
，
平面
，故
平面
.
（2）因为
，所以
为
与
所成角．
因为
为正三角形，
为
的中点，所以
，
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，所以
平面
，而
平面
，
故
，
．又因为
，
，
平面
，所以
平面
，而
平面
则
，则
，
设
，得到
，
，
则
，
，
故由勾股定理得
，
则
，
解得
，故
，则
，
即异面直线
与
所成角正切值为
．
（3）我们首先来证明三余弦定理，我们记
为平面
上方的一点，
过
的斜线在平面
上的射影为
，
为平面
内的任意一条直线，
记
为斜线角，
为线面角，
为射影角，如图，我们给出如下三角形，
在此图中，
，
，
是直角三角形，
则
，
，
，
得到
，即三余弦定理得证，
如图，作
于
点，作
于
点，连接
，
因为
，所以
，而
，
面
，则
平面
，
故三棱柱
内切球半径等于
的内切圆半径，
在
，
而平面
平面
，由三余弦定理得
，
，结合同角三角函数的基本关系得
，
故
，
同理
，
得到
，
因为
，所以
，
则
，解得
，则
，则
为正三角形，
设内接球半径为，则
，解得
，
因为
，
，所以由余弦定理得
，
且
，由同角三角函数的性质得
所以
，则
．
4．（25-26 高三上·安徽·开学考试）在矩形ABCD 中，
，E 为AD 的中点，将点D 沿着CE 翻折到
点P，形成四棱锥P－ABCD，其中二面角P－EC－D 大小为
．
(1)证明：
；
(2)当
时，求直线PB 与平面PEC 所成角的正弦值；
(3)求四面体PABC 的外接球表面积的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）证明：取EC 中点为T，连接DT，PT，则由等腰三角形的性质可知
，
，
因为
，
平面PDT，故
平面PDT，
因为
平面PDT，所以
．
（2）过P 作
，垂足为
，
由（1）可知
且
为二面角P－EC－D 的平面角，
故
，当
时，
，
，
因为
平面ABCD，故平面
平面ABCD，
平面
平面
，
平面PDT，
故
平面ABCD，
连接BD 与AC 交于点O，如图以点O 为原点，
以过点O 且与BC 平行的方向为x 轴，以过点O 且与CD 平行的方向为y 轴，
以过点O 且与平面ABCD 垂直的方向为z 轴，建立空间直角坐标系，
可得
,P
，
，
，
，
设平面PEC 的一个法向量为
，
则
，令x＝1，可得
，
设直线PB 与平面PEC 所成角为α，
则
，故直线PB 与平面PEC 所成的角的正弦值为
．
（3）由（2）知，
，P
，
由于球心在过△ABC 的外心且垂直于平面ABC 的直线上，
所以设球心
的坐标为
，半径为
,
因为
，
所以
，
解得
，
而
，所以
，
，
，
，
所以四面体PABC 的外接球表面积的取值范围为
.
5．（25-26 高三上·安徽·开学考试）三棱锥
中，
，
，
．点P 在底面
上的射影E 是线段
上靠近点A 的四等分点．
(1)求
与平面
所成角的正弦值；
(2)求三棱锥
外接球表面积；
(3)设
靠近
的四等分点为F，D 是平面
内的动点，且C，D 在直线
的两侧，满足
．
试探究是否存在点D 使得平面
平面
？若存在，请求出
的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；
【解析】（1）法一：连接
，由题意
，
，
，
因
，
，则
，即
是等腰直角三角形，
故
，在
中，由余弦定理：
，
因
，
，
设
为
到平面
的距离，
由
，可得：
，即：
，
设
与平面
所成角为
，则
，
即直线
与平面
所成角的正弦值为
.
法二：连接
，因为
在底面
上的射影
是线段
靠近点
的四等分点，
可得
平面
，因
平面
，所以
，
在直角
中，可得
，
又因为
平面
，所以平面
平面
，且交线为
，
过
作
于点
，连接
，
因为
平面
，由面面垂直的性质，可得
平面
，
故
为
与平面
的所成角，
在
中，
，
，
，
由余弦定理得
，所以
，
又由
，解得
，
在
中，由
，所以
，
即直线
与平面
所成角的正弦值为
.
（2）因
，则三棱锥
外接球的球心
在过
中点
且与平面
垂直的垂线上，
以点
为坐标原点，
所在直线为
，
轴，过点
平行于
的直线为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，设三棱锥
外接球的半径为
，
设
，由
，∴
，
∴
，故
，
，故三棱锥
外接球的表面积为
．
（3）依题意，
，
，
，
，
，
设
，由
，
∴在平面
中，点D 在以E、F 为焦点的椭圆上，则
（*），
设平面
的法向量
，因
，
，
因
，即
，故可取
，
设平面
的法向量
，因
，
，
由
，∴
，故可取
，
由
可得
，将其代入（*），解得
（舍）或
，
此时
．而
，故
．
6．（24-25 高三上·河南开封·阶段练习）如图，四棱锥
中，
底面
，
，
，
.
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若
，且二面角
的正弦值为
，求
；
(3)当
，
时，四棱锥
的外接球表面积与（2）中四棱锥
的外接球表面积
相等么？若相等，请求出四棱锥
的外接球表面积；若不相等，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)答案见解析
【解析】（1）在四棱锥
中，
底面
，
底面
，
故
，又
，
平面
，故
平面
，
又
，
，
，
，故
，
底面
，
底面
，
故
，
平面
，故
平面
，
因此
，同时注意到
平面
，
平面
，则
平面
.
（2）如图：
过点B 作
，垂足为
，过
作
于点
，连接
，
由于
底面
，
平面
，故平面
底面
，
且两平面的交线为
,
平面
，故
平面
，
平面
，则
，
又
，
平面
，
故
平面
，
平面
，故
，
所以
是二面角
的平面角，
，故
，
因此
，
在
中，
，
故二面角
的正弦值为
，
当
，二面角
的正弦值也是
，则点D 为点B 关于直线
的对称点，此时
.
（3）第（2）问的情况下，由（2）可知三角形
与
全等，故均为直角三角形，且
均为斜边，
因此底面四边形
的外接圆半径为
，
在第（3）问下：即
，
条件下时，
由
和（1）知：
，
又
，因此三角形
与
均为直角三角形，且
均为斜边，
因此底面四边形
的外接圆半径为
，
由于两种情况下，四边形
的外接圆半径相等，又
平面
，故其外接球的半径一定相等，因此
四棱锥
的外接球表面积在两种情况下是相等的.
且球半径为
，表面积为
.
