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6.2 空间几何中的平行（精讲）
考向一 证明线面平行常用的方法
【例1-1】（2025 高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱
中，E，F 分别为线段
，
上的点，
，
，
．求证：
平面
．
【答案】证明见解析
【解析】因
，
，则
，故
，
在三棱柱
中，
，则
，
因
平面
，
平面
，则
平面
.
【例1-2】（2025 高三·云南）如图，四棱锥
中，
平面
，底面
是正方形，
，
为
中点，求证：
平面
.
【答案】证明见解析
【解析】连接
，交
于
，如下图所示：
因为底面
是正方形，故
为
的中点，所以
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
【例1-3】（2025 高三广东）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，E，F 分别为
，
的中
点，求证：直线
平面
.
【答案】证明见解析
【解析】取
的中点G，连接
.
因为F 为
的中点，所以
且
，
因为底面
为正方形，E 为
中点，所以
且
，
所以
且
，所以四边形
为平行四边形，所以
.
因为
平面
，
平面
，
所以直线
平面
.
【例1-4】（2025 高三河南）如图，在几何体
中，四边形
为平行四边形，BF‖
.证明：
平面
.
【答案】证明见解析；
【解析】由四边形
为平行四边形，得
，
平面
，
平面
，
则
平面
，又
，同理
平面
，
而
，
都在平面
内，则平面
平面
，
又
平面
，所以
平面
.
【例1-5】（24-25 江西）如图，四边形
是平行四边形，点
是平面
外一点.已知
，
分别是
，
的中点，在
上取一点
，过
和
作平面交平面
于
.
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】 （1）
法一：取
中点
，连接
，
，
，
易知
为
中位线，故
，且
，
因为四边形
是平行四边形，所以
，
，
故
，又因为
是
的中点，所以
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
法二：连接
，交
于
，连接
，如下图：
因为四边形
是平行四边形，所以
为
中点，
又因为
为
中点，所以
为
的中位线，
所以
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为四边形
是平行四边形，所以
为
中点，
又因为
是
的中点，所以
为
的中位线，
所以
，又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，又因为
，
平面
，
平面
，所以平面
平面
，
因为
平面
，所以
平面
.
（2）连接
，交
于
，连接
，如下图：
因为四边形
是平行四边形，所以
是
的中点，
又因为
是
的中点，所以
为
的中位线，
所以
，
又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，平面
平面
，
所以
.
【一隅三反】
1.（24-25 山西）如图，多面体
中，
，底面
是矩形，
为
的中点，证明：
平面
【答案】证明见解析
【解析】如图，连接
交
于点
，连接
．因为
是矩形，故
为
的中点．
又因为
为
的中点，故
．又
平面
，
平面
，
所以
平面
．
2.（24-25 邢台）如图，在正四棱锥
中，，
是
的中点，点
在线段
上，且
，点
在线段
上（不与点
重合），
与
交于点
，证明：
平面
【答案】证明见解析
【解析】因为四边形
是正方形，所以，
且
，
因为
为
的中点，则
，
又因为
，则
，所以，
，
因为
平面
，
平面
，因此，
平面
.
3.（2025 湖南）如图所示，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，点
为棱
的中点．设平面
与直线
相交于点
，求证：
平面
．
【答案】证明见解析
【解析】因底面
为平行四边形，故
，
因
平面
，
平面
，故
平面
，
又因平面
平面
，
平面
，故
，
因
平面
，
平面
，
故
平面
．
4.（2025·安徽黄山）如图，四棱锥
中，
，
，
，点
在棱
上，当
时，求证：
平面
【答案】证明见解析
【解析】连接
交
于点
，连接
，
由
知，
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
又
平面
，
平面
，∴
平面
．
5．（2025 高三陕西）如图，在正方体
中，棱长为2，
是棱
的中点，
是
的中点，
，证明：
平面
.
【答案】证明见解析
【解析】如图所示，取
的中点
，在
上取
，连接
,
因为
是
的中点，
是
的中点，所以
，且
，
因为
，
，所以
，且
，
即得
，
，故四边形
是平行四边形，则
，
因为
平面
平面
，所以
平面
.
6．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在正四棱台
中，
．求证：
平面
．
【答案】证明见解析
【解析】连接
交
于点
，连接
，
是正四棱台的对角面
与下底面和上底面的交线，则
，即
；
又
，所以
，即
，
所以
是平行四边形，所以
，
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
；
7．（2025 山东）如图，在
中，
，点
分别在边
上，且
，
，
将
绕着
旋转至
，连接
，
，
分别为线段
，
的中点，
分别为线段
的中点，求证：
平面
．
【答案】证明见解析
【解析】证法1：如图:
记
的中点为
，连接
．
因为
分别为
，
的中点，
所以
∥
．
又因为
分别为
的中点，
所以
∥
，所以
∥
．
又因为
平面
，
平面
，所以
∥平面
，
同理可得
∥平面
，
因为
，
平面
，
所以平面
∥平面
，
又因为
平面
，所以
∥平面
．
证法2：如图，连接
并延长，交
于点
，连接
，
因为
分别为
，
的中点，所以
∥
.
所以
为
中点.
所以
，所以
为
的中点.
又
为
中点，所以
∥
.
又
平面
，
平面
，所以
∥平面
.
证法3：如图：
记
的中点为
，分别记
的中点为
，连接
，
因为
为
中点，所以
∥
，且
.
因为
为
中点，所以
∥
，且
.
因为
为
中点，所以
∥
且
.
同理可得：
∥
且
.
所以
∥
，
，所以四边形
为平行四边形，
所以
∥
，
平面
，
平面
,所以
∥平面
.
考向二 证明面面平行
【例2】（24-25 陕西 ）由正方体
截去三棱锥
后得到的几何体如图所示，
为AC
与BD 的交点.
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）取
的中点
，连接
.
则
.
所以四边形
为平行四边形，所以
.
因为
平面
，
不在平面
内，
所以
平面
.
（2）因为
，
平面
，
不在平面
内，
所以
平面
.
由（1）知，
平面
.
因为
平面
，
所以平面
平面
.
【一隅三反】
1．（2025 河南）如图，在四棱锥
中，
为等边三角形，
，
，
，
，点E，F 分别为
，
的中点.求证：平面
平面
.
【答案】证明见解析
【解析】在
中，点
分别为
的中点，
所以
，因为
平面
，而
不在平面
内，
所以
平面
.
因为
，所以
.
因为
为等边三角形，所以
，
所以
.
又易知
，所以
.
又因为
平面
，而
不在平面
内，
所以
平面
.
又
平面
，
所以平面
平面
.
2．（2025 湖北）如图，正四棱锥
的底面为平行四边形．
、
、
分别为
、
、
的中点．
求证：平面
平面
．
【答案】证明见解析；
【解析】因为
、
、
分别为
、
、
的中点，底面
为平行四边形，所以
，
，
又
平面
，
平面
，则
平面
，
同理
平面
，
平面
，可得
平面
，
又
，
平面
，所以平面
平面
．
3.（2025·河南）如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，若
，
，求证：平面
平面
【答案】证明见解析
【解析】因为
，
，则
，所以，
，
因为
平面
，
平面
，所以，
平面
.
因为
，
，所以，
，
由余弦定理可得
，
因为
，所以，
，故
，
在
中，
，
，
，
所以，
，
因为
为锐角，所以，
，故
，
因为
平面
，
平面
，所以，
平面
，
因为
，
、
平面
，所以，平面
平面
.
考向三 平行中的动点
【例3-1】（24-25 湖北）如图，在三棱锥
中，点D、F 分别为棱PB，AC 上的点，且
，
，E 为线段BC 上的点，若
，且满足
平面PEF，则λ=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，取
的中点
，连接
，
由
，所以
为
的中点，又
为
的中点，所以
PE，
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，且
，
平面
，
所以平面
平面
，由
平面
，所以
平面
又
平面
，平面
平面
，所以
又
，所以
，所以
，故
故选：A
【例3-2】（2025 湖南）如图，在矩形
中，点
在边
上，且满足
，将
沿
向上翻折，使点
到点
的位置，构成四棱锥
，若点
在线段
上，且
平面
，试确
定点
的位置
【答案】点
为线段
上靠近点
的三等分点；
【解析】如图，过点
作
交
于点
，连接
，
因为
，所以
四点共面，
若
平面
，由
平面
，平面
平面
，
所以
，所以四边形
为平行四边形，
,则
，
所以当且仅当点
为线段
上靠近点
的三等分点时，
平面
.
【一隅三反】
1．（24-25 河北邢台）如图，四棱柱
中，四边形
为平行四边形，
，
分别在线段
，
上，且
，
在
上且平面
平面
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
延长
，连接
，
由四边形
为平行四边形可知
，
则
，即
，
又平面
平面
，且平面
平面
，
平面
平面
，则
，
又
，所以
，
由四棱柱可知
，
，
即
，
，
又
，
，
故选：A.
2．（23-24 海南）如图，在正方体
中，
是棱
的中点，点
在棱
上，且
，
若
平面
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解法一：以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴､
轴､
轴，建立如图所示的空间直角坐
标系，设正方体的棱长为1，
则
，
，可得
，
设
是平面
的法向量，则
，
令
，则
，即
，
由
，且
，可得
，
又因为
，则
，
由
平面
，可得
，
解得
.
解法二：如图，取
中点
，连接
，易证
，
所以平面
即为平面
，
易知当
为
的中点时，
，
平面
，
平面
，
从而
平面
，所以
.
故选：C.
3．（2025 高三·全国·专题练习）如图所示的多面体中，四边形ABCD 是菱形且
，
，
平面ABCD，
，点N 为PC 上的动点. 求证：存在点N，使得
.
【答案】证明见解析
【解析】证明：设平面
与
交于点
，
因为四边形
是菱形，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
.
又
，
平面
，
平面
，所以
平面
.
又
，
平面ADM，
所以平面
平面
.
又
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，平面
平面
，
所以
，所以结论成立.
4．（24-25 湖北武汉·期末）如图，在三棱柱
中，E，F 分别为线段
，
上的点，
，
，
.
(1)求证：
平面
.
(2)在线段
上是否存在一点
，使平面
平面
?请说明理由.
(3)若四棱锥
的体积为1，求三棱柱
的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
(3)
【解析】（1）证明：因为
，
分别为线段
上的点,
,
所以
.又因为
，所以
.
又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）取
的点
，
，连接
，
.则
.
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
同理可得，
平面
，又因为
，
，
平面
，
所以平面
平面
，
故在线段
上存在一点
，使平面
平面
.
（3）由题意可得
，则得
,
所以
.
故三棱柱
的体积为
.
考向四 平行的判定定理及性质定理的辨析
【例4】（24-25 北京 ）已知直线
，平面
，给出下列四个命题：
①若
，则
； ②若
，则
；
③若
，则
④若
，则
.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】A
【解析】对于①，若
，则
或
，故①错误；
对于②，若
，则
可共面，也可异面，不一定得到
，故②错误；
对于③，若
，则
或
，故③错误；
对于④，若
，则
不一定平行
，
也可以与
异面,，故④错误.
故选：A.
【一隅三反】
1．（24-25 高三上·上海·阶段练习）已知、
、
是三条不重合的直线，
、
、
是三个不重合的平面，则
下列结论正确的是（ ）
A．若
，
，
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】D
【解析】对于A 选项，若
，
，
，
，则
、
平行或相交，A 错；
对于B 选项，若
，
，则
、
平行或相交，B 错；
对于C 选项，若
，
，则
或
，C 错；
对于D 选项，若
，
，则
，D 对.
故选：D.
2．（24-25 江苏 ）已知
为两条不同直线，
为三个不同平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】D
【解析】对于选项A：若
，所以
可能平行也可能异面，所以A 错误；
对于选项B：若
，所以
可能与平面
平行，也可能在平面
内，所以B 错误；
对于选项C：若
，那么
，也可能平面
相交，所以C 错误；
对于选项D：根据平行平面的传递性，若
，则
.所以D 正确.故选：D.
3．（24-25·四川成都）对于不同直线
和平面
，下列叙述错误的是（ ）
A．
，则
B．
，则
C．
，则
D．
，则
【答案】A
【解析】对于A，由
可得
或
，故A 错误；
对于B，由面面垂直的性质定理：若两平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面.
即可判断B 正确；
对于C，利用面面平行的判定定理：若一个平面中的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面互相平
行.即可判断C 正确；
对于D，如图，经过直线
作一个平面
，设
，因
，则
，故
，
因
，则
，又
，则
，故
.故D 正确.
故选：A.
4．（24-25 湖南）设
是两个不同的平面，
，
是异于的一条直线，则“
”是“
且
”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当
时，
可能在
内或者
内，故不能推出
且
，所以充分性不成立；
当
且
时，设存在直线
，且
，
因为
，所以
，根据直线与平面平行的性质定理，可得
，所以
，即必要性成立，
故“
”是“
且
”的必要不充分条件．
故选：A．
考向五 线面平行性质应用---轨迹及轨迹长
【例5-1】（24-25 甘肃）柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”.柱子在各个时
期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、
人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为
，其底面边长
是3，侧棱长是
，M 为
的中点，N 是侧面
上一点，且
平面
，则点N 的轨迹长为
（ ）
A．27
B．
C．12
D．6
【答案】B
【解析】分别取
，
的中点
，
，连接
，
.
因为
，
，
所以
，
平面
，
平面
.
所以
平面
.又
，
平面
，
平面
.
所以
平面
，
平面
，
所以平面
平面
.
所以当点
在线段
上运动时，有
平面
，
所以点
的轨迹长为
.故B 正确.
故选：B.
【例5-2】（2025·重庆·模拟预测）正方体
的棱长为
是棱
的中点，
是侧面
内一点，且
平面
，则
长度的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】取
的中点为
，
连接
，
由中位线易知
，
又
在平面
内，
不在平面
内，
所以
平面
，
平面
，
又
是平面
内两条相交直线，
所以平面
平面
，
又
平面
，
所以
在平面
内，又
是侧面
内一点，
所以
的轨迹是线段
,
易知
,
，
所以
长度的取值范围是
.
故选：C
【一隅三反】
1．（24-25 北京）如图，在长方体
中，
，
，点
，
分别为
，
的
中点，点
为长方形
内一动点（含边界），若直线
平面
，则点
的轨迹长度为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在长方体
中，取
的中点
，连接
,
由点
为
的中点，得
，则四边形
是平行四边形，
，又
，则四边形
是平行四边形，
于是
，取
中点
，在
上取点
，使得
，连接
，
而
，则四边形
为平行四边形，
，而
平面
，
平面
，
于是
平面
，由
为
的中点，得
，而
平面
，
平面
，
则
平面
，又
平面
，因此平面
平面
，
由直线
平面
，点
平面
，则点
在平面
与平面
的交线上，
从而点
的轨迹是线段
，而
，
所以点
的轨迹长度为
.
故选：C
2．（24-25 辽宁锦州·期末）在正三棱柱
中，
，外接球表面积为
，P 为
的中点，Q
为侧面
内（含边界）一点，若
平面
，则点Q 运动轨迹的长度为（ ）
A．
B．3
C．
D．4
【答案】A
【解析】设正三棱柱
的外接球半径为
，
则
，解得
，
设
的中点分别为
，连接
，
在
上分别取
，使得
，
故
分别为等边三角形
和等边三角形
的中心，
连接
，则
的中点即为正三棱柱
的外接球球心
，
即
，设正三棱柱
的高为，则
，
，
因为
，所以
，
，
则
，解得
，
因为P 为
的中点，所以
，又
，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
取
的中点
，连接
，则
，同理可证
平面
，
因为
，
平面
，所以平面
平面
，
故当
在线段
上时，
平面
，故
平面
，
故点Q 运动轨迹的长度为
的长，
.
故选：A
3．（24-25 ·福建）已知正四棱柱
的侧棱长为3，底面边长为2，E 是棱
的中点，F 是棱
上靠近点C 的三等分点，动点P 在侧面
（包括边界）内运动，若
平面
则线段
长度的
最小值是（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】C
【解析】
取
的中点
，
上靠近点
的三等分点为
，
上靠近点
的三等分点为
，
上靠近点
的三等分点为
，连接
，
，
，
，
，
，如图所示.
在正四棱柱
中，
∵
，且
，
∴四边形
是平行四边形，∴
.
又
平面
，
平面
，∴
平面
.
∵
，
分别是
和
的中点，∴
.
同理可知
，
又
，
∴四边形
是平行四边形，∴
.
∴
.
又
平面
，
平面
，∴
平面
.
又
，
平面
，
平面
，
∴平面
平面
.
∵
平面
，动点P 在矩形
（包括边界）内运动，
∴点
在线段
上运动.
在
中，易求
，
，
为等腰三角形，
∴点
为线段
的中点时，
取得最小值.
此时
，
即
的最小值为
.
故选：C.
4．（2025·河南·二模）如图，已知正方体
的棱长为2，
，
分别是棱
，
的中点，若
为侧面
内（含边界）的动点，且
平面
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示，取
的中点
，连接
，
，
，
在正方体
中，可得
且
，
因为
，
分别是棱
的中点，则
且
，
所以四边形
为平行四边形，则
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
同理可证：
平面
，
因为
，且
平面
，所以平面
平面
，
又因为
平面
，当
时，则
平面
，所以
平面
，所以点
在侧面
内的轨迹为线段
，
因为正方体
的边长为
，可得
，
，
在
中，可得
，且
，
则
，所以
的最小值为
.
故选：B.
