文档文本内容
5.1 等差数列（精练试卷版）
题组一 等差数列基本量的计算
1.（2025·全国二卷·高考真题）记
为等差数列
的前n 项和，若
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设等差数列
的公差为d，则由题可得
，
所以
.故选：B.
2．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）已知
是等差数列
的前
项和，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，则
，所以
，
又
，所以数列
的公差为
，所以
，
则
，故选：B.
3.（2025·北京海淀·三模）等差数列
的首项为1，公差不为0，若
成等比数列，则
的前6 项和
为（ ）
A．51
B．66
C．
D．6
【答案】A
【解析】设等差数列
的公差为
，由
成等比数列，得
，
又
，解得
，所以
的前6 项和
.故选：A
4（2025·甘肃白银·模拟预测）在正项等差数列
中，
且
，
，
成等比数列，则
（ ）
A．7
B．11
C．18
D．1
【答案】A
【解析】设正项等差数列
公差为
，
又
，所以
，
，
因为
，
，
成等比数列， 所以
，则
，解得
或
（舍
去），
则
，故
．故选：A
5.（2025·山东泰安·模拟预测）已知等差数列
的公差为2，
，
，
成等比数列，则
的前
项和为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设等差数列
的首项为
，公差为
，可得
，
，
.
因为
，
，
成等比数列，所以
，即
.
展开等式左边可得
，展开等式右边可得
.
则
，可得
，解得
.
根据等差数列的前
项和公式，将
，
代入可得：
.
的前
项和为
.
故选：A.
6.（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知
是等差数列，公差
，且
，
，
成等比数列，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵
成等比数列，∴
，整理得
，又
∴
∴
故选：C．
7．（2025·湖北·模拟预测）若数列
满足
，其前
项和为
，若
，则
（ ）
A．0
B．1
C．5
D．11
【答案】D
【解析】因为
，所以数列
为等差数列.
设首项为
，公差为
，则
.所以
.故选：D
8．（2025·安徽·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】A
【解析】在等差数列
中，由
，得公差
，
又
，即
，解得
，所以
.故选：A
9．（2025·海南·模拟预测）设等差数列
的前
项和为
，数列
的前
项积为
，若
，
，则
．
【答案】
【解析】设等差数列
的公差为
，则
，可得
，
因为
，所以
，
所以
，即
，则
，
所以
，则
，
故
.
故答案为：
.
题组二 等差中项及应用
1．（2025·北京怀柔·一模）在等差数列
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
可得
，故
，故选：D
2．（23-24 北京·期中）等差数列
中，设前
项和为
，
，则
等于（ ）
A．80
B．85
C．90
D．95
【答案】B
【解析】由题意可得
，故选：B.
3．（2024·辽宁·二模）记等差数列
的前n 项和为
，
，则
（ ）．
A．13
B．26
C．39
D．78
【答案】D
【解析】因为
为等差数列，所以
.故选：D.
4．（2024·全国·模拟预测）在等差数列
中，已知
与
是方程
的两根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
与
是方程
的两根，由韦达定理得
，
因为数列
为等差数列，所以
，
，
所以
，
故选：B.
5．（2025·山东·模拟预测）记
为等差数列
的前
项和，
，
，则
（ ）
A．58
B．63
C．75
D．84
【答案】D
【解析】由
，所以
，又
，所以
，
设该等差数列的公差为d，则由题意可知
，
所以
.故选：D
6．（2025·山西晋中·模拟预测）已知
，
为
和2 的等差中项，则
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得
，即
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，故
的最小值为
.故选：D
7．（24-25 高三上·河南焦作·开学考试）已知
的内角A，B，C 的对边a，b，c 成等差数列，且
，
，则
（ ）
A．5
B．
C．4
D．3
【答案】B
【解析】由题意可知：
，
，
由余弦定理可得，
，
即
，解得
.
故选：B.
8．（2025·陕西安康·模拟预测）已知
中，角A，B，C 与
，
，
分别成等差数列，若
外接圆的面积为
，则
的周长为（ ）
A．
B．6
C．
D．
【答案】A
【解析】因为角A，B，C 成等差数列，所以
，又
，所以
，
又
外接圆的面积为
，所以
外接圆的半径为
，
由正弦定理可得
，
由
，
，
成等差数列，所以
，
所以
，由正弦定理可得
，
所以
的周长为
.
故选：A.
题组三 等差数列前n 项和最值
1．（2025 河北·期中）（多选）数列
的前
项和为
，已知
，则（ ）
A．
是递增数列 B．
C．当
时，
D．当
或4 时，
取得最大值
【答案】BCD
【解析】A 选项，当
时，
，又
，
所以
，因为
，则
是递减数列，故A 错误；
B 选项，由
可得
，故B 正确；
C 选项，令
，解得
，故C 正确；
D 选项，因为
的对称轴为
，开口向下，又
，所以当
或4 时，
取得最大值，故D
正确.
故选：BCD.
2．（24-25 河南 ）（多选）已知
是等差数列
的前
项和，
，且
，则（ ）
A．公差
B．
C．
D．当
时，
最大
【答案】ACD
【解析】设等差数列
的公差为
，由
，得
，
整理得
，即
，
因为
，则
，故A 正确；
，故B 错误；
，故C 正确；
因为
，
，
所以当
时，
；当
时，
，所以当
时，
最大，故D 正确.故选：ACD．
3．（24-25 高三上·江苏扬州·阶段练习）（多选）设等差数列
的前
项和为
，公差为
，
，
，
，下列结论正确的是（ ）
A．
，
B．
C．
D．当
时，
最大
【答案】BC
【解析】因为
，
，
，所以
和
异号，且
，
所以
，
，所以
，故A 错误，B 正确；
，故C 正确；
因为
，
，
，
，所以当
时，
最大，故D 错误.故选：BC.
4．（24-2 湖北·期末）（多选）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则下列结论正确的是
（ ）
A．数列
是递增数列
B．
C．
D．当
取得最大值时，
【答案】BC
【解析】设等差数列
的公差为
，
由题意可得：
，
，
即
，
，且
，即B、C 正确；
因
，故数列
是递减数列，故A 错误；
因
，
，即当
取得最大值时，
，故D 错误.
故选：BC.
5．（24-25 高三上·福建福州·期末）（多选）已知
为等差数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．
为递增数列 B．
为递减数列
C．当
或
时，
的值最大 D．使得
成立的
的最大值是4038
【答案】BC
【解析】已知
为等差数列
的前
项和，且
.
根据等差数列前
项和公式
，那么
.
.
因为
是等差数列，若设公差为
，则
.
这11 项的和
，所以
.
又因为
，
，可得
.
所以
是首项大于
，公差小于
的数列，即
为递减数列，A 选项错误，B 选项正确.
由于
，
，且
.则
，
，
，
，
那么当
或
时，
的值最大，C 选项正确.
根据等差数列前
项和公式
.
（因为
）.
，因为
，
，所以
.
所以使得
成立的
的最大值是
，
选项错误.
故选：BC.
6．（2025·山西临汾·二模）记
为等差数列
的前
项和，公差
，且
，则
取得最小值
时
为（ ）
A．2021
B．4039
C．2020
D．4040
【答案】C
【解析】因为公差
，所以数列
单调递增，所以
，又
，
所以
，所以数列
前
项全为负，从
开始为正，
所以前
项的和
为
的最小值，故
.
故选：C.
7．（24-25 山西 ）（多选）设等差数列
的公差为
，前
项和为
，若
，则下列结
论正确的是（ ）
A．数列
是递增数列
B．
C．
D．
中最大的是
【答案】BD
【解析】对于AC：因为
，
且
，
所以
，
，又因为
，
所以
，解得
；
所以等差数列
是递减数列，故AC 错误；
对于B：因为
，所以
，故C 正确；
对于D：因为等差数列
是递减数列，
且
，
，则
，
，
所以
，
，故D 正确.
故选：BD.
8．（2024·河北石家庄·模拟预测）若数列
为等差数列，
为数列
的前
项和，
，
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由等差数列性质可得
，即
；
又
，所以
,
因此数列
的公差
，且前6 项均为负值，
所以
的最小值为前6 项和，即为
.
故选：B.
9．（2024·四川泸州·一模）
为等差数列，若
，
，那么
取得最小正值时，
的值
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，所以
，
故等差数列
的公差
，且
，即
，
又
，
，
，
得到
，
，
又函数
为二次函数，图象开口向下，
对称轴为
，所以
取得最小正值时，
的值为
，
故选：C.
题组四 等差数列片段和的性质
1．（24-25 高三上·江苏南京·开学考试）已知数列
为等差数列，前
项和为
.若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．9
D．18
【答案】B
【解析】由等差数列片段和的性质可知，
、
、
成等差数列，
所以，
，则
，
故选：B.
2．（23-24 海南·期末）记
为等差数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．144
B．120
C．108
D．96
【答案】B
【解析】记
为等差数列
的前
项和,则
也是等差数列.
由于
，则
成等差数列.
则
，解得
.
则
成等差数列．故
，则
.
故选：B.
3．（23-24 高三上·河北·期末）设
是等差数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由等差数列片段和性质知：
是等差数列.
由
，可设
，则
，于是
依次为
，
所以
，所以
.
故选：B
4．（2025 陕西西安·阶段练习）等差数列
的前n 项和
，若
，则
（ ）
A．10
B．20
C．30
D．15
【答案】A
【解析】由等差数列
有
成等差数列，设为d，
则
，
故
.
故选：A
5．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知
是等差数列
的前
项和，若
，则
．
【答案】84
【解析】因为数列
为等差数列，则
也为等差数列，
可得
，即
，解得
.
故答案为：84.
6．（24-25 湖北·期中）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
.
【答案】7
【解析】因为数列
是等差数列，所以
成等差数列，
即
，即
，解得
.
故答案为：7
7．（2025 高三·全国·专题练习）设等差数列
的前
项和为
，若
，则
.
【答案】18
【解析】设等差数列
的公差为
，
因为
，可得
，
又因为
，解得
，
所以
.
故答案为：18
8．（24-25 湖南）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
．
【答案】
【解析】由等差数列的性质，可得
成等差数列，
所以
，
因为
，可得
，解得
，
所以
构成首项为
，公差为
的等差数列，
则
，故
．
故答案为：
.
题组五 等差数列和与n 的比值
1．（23-24 山东德州·期中）已知等差数列
，
的前n 项和分别为
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，又
.故选：B.
2．（2025 甘肃）若两个等差数列
，
的前
项和分别为
和
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
是等差数列，且
，所以可设
，
，
又当
时，有
，
，
，故选：
．
3．（24-25 重庆 ）等差数列
的前
项和分别是
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
可设
，
则
，
，
所以
故选：D
4．（24-25 山东）数列
，
均为等差数列，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【解析】设数列
，
的前
项和分别为
，
，则
，
，故
，
根据等差数列前
项和的特征，不妨设
，
，
，
,故
，故选：D
5．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设等差数列
，
的前
项和分别为
，
，
，则
．
【答案】
【解析】因为等差数列
，
的前
项和分别为
，
且
，
所以
．故答案为：
.
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）等差数列
，
的前n 项和分别为
，
，已知
，则
的值为
．
【答案】
【解析】在等差数列
中，
，
在等差数列
中，同理
，而
，
所以
．
故答案为：
7．（24-25 高二下·江西·阶段练习）设两个等差数列
的前
项和分别为
，若对任意正整数
都有
，则
的值为 .
【答案】
【解析】因为
为等差数列，所以
．
故答案为：
.
8．（2026 高三·全国·专题练习）两个等差数列
和
的前n 项和分别为
，且
，则
的值
等于 ．
【答案】
/4.75
【解析】因为
，可设
，
则
．
故答案为：
9．（24-2 辽宁丹东·期中）设等差数列
的前
项和分别为
，若
，则
.
【答案】
【解析】因为
，所以
.
故答案为：
.
10．（2025 黑龙江）设等差数列
，
的前
项和分别为
，
，若对任意自然数都
有
，则
的值为 .
【答案】
【解析】由等差数列的性质可得：
．
对于任意的
都有
，
则
．
故答案为：
．
11．（24-25 江苏）在等差数列
中，
，其前n 项和为
，若
，则
．
【答案】
【解析】由等差数列前n 项和的性质可知，数列
也为等差数列，
设其公差为d，则由
，可得
，即
．又
，所以
，
所以
．故答案为：
.
12．（2025 江苏）在等差数列
中,
,其前
项和为
,则
.
【答案】110
【解析】由题知
为等差数列,记数列
,所以
,由
,可知
,
所以
是以2 为首项,1 为公差的等差数列,所以
,
所以
,所以
.故答案为:110
13．（2025 河南）等差数列
中，
，前
项和为
，若
，则
.
【答案】
【解析】设
的公差为
，由等差数列的性质可知，因为
，故
，故
为常数，所以
为等差数列，设
公差为
，
，
，
，
，则
故答案为：
14．（2025 山东）设等差数列
的前
项和为
，若
，则数列
公差为 .
【答案】4
【解析】等差数列可知，
又
，∴
,解得，
故答案为：4
15（2024 河北）已知
是等差数列
的前
项和，若
，
，则
.
【答案】
【解析】设等差数列
的公差为
，则
，则
，
故对任意的
，
，
因此，数列
为等差数列，且其公差为
，
所以，
，可得
，
所以，
，故
.
故答案为：
.
题组六 等差数列的奇数项（偶数项）之和
1．（2025 四川）一个等差数列共有2n 项，奇数项的和与偶数项的和分别为24 和30，且末项比首项大10.5，
则该数列的项数是（ ）
A．4
B．8
C．12
D．20
【答案】B
【解析】根据等差数列的性质得：
，
，
解得：
，故该数列的项数为
.
故选：B
2．（2025 四川·阶段练习）已知等差数列
共有
项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则
的值为（ ）．
A．30
B．29
C．28
D．27
【答案】B
【解析】奇数项共有
项，其和为
，∴
．
偶数项共有n 项，其和为
，∴
．故选：B．
3．（2024·山东）已知等差数列
的项数为奇数，其中所有奇数项之和为
，所有偶数项之和为
，则
该数列的中间项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设等差数列
共有
项，
则
，
，中间项为
，
故
，
，
故选：B.
4．（2025 江苏）等差数列共有
项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则
等于（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】C
【解析】∵S 奇数
=132，S 偶数=
=120，
∴S 奇数-S 偶数=
=12，
∴S2n+1=S 奇数+S 偶数=252=
解得n=10．
故选：C．
5．（2024 广东深圳·期末）等差数列
共有
项，其中奇数项之和为
，偶数项之和为，则
的值是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】等差数列
共有
项，偶数项之和
，
奇数项之和
，因此
，
所以
.
故选：A
6．（2025 江西）已知等差数列
共有
项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则
．
【答案】10
【解析】奇数项有
项，偶数项有
项，所以奇数项和为
，偶数项和为
，故
，解得
.故答案为：10
7．（2025 湖北）等差数列
共有
项，所有的奇数项之和为
，所有的偶数项之和为
，则
等于
．
【答案】
【解析】因为等差数列
共有
项，
所有奇数项之和为
，
所有偶数项之和为
，
所以，
，解得
.
故答案为：
.
8．（2025 河南·阶段练习）在等差数列
中，已知公差
，且
，则
.
【答案】145
【解析】等差数列
中，已知公差
，
.
故答案为：145.
9．（2024 山东）在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10 项中，
＝
，则公差d＝ .
【答案】2
【解析】解:由
,得
,所以
＝5d＝10，所以d＝2.故答案为：2.
10．（2025 甘肃 ）项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则该数列的中间项和项数分
别为 ．
【答案】11，7
【解析】设等差数列
项数为
，
，
，
∴
，解得n=3，∴项数2n+1=7，
又因为
，所以
，所以中间项为11．
故答案为：11，7.
题组七 等差数列的证明与判断
1．（2025·广东广州·三模）已知数列
满足
，
，且对任意的
，
，都有
.
(1)设
，求证：数列
是等差数列，并求出其的通项公式；
(2)求数列
的通项公式；
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】（1）由
有
，
所以
，又
，
，解得
，
又因为
，即
，
所以数列
是以公差为3，首项为
的等差数列，
所以
，
（2）由（1）有
，
所以
，
上式相加有
，
所以
，
所以
；
2．（24-25 贵州·期中）在数列
中，
，
，证明：数列
是等差数列并求数列
的通项公式．
【答案】证明见解析
【解析】数列
中，
，
，则
，
又
，所以
是首项，公差为3 的等差数列，
故
，所以
.
3.（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，
，证明：
为
等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】
，
，
将等式的两边同时除以
，可得
．
，
.
是首项为
，公差为的等差数列；
3．（2025·湖南长沙·二模）已知数列
的首项
，
的前
项和为
且满足
，
证明：数列
是等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为
，所以
，
又
，所以数列
是以1 为首项，以
为公差的等差数列.
4.（24-25 河北·期中）数列
满足
，证明：数列
是等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】方法一：因为
，且
，
，
所以
故
是首项为
，公差为1 的等差数列.
方法二：由题意得
（
），同除以
得
，
因为
，
，
所以
，且
，
故
是首项为，公差为1 的等差数列.
5．（2025·广西北海·模拟预测）已知数列
满足
，且
．
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)求
的通项公式；
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：因为
，所以
，则
，
即
，所以
是以
为首项，4 为公差的等差数列．
（2）由（1）知
，所以
．
6.（24-25 甘肃）已知数列
中，
，
，证明数列
是等差数列，并
求
的通项公式；
【答案】证明见解析，
【解析】当
时，
，所以，
，
又
，所以
，故
是以
为首项，为公差的等差数列，
故
，所以，
．
7.（24-25 广东）已知数列
的前n 项和为
，且
.
(1)求
；
(2)求
的通项公式，并证明
为等差数列；
【答案】(1)
(2)
，证明见解析
【解析】（1）令
可得：
，即
（2）由
，可得：
，两式相减可得：
，
，
当
时，不满足，所以
的通项公式为
，
令
，所以
，由
的通项公式可得：
，
由通项公式可知：
。所以
为等差数列；
题组八 含绝对值的等差数列的前n 项和
1．（2025·天津·高考真题）
，则数列
的前
项和为（ ）
A．112
B．48
C．80
D．64
【答案】C
【解析】因为
，所以当
时，
，
当
时，
，经检验，
满足上式，
所以
，令
，
，
设数列
的前n 项和为
，则数列
的前
项和为
数列
的前
项和为
.故选：C
2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知数列
是公差为2 的等差数列，且
，则数列
的前20 项之和
为（ ）
A．80
B．208
C．680
D．780
【答案】B
【解析】因为
，即
，解得
，
所以
，前
项和
，
所以数列
的前20 项中，前8 项为负数，后12 项为正数，
所以
.
故选：B．
3．（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列
中，
，
，设
，则
（ ）
A．245
B．263
C．281
D．290
【答案】C
【解析】等差数列
中，由
，
，得公差
，
则
，显然当
时，
，当
时，
，
所以
.
故选：C
4．（2024·辽宁·模拟预测）等差数列
的前
项和为
，已知
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设数列
的公差为
，
∵
，∴
，∵
，∴
，∴公差为，∴
，
∴
；
（2）由已知
，
时，
；
时，
；
综上
.
5．（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列
满足
是
与
的等差中项．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，又
，所以
，解得
，
设
的公比为
，因为
是
与
的等差中项，
所以
，
即
，解得
，
从而
，
故等比数列
的通项公式是
；
（2）由（1）知
，所以
，
，
设
的前
项和为
，
当
时，易知数列
是首项为6，公差为
的等差数列，
所以
，
当
时，易知数列
是首项为1，公差为1 的等差数列，
所以
，
所以数列
的前
项和
题组九 等差数列的简单应用
1．（2025·北京海淀·三模）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，
新方案将延迟法定退休年龄每4 个月延迟1 个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周
岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示：
出生时间
1965 年1 月－4
月
1965 年5 月－8
月
1965 年9 月－12
月
1966 年1 月－4
月
…
新方案法
定退休年
龄
60 岁
1 个月
60 岁
2 个月
60 岁
3 个月
60 岁
4 个月
…
那么1970 年5 月出生的男职工退休年龄为（ ）
A．61 岁
4 个月
B．61 岁
5 个月
C．61 岁
6 个月
D．61 岁
7 个月
【答案】B
【解析】解法一：根据题意，出生年月在1965 年1 月－4 月的人的法定退休年龄记为
，
出生年月在1965 年5 月－8 月的人的法定退休年龄记为
，
出生年月在1965 年9 月－12 月的人的法定退休年龄记为
，
，
则
构成等差数列，首项
岁
1 个月，公差
为1 个月，可得
岁
个月．
依此规律，1970 年5 月出生的男职工，他的退休年龄应该是
的第17 项，
即他的退休年龄为
岁
17 个月
岁
5 个月．
解法二：利用枚举法：出生年龄每延后一年，退休年龄延后三个月．
出生年龄
退休年龄
1965.5
60 岁
2 个月
1966.5
60 岁
5 个月
1967.5
60 岁
8 个月
1968.5
60 岁
11 个月
1969.5
61 岁
2 个月
1970.5
61 岁
5 个月
故选：B.
2．（2025·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5 个人分5 钱，
5 人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设第
所得钱数为
钱，则数列
、
、
、
、
为等差数列，
设数列
、
、
、
、
的公差为
，
则
，解得
，故
.
故选：C
3．（2025·河南·二模）某公司购置了一台价值为220 万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年
减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少
（
为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10 年，超过10
年，它的价值将开始低于购进价值的5%，设备将报废.则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设使用
年后，这台设备的价值为
万元，则可得数列
.
由已知条件，得
.
由于
是与
无关的常数，∴数列
是一个公差为
的等差数列.
∵购进设备的价值为220 万元，∴
，
于是
.
根据题意，得
，即
，
解这个不等式组，得
.
∴
的取值范围为
.
故选：B.
4．（24-25 高三上·湖南·期中）为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小张11 月1 日运动了2 分钟，从第二天开
始，每天运动的时长比前一天多2 分钟，则从11 月1 日到11 月15 日，小张运动的总时长为（ ）
A．3.5 小时
B．246 分钟
C．4 小时
D．250 分钟
【答案】C
【解析】依题意可得，小张从11 月1 日开始，第1 天第
､
2 天､
第
､
15 天的运动时长依次成等差数列，
且首项为2，公差为2，所以从11 月1 日到11 月15 日，小张运动的总时长为
分钟
小
时.故选：C
5.（23-24 云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，
，
和
求各项的问题，如九
儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿
岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3 岁，所有
儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子
的岁数为（ ）
A．27
B．31
C．35
D．39
【答案】C
【解析】依题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为
的等差数列，设长子的岁数为
，
则
，解得
，
所以该问题中老人长子的岁数为35.
故选：C
6．（2024·辽宁·模拟预测）2024 年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动
规则如下：将一天内购物不少于800 元的顾客按购物顺序从1 开始依次编号，编号能被3 除余1，也能被4 除
余1 的顾客可以获得春联1 对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000 人，则恰好获得1 对春联
的人数为（ ）
A．167
B．168
C．169
D．170
【答案】A
【解析】将能被3 除余1 且被4 除余1 的正整数按从小到大排列所得的数列记为
，
则
既是3 的倍数，也是4 的倍数，
故
为12 的倍数，所以
是首项为0，公差为12 的等差数列，
所以
，
令
，即
，且
，解得
，
且
，又
，所以恰好获得1 对春联的人数为167．
故选:A
7．（23-24 高三下·上海·开学考试）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、
乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天
干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支
由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸
酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，
以此类推．2024 年是甲辰年，高斯出生于1777 年，该年是（ ）
A．丁酉年
B．丁戌年
C．戊酉年
D．戊戌年
【答案】A
【解析】天干以十年为一个周期，地支以十二年为一个周期.
年与
年相隔
年，
，即天干有24 个周期，余7 年；
，即地支有20 个周期，余7 年.
故甲往前数7 年为丁，辰往前数7 年为酉，
故
年为丁酉年.
故选：A.
8．（2024·山西晋城·一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼
品），第一天打卡得1 积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2 分．若某天未打卡，则当天
没有积分，且第二天打卡须从1 积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3 月1 日开始，到3 月20 日他共得
193 积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（ ）
A．3 月5 日或3 月16 日
B．3 月6 日或3 月15 日
C．3 月7 日或3 月14 日
D．3 月8 日或3 月13 日
【答案】D
【解析】若他连续打卡，则从打卡第1 天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为1，公差为2，第
天
所得积分为
．
假设他连续打卡
天，第
天中断了，
则他所得积分之和为
，化简得
，
解得
或12，所以他未打卡的那天是3 月8 日或3 月13 日．
故选：D
9．（23-24 高三上·江西南昌·阶段练习）某人为购房于2019 年12 月初向银行贷款360 万元，与银行约定按
“等额本金还款法”分10 年进行还款，从2020 年1 月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为0.5%，现
因资金充足准备向银行申请提前还款，计划于2024 年12 月初将剩余贷款全部一次性还清，则他按现计划的所
有还款数额比按原约定所有还款数额少（ ）
（注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为
每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：1 年按12
个月计算）
A．183000 元
B．224500 元
C．274500 元
D．283000 元
【答案】C
【解析】根据题意，截止2024 年12，两种还款方式所还利息相同，且两种还款方式最终所还本金相同，所以
按现计划的所有还款数额比按约定所有还款数额少的部分为：
按原计划还款时，在2024 年12 月起到原计划结束时，所还的利息，共计60 个月的利息，
因为每月还本金为
元，
所以2024 年12 月还完后本金还剩余
元，
所以2025 年1 月应还利息为
，
2025 年2 月应还利息为
，
2025 年3 月应还利息为
，
最后一次应还利息为
，
所以后60 个月的利息合计为
元，
所以该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所还款数额少
元，
故选：C.
10（23-24 高三上·辽宁·阶段练习）王先生今年初向银行申请个人住房贷款80 万元购买住房，按复利计算，并
从贷款后的次月初开始还贷，分10 年还清．银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把
本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿
还同等数额的贷款(包括本金和利息)．
(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还10333 元，最后一个还贷月应还6667 元，试计
算王先生该笔贷款的总利息；
(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3％，银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，
已知王先生家庭月收入为 17000 元，试判断王先生该笔贷款能否获批(不考虑其他因素)．参考数据
【答案】(1)
元
(2)能，理由见解析
【解析】（1）每月还款金额构成等差数列，设为
，
表示数列
的前
项和，
则
，
，故
，
故总利息为：
(元).
（2）设王先生每月还款为
元，
则
，
即
，解得
，
，
故贷款能够获批.
