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5.1 等差数列（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（24-25 高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）设等差数列
的前
项和为
，已知
，则
（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2
【答案】B
【解析】设设等差数列
的公差为
，因为
，
，
所以
，所以
，解得
.
故选：B.
2．（2024·河南）已知数列
是等差数列，
，
是方程
的两根，则数列
的前20 项和为
（ ）
A．
B．
C．15
D．30
【答案】D
【解析】
，
是方程
的两根，所以
，
又
是等差数列，所以其前20 项和为
．故选：D
3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知
为等差数列，若
，则
（ ）
A．36
B．48
C．60
D．72
【答案】D
【解析】已知
为等差数列，
．故选：D．
4．（24-25 北京）已知等差数列
的前
项和为
，则当
取得最大值时，
的值为
（ ）
A．5
B．6
C．5 或6
D．6 或7
【答案】C
【解析】
，则
，
由于
，所以
，
则等差数列
是首项为正的单调递减数列，
令
，解得
，
所以当
或6 时，
取得最大值．
故选：C.
5（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
，
分别是等差数列
，
的前n 项和，且
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
是等差数列，
所以
，又
，
所以
，
故选：C.
6．（23-24 江苏南京·期中）已知等差数列
的前
项和为
，公差为
，且
单调递增，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
为等差数列，且
，所以
，
因为数列
为递增数列，则
，即
从第二项开始，各项均为正数，
又因为
恒成立，所以数列
为常数数列或递增数列，所以
，
则有
，解可得
，
综上可得，
，所以实数
的取值范围为
．
故选：D．
7．（2025·湖北黄冈·三模）给出条件
的三边既成等差数列又成等比数列；
为正三角形；则
是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若
的三边既成等差数列又成等比数列，则
，
.
，即
的形状是等边三角形.
即
，
是
的充分条件，
若
为正三角形，则三边
.
因为
，所以
， 满足等差数列定义，公差为
；
又因为
，所以
，满足等比数列定义，公比为，
即三边既成等差数列又成等比数列，所以
，
是
的必要条件，
所以
是
的充分必要条件，
故选：C
8．（24-25 高三上·广东东莞·阶段练习）已知等差数列
的首项为
，公差为
，前
项和为
，若
，则下列说法不正确的是（ ）
A．当
最大 B．使得
成立的最小自然数
C．
D．
中最小项为
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
由
，所以
，所以
，
所以
.
所以，当
时，
最大，故A 正确；
由
，
，
所以使得
成立的最小自然数
，故B 正确；
由
，且
，
所以
，即
，故C 错误；
因为当
时，
，
，所以
；
当
时，
，
，所以
；
当
时，
，
，所以
.
且
，
，
所以
中最小项为
，故D 正确.
故选：C
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（24-25 贵州黔东南·期末）已知等差数列
的通项公式是
，则（ ）
A．等差数列
的公差
B．数列
是递减数列
C．-100 是数列
中的某一项
D．数列
一定是等比数列
【答案】BD
【解析】
等差数列
的公差
故A 错误；
因为
，所以数列
是递减数列，故B 正确；
由
得
，所以-100 不是数列
中的某一项，故C 错误；
，且
，
数列
一定是等比数列，故D 正确.
故选：BD.
10．（23-2 山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令
上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙、
丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”.关于这个问题，下
列说法正确的是（ ）
A．戊得钱是甲得钱的一半
B．乙得钱比丁得钱多
钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的3 倍
D．丁、戊得钱的和比甲得钱多
钱
【答案】AD
【解析】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为
，
，
，
，
，且
，即
，又
，
∴
，
，即
，
，
，
，
∴甲得
钱，乙得
钱，丙得钱，丁得
钱，戊得
钱，则有如下结论：
戊得钱是甲得钱的一半，故A 正确；
乙得钱比丁得钱多
钱，故B 错误；
甲、丙得钱的和是乙得钱的
倍，故C 错误；
丁、戊得钱的和比甲得钱多
钱，故D 正确．
故选：AD.
11．（23-24 陕西 ）设数列
是等差数列，公差为d，
是其前n 项和，
且
，则（ ）
A．
B．
C．
或
为
的最大值
D．
【答案】BC
【解析】对于B，由
可得
，又
，
所以
，所以
，故B 正确；
对于A，由
，可得
，
又
，所以
，所以数列
是单调递减的等差数列，故A 错误；
对于C，由
，
，可得
，
，
所以当
或时，
最大，故C 正确；
对于D，又
，所以
，故D 错误；
故选：BC
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12（2025 甘肃）在等差数列
中，
，
，求
【答案】484
【解析】由等差数列片段和的性质有
，
∴
．
∴
故答案为：484
13．（24-25 广东）已知数列
和
都为等差数列，其前
项和分别为
和
，且满足
，则
；
．
【答案】
【解析】因为
，则设
，
所以
；
．
故答案为：
；
.
14．（2024·湖北襄阳·模拟预测）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某
校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1 的线段
，作一个等边三角形
，然后以点
为圆心，
为半径逆时针画圆弧交线段
的延长线于点
（第一段圆弧），再以点
为
圆心，
为半径逆时针画圆弧交线段
的延长线于点
，再以点
为圆心，
为半径逆时针画圆弧……以
此类推，当得到的“蚊香”恰好有15 段圆弧时，“蚊香”的长度为 .
【答案】
【解析】由题意可知：每段圆弧的圆心角为
，
设第
段圆弧的半径为
，则可得
，
故数列
是以首项
，公差
的等差数列，
则
，
则“蚊香”的长度为
.
故答案为：
.
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（24-25 高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【难度】0.65
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，又
，
，
所以
，解得
，
，
所以
.
（2）由（1）知
，
当
时，
，则
；
当
时，
，则
，
当
时，
，
当
时，
.
综上，
.
16．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，
，
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求
的通项；
(3)求
的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)3.
【解析】（1）因为
，所以
，故
，
又
，所以
是以3 为首项，3 为公差的等差数列．
（2）由（1）知
，
当
时，
，
而
时，
不满足题意，
所以
.
（3）由（2）知，当
时，
，
又
，所以，
的最大值为
.
17．（2025·重庆万州·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
的前
项和为
，设
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，所以
，
所以当
时，
，所以
；
当
时，
，
所以
，
所以
，
又
满足上式，
所以数列
的通项公式为
.
（2）由（1）知
，
当
时，
；
当
时，
；
所以
，
当
时，
递减，所以
；
当
时，
，
设
，
则
，令
得
，此时
单调递增，
令
得
，此时
单调递减，
所以
在
时递减，在
时递增，
而
，
，且
，
所以
；
综上，
的最小值为
.
18（2024·广东·二模）在数列
中，
，
都有
，
，
成等差数列，且公差为
.
(1)求
，
，
，
；
(2)求数列
的通项公式；
(3)是否存在
，使得
，
，
，
成等比数列.若存在，求出
的值；若不存在，说明
理由.
【答案】(1)3；5；9；13
(2)
(3)存在，
【解析】（1）由题意，
，
，
成等差数列，公差为2；
，
，
成等差数列，公差为4.
则
，
，
，
.
（2）由题意，
.
当
，
时，
，
且
满足上式，所以当
为奇数时，
.
当
时，
.
所以
（3）存在
时，使得
，
，
，
成等比数列
证明如下：
由（2）可得
，
，
，
假设
，
，
成等比数列，
则
，
化简得
，所以
，即
，
此时
，所以当
时，
，
，
，
成等比数列.
19．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m 为正整数，数列
是公差不为0 的等差数列，若从中删去两
项
和
后剩余的
项可被平均分为
组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数列
是
可分数列．
(1)写出所有的
，
，使数列
是
可分数列；
(2)当
时，证明：数列
是
可分数列；
(3)从
中任取两个数和
，记数列
是
可分数列的概率为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）首先，我们设数列
的公差为
，则
.
由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，
故我们可以对该数列进行适当的变形
，
得到新数列
，然后对
进行相应的讨论即可.
换言之，我们可以不妨设
，此后的讨论均建立在该假设下进行.
回到原题，第1 小问相当于从
中取出两个数和
，使得剩下四个数是等差数列.
那么剩下四个数只可能是
，或
，或
.
所以所有可能的
就是
.
（2）由于从数列
中取出
和
后，剩余的
个数可以分为以下两个部分，共
组，使得每组成
等差数列：
①
，共组；
②
，共
组.
（如果
，则忽略②）
故数列
是
可分数列.
（3）定义集合
，
.
下面证明，对
，如果下面两个命题同时成立，
则数列
一定是
可分数列：
命题1：
或
；
命题2：
.
我们分两种情况证明这个结论.
第一种情况：如果
，且
.
此时设
，
，
.
则由
可知
，即
，故
.
此时，由于从数列
中取出
和
后，
剩余的
个数可以分为以下三个部分，共
组，使得每组成等差数列：
①
，共
组；
②
，共
组；
③
，共
组.
（如果某一部分的组数为
，则忽略之）
故此时数列
是
可分数列.
第二种情况：如果
，且
.
此时设
，
，
.
则由
可知
，即
，故
.
由于
，故
，从而
，这就意味着
.
此时，由于从数列
中取出
和
后，剩余的
个数可以分为以下四个部分，共
组，使得每组成等差数列：
①
，共
组；
②
，
，共
组；
③全体
，其中
，共
组；
④
，共
组.
（如果某一部分的组数为
，则忽略之）
这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含
个行，
个列的数表以后，
个列分别是下面这些数：
，
，
，
.
可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍
中除开五个集合
，
，
，
，
中的十个元素以外的所有数.
而这十个数中，除开已经去掉的
和
以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.
这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列
是
可分数列.
至此，我们证明了：对
，如果前述命题1 和命题2 同时成立，则数列
一定是
可分数列.
然后我们来考虑这样的
的个数.
首先，由于
，
和
各有
个元素，故满足命题1 的
总共有
个；
而如果
，假设
，则可设
，
，代入得
.
但这导致
，矛盾，所以
.
设
，
，
，则
，即
.
所以可能的
恰好就是
，对应的
分别是
，总共
个.
所以这
个满足命题1 的
中，不满足命题2 的恰好有
个.
这就得到同时满足命题1 和命题2 的
的个数为
.
当我们从
中一次任取两个数和
时，总的选取方式的个数等于
.
而根据之前的结论，使得数列
是
可分数列的
至少有
个.
所以数列
是
可分数列的概率
一定满足
.
这就证明了结论.
