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6.2 空间几何中的平行（精练题组版）
题组一 证明线面平行常用的方法
1.（24-25 北京）如图，三棱柱
所有棱长都为2，
，O 为BC 中点，D 为
与
交
点．求证：
平面
【答案】证明见解析
【解析】在三棱柱
中，取
中点
，连接
，
由
分别为
和
的中点，得
且
，
由O 为BC 中点，得
且
，则
且
，
即四边形
为平行四边形，于是
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
.
2．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱
中，
，
平面
且
，
、
分别是
、
的中点. 求证：
平面
.
【答案】证明见解析
【解析】如图，取
中点
，连接
，
分别为
的中点，
，
平面
，
平面
，
平面
，
且
，
四边形
为平行四边形，
且
，
分别为
的中点，
且
，
四边形
为平行四边形，
，
面
，
面
，
面
，
，
平面
，
面
面
，
平面
，
平面
．
3．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
且
，
为等边三角形. 若
分别是棱
的中点，
证明：
平面
；
【答案】证明见解析
【解析】如图，取
的中点
，连接
.
∵
分别是棱
的中点，∴
.
∵
，∴
.
∵
，
平面
，
平面
，
∴
平面
，同理可得
平面
，
∵
平面
，∴平面
平面
，
∵
平面
，∴
平面
.
4．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥
中，E，F，G，H 分别是PB，PC，AE，BF 的中点．
证明：直线
平面
．
【答案】证明见解析
【解析】如图，取BE 的中点M，连接GM，HM，EF，
因为
为
的中点，
所以
是
的中位线，所以
，
同理，
是
的中位线，
是
的中位线，
所以
，
，所以
，
由
，
平面
,
平面
，得
平面
，
同理，
平面
，
又
，
平面
，
平面
，
所以平面
平面
，
因为
平面
，所以
平面
．
5．（2025 高三·全国·专题练习）如图，四棱锥
中，
是
上靠近点
的四等分点，
是
上靠近点
的四等分点，证明：
平面
．
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，
在
上取一点
，使得
，连接
，
因为
是
上靠近点
的四等分点，
是
上靠近点
的四等分点，
所以
，所以
∥
，
∥
，
因为
∥
，故
∥
．
因为
平面
平面
，
所以
∥平面
∥平面
，
因为
平面
，所以平面
∥平面
．
因为
平面
，所以
∥平面
．
6．（2025 高三·全国·专题练习）在三棱台
中，若
是
的中点．求证：
平面
．
【答案】证明见解析
【解析】由三棱台
可得，
，又
，所以
，
因为
是
的中点，所以
，故
，
所以四边形
是平行四边形，则
，
又
平面
平面
，
所以
平面
．
7．（2025 河南）如图，已知正方体
，动点
和
分别在线段
和线段
上（不包括端
点），且
，求证：
平面
．
【答案】证明见解析
【解析】法一（向量法）：设
，则
，
，
因为
，
①
②
得
，
所以
，则
，
，
共面，
又
平面
，
，
平面
，即
平面
；
法二（坐标法）：以
为原点，
，
，
分别为
轴、
轴、
轴正半轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，则
，
，
，则
，
，
，
平面
的法向量可以是
，
因为
，
平面
，所以
平面
．
8．（2025 江苏）如图，在正方体
中，
分别为
与
上的点，且
．求证：
平面
．
【答案】证明见解析
【解析】法一：如图，过点
作
交
于点
，过点
作
交
于点
，连结
，显然
．
因为
是正方体，所以
，
，
又因为
，
，且
，所以
，
所以四边形
是平行四边形，从而
.
因为
平面
，
平面
，所以
平面
．
法二：如图，连结
并延长，与直线
相交于点
，连结
．
因为
是正方体，所以
，
．
又因为
，所以
，从而
．
因为
平面
，
平面
，所以
平面
．
法三：如图，过点
作
交
于点
，连结
，显然
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
．
因为
是正方体，所以
，
，
又因为
，所以
，故
，
所以
，从而
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，
平面
，且
，
所以平面
平面
，
因为
平面
，所以
平面
．
9．（24-25 福建）如图①，在直角梯形
中，
∥
，
，
，
为
的中点，
分别为
的中点，将
沿
折起，得到四棱锥
，如图②.求证:在四棱锥
中，
∥平面
.
【答案】证明见解析.
【解析】证明：在四棱锥
中，
分别为
的中点，
所以
∥
，
因为
为
的中点，所以
因为
，所以
，
因为
∥
，所以四边形
为平行四边形，
所以
∥
，所以
∥
，
因为
平面
，
平面
，所以
∥平面
，
因为
分别为
的中点，所以
∥
，
因为
平面
，
平面
，所以
∥平面
.
因为
，
平面
，
所以平面
∥平面
.
因为
平面
，
所以
∥平面
.
题组二 面面平行
1．（24-25 江西）如图所示，四边形
为菱形，
平面
，
平面
，求证：平面
平面
【答案】证明见解析
【解析】由题意
平面
，
平面
，则
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为四边形
为菱形，所以
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，
，所以平面
平面
.
2．（24-25 北京）如图，在四棱锥
中，已知
分别是
的中点，底面
是一个平
行四边形，
，平面
平面
，且
，
.
(1)求证：平面
平面
：
(2)求证：
.
【答案】证明见解析
【解析】（1）由题可知：
分别是
的中点，
所以
，
平面
，
平面
，则
平面
，
同理：
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
.
（2）由四边形
是一个平行四边形，所以
，
由
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
且平面
平面
，
所以
.
3．（24-25 上海）如图，已知三棱锥
中，
平面
为
中
点，
为
中点，
为
中点，证明:平面
平面
【答案】证明见解析
【解析】因为
为
中点，
为
中点，
为
中点.
所以
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，同理可证
平面
，
因为
，
平面
所以平面
平面
4．（2025·四川德阳·三模）如图，四边形
是矩形，
，
，
，
证明：平面
平面
【答案】证明见解析
【解析】因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为四边形
是矩形，所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
，
平面
，
所以平面
平面ABE；
5．（2025 广东中山）如图，正四棱锥
的底面为平行四边形．
、
、
分别为
、
、
的
中点，设平面
与平面
的交线为．
(1)求证：平面
平面
；
(2)求证：
；
(3)若
，求四棱锥
的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
.
【解析】（1）因为
、
、
分别为
、
、
的中点，底面
为平行四边形，
所以
，
，
又
平面
，
平面
，
则
平面
，
同理
平面
，
平面
，
可得
平面
，
又
，
平面
，
所以平面
平面
．
（2）因为底面
为平行四边形，所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，平面
平面
，
所以
.
（3）
因为四棱锥
是正四棱锥，
所以底面
是正方形，
在底面上的投影是底面的中心，
又
，所以
，
又
，
所以四棱锥的高为
，
所以正四棱锥
的体积
．
题组三 平行中的动点
1．（2025·安徽）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 是梯形，
，
，E 是棱
PA 上一点，
，当
平面EBD，求实数λ 的值
【答案】
；
【解析】在四棱锥
中，连接
，交
于点
，连接
，如图，
因为
平面
平面
，平面
平面
，则
，
因为
，即
，因此
，
由
，得
，于是
，所以实数λ 的值为
.
2．（2025 辽宁）如图（1），在梯形PBCD 中，
，
，A 是PD 中点，现将
沿AB 折起
得图（2），点M 是PD 的中点，点N 是BC 的中点．
(1)求证：
平面PAB；
(2)在线段PC 上是否存在一点E，使得平面
平面PAB？若存在，请指出点E 的位置并证明你的结论；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，E 为PC 中点，证明见解析
【解析】（1）取AP 的中点Q，连接MQ，BQ，
因为M，Q 分别为PD，PA 的中点，
所以
，
，
又因为N 为BC 的中点，
所以
，
．
所以
，
，
所以四边形MNBQ 为平行四边形，所以
，
又因为
平面PAB，
平面PAB，
所以
平面PAB．
（2）存在点E，当E 为PC 中点时，平面
平面PAB．
证明如下：由图（1）因为A 是PD 中点，
，
，
所以
且
，
所以四边形ABCD 是平行四边形，所以
．
因为E，M 分别为PC，PD 中点，所以
，
所以
，
因为
平面PAB，
平面PAB，
所以
平面PAB，
同理可知
平面PAB，又因为
平面
平面
，
所以平面
平面PAB．
3．（2025 安徽）如图，在四棱锥
中，底面四边形
是平行四边形，
是侧棱
上一点，且
．
(1)试确定侧棱
上一点
的位置，使
平面
．
(2)在侧棱
上是否存在一点
，使
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点
在侧棱
上满足
．
(2)存在，
．
【解析】（1）如图，连结
，交
于点
，连结
．显然
为
的中点．
若
平面
，
因为
平面
，平面
平面
，
所以
，所以
为
的中点．
因为
，所以
．
又当
时，有
，从而
平面
．
所以点
在侧棱
上满足
．
（2）如图，取
的中点
，连结
．
由（1）知
为
的中点，
所以
，而
平面
，
平面
，所以
平面
．
又因为
平面
，
平面
，
平面
，且
，
所以平面
平面
，
又
平面
，所以
平面
．
所以侧棱
的中点
符合题意，此时
．
4．（24-25 青海）如图，在长方体
中，
分别是棱
的中点.
(1)证明：
平面
.
(2)在棱
上是否存在点
，使得平面
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】（1）证明：如图所示，连接
，
因为
分别是棱
的中点，所以
，
由长方体的性质，可知
，则
且
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
又因为
平面
，且
平面
，所以
平面
.
（2）解：取棱
的中点
，连接
，平面
平面
，此时
理由如下：
连接
，因为
分别为棱
的中点，所以
，
因为
分别为棱
的中点，所以
，所以
，
因为
平面
且
平面
，所以
平面
，
由（1）可知
平面
，且
平面
，
平面
，
，所以平面
平
面
，
故在棱
上存在点
，使得平面
平面
，此时
.
5．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，平面
底面
，侧棱
，
底面
为直角梯形，其中
，
为
中点．线段
上是否存在点
，使得
平面
？
【答案】存在
【解析】存在，
为
中点，证明如下：
取
中点
，连接
，连接
，连接
，
因为
为
中点，
则
是
的中位线，
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
所以
是直角梯形
的高，
，
因为
平面
，
平面
，所以平
平面
，
因为
，
平面
，
所以平面
平面
，
因为
平面
，
所以
平面
．
6．（24-25 四川成都·期末）如图，在三棱柱
中，E，F 分别为线段
，
上的点，
，
，
．
(1)求证：
平面
．
(2)在线段
上是否存在一点G，使平面
平面
？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点
，满足
即可，理由见解析
【解析】（1）因
，
，则
，故
，
在三棱柱
中，
，则
，
因
平面
，
平面
，则
平面
.
（2）
如图，线段
上存在点
，满足
，即可使平面
平面
，理由如下：
因
，则
，则
，因
平面
，
平面
，故
平面
，
由（1）
，因
平面
，
平面
，故
平面
，
又
平面
，故平面
平面
.
7．（24-25 甘肃）如图，已知在正方体
中，P，Q 分别为对角线
，
上的点，
.
(1)求证：
平面
.
(2)若R 是
上的点，当
的值为多少时（用
表示），能使平面
平面
?请给出证明.
【答案】(1)证明见解析
(2)
的值为
，证明见解析
【解析】（1）如图，连接
并延长，与
的延长线交于
点，
则平面
和平面
的交线为
.
因为四边形
为正方形，所以
，
故
，所以
.
又因为
，所以
，所以
.
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
又平面
平面
，故
平面
.
（2）当
的值为
时，能使平面
平面
.
证明：如图，因为
，即
，
又
，所以
.
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
，
平面
，
平面
，
所以平面
平面
.
题组四 平行的判定定理及性质定理的辨析
1．（24-25 北京）已知平面
，
为两个不同的平面，直线
为
内一条直线，则“
”是“
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为
，若
，则由线面平行的性质可知
，故“
”是“
”的必要条件，
设
，
，显然
，从而有
成立，但此时
不平行，
所以故“
”是“
”的不充分条件，
即“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B
2．（2025·江苏南京·二模）设
是平面，m，n 是两条直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
与
所成的角相等，则
【答案】B
【解析】对于A 选项，若
，
，则
与
可能平行、相交或异面.
例如，在正方体
中，
平面
，
平面
，但
与
是相交的；
平面
，
平面
，但
与
是平行的.
平面
，
平面
，但
与
是异面的.
所以A 选项错误.
对于B 选项，若
，则存在直线
，使
.
又因为
，根据直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的任意一条
直线垂直，所以
.
由于
，根据异面直线所成角的定义可知
，所以B 选项正确.
对于C 选项，若
，
，则
或
.例如，当
在平面
内时，也能满足
且
，所以C
选项错误.
对于D 选项，若
，
与
所成的角相等，则
与
可能平行、相交或异面.
例如，圆锥的母线与底面所成的角都相等，但母线之间相交.所以D 选项错误.
故选：B.
3．（2025·江西景德镇·三模）设
表示两条不重合的直线，
表示两个不重合的平面，则下列说法正确的
是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．存在一对异面直线
，则
【答案】D
【解析】对于A，由
，得直线
与
可能平行、可能相交，也可能在面内，A 错误；
对于B，由
，得
可能平行，也可能相交，B 错误；
对于C，要
垂直于
内的两条相交直线，才能推出
，C 错误；
对于D，过直线
的平面
，由
，得
，而
，则
，
由
是异面直线，得直线
相交，又
，因此
，D 正确.
故选D，
4．（2025·天津·二模）已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】对于A：当
时，满足
，
，
，
，则
与
有可能相交，故A 错误；
对于B：当
时，则
，
，
，故B 错误；
对于C：满足
，
，则
或
，故C 错误；
对于D：由
，
,故D 正确.
故选：D.
5．（2025·北京·三模）已知平面
，直线
，则下面结论正确的是（ ）
A．若
，则
；
B．若
，则
；·
C．若
，则
；
D．若
，则
；
【答案】A
【解析】对于A，由
，则存在相异于的直线
，
，使
，即
，
又
，所以
，又
，所以
，
故
，故A 正确；
对于B，若
，则
或
，故B 错误；
对于C，若
，则
或
，故C 错误；
对于D，
仅说明直线
与交线垂直，不能保证
垂直于
内的所有直线，故D 错误；
故选：A.
6．（24-25 天津南开·期中）已知
为两个不同的平面，
为三条不同的直线，则下列结论中正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，且
，则
D．若
，且
，则
【答案】C
【解析】对于A，若
，则
或
异面或
相交，故A 错误；
对于B，
，则
或
异面，故B 错误；
对于C，若
，则
，故C 正确；
对于D，若
，且
，则
或
，故D 错误.
故选：C.
7．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知
，
为平面，
，
为直线，下列说法正确的是（ ）
A．若直线
，
与平面
所成角相等，则
B．若
，且
，
，则
C．若
，
，
，
，若
，
均不垂直于，则
，
不垂直
D．若
，
，
，
，则
【答案】C
【解析】
如图所示，在正方体
中，
直线
和直线
与平面
所成角均为
，但
，故选项A 错误；
直线
平面
，直线
平面
，且
平面
，
平面
，但平面
平面
，故选项B 错误；
平面
平面
，
平面
，
平面
，且
，但
与平面
相交，故
选项D 错误；
假设
，直线
，
，如图所示.
∵
不垂直于，
，
，
，∴直线
与直线必相交，设
.
，
，
，
，
.
又
，
.
，
，
，
，
，
.
又
，
，这与
，
均不垂直于矛盾，故
，
不垂直，故选项C 正确.
故选：C.
题组五 线面平行性质应用---轨迹及轨迹长
1．（24-25 山东）如图，正方体
的棱长为3，点M，N 分别在棱
，
上，满足
，点Q 在正方体
的内部或表面，且
平面
，则点Q 组成的图形的面积
是 ．
【答案】
/
【解析】在
上取点
，使得
，
分别连结
，
因为
，可得
，且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
由
且
，可得
，
又由
且
，所以
，
在正方体
中，可得
，所以
，
因为
平面
，且
平面
，所以
平面
，
同理可证
平面
，
又因为
，且
平面
，所以平面
平面
，
因此点
的轨迹组成的图形为
，
在等腰三角形
中，
，
可得底边
上的高为
，
所以面积为
，
故答案为：
.
2．（24-25 甘肃张掖·期末）如图，在棱长为2 的正方体
中，
为
的中点，
为正方形
内一动点，且
平面
，则点
的轨迹的长度为 ．
【答案】
【解析】如图，分别取
，
的中点
，连接
，GH，
，
，HP，
因为
为
的中点，得
，
，则四边形
是平行四边形，故
，
因为
平面
，
平面
，故
平面
，
又因为
，
，则四边形
是平行四边形，故
，
因为
，故
，又
平面
，
平面
，可得
平面
，
且
，
平面
，故平面
平面
．
又因为
平面
，故
平面
，故点
的轨迹为线段
，其长为
．
故答案为：
．
3．（2025·宁夏银川·三模）已知正方体
的棱长为1，点P 在正方体的内切球表面上运动，且满
足
平面
，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点
，内切球半径
.
∵
，
平面
，
平面
，
∴
平面
，同理可得
平面
，
∵
平面
，
，∴平面
平面
，
∵
平面
，∴
平面
，故点
的轨迹是平面
与正方体内切球的交线，此交线为圆，
记圆心为
.
如图，以
为原点建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
∴
，
，
.
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，故
，
∴点
到平面
的距离为
，
∴圆
的半径为
，
由
得，
，
∴
，
∴
的最小值为
.
故答案为：
.
4．（2025·山西吕梁·一模）如图所示，在棱长为4 的正方体
中，点
分别是棱
的中
点，
是侧面
内一点，若
平面
，则线段
长度的取值范围是 .
【答案】
【解析】在棱长为4 的正方体
中，分别取棱
中点
，连接
，
由点
分别是棱
的中点，得
，
又
平面
，
平面
，则
平面
，
又
，则四边形
为平行四边形，
于是
，又
平面
，
平面
，则
平面
，
又
，
平面
，因此平面
平面
，
又
是侧面
内一点，且
平面
，则
点的轨迹是线段
，
在
中，
，同理
，
即
为等腰三角形，当
为
中点时，
最短，为
，
当
位于
、
处时，
最长，为
，
所以线段
长度的取值范围是
.
故答案为：
5．（2025·四川绵阳·模拟预测）在几何学的世界里，阿基米德体以其独特的形状和美丽的对称性吸引了无数数
学爱好者和科学家，它是一种半正多面体，其中每个面都是正多边形，且各个面的边数不全相同.如图，棱长
为2 的半正多面体是将一个棱长为6 的正四面体切掉4 个顶点所在的小正四面体后所剩余的部分，已知A，B，
C，D 为该半正多面体的四个顶点，点P 为其表面上的动点，且
平面
，则P 点的轨迹长度为 .
【答案】
/
【解析】如图：补全正四面体，连接
,
取
分别为大正四面体棱的中点，连接
,
由于
均为大四面体的棱的三等分点，故
.
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
故
平面
,
平面
.
且
平面
，
故平面
平面
，
由于
平面
，因此
平面
，
故
点的轨迹为线段
，
由于
,
故
点的轨迹长度为
，
故答案为：
6．（2024·西藏拉萨·二模）如图，正四棱锥
的所有棱长都为
为
的中点，
是底面
内
（包括边界）的动点，且
平面
，则
长度的取值范围是 .
【答案】
【解析】如图（1），设
的中点分别为
，连接
，则
.因为
平面
平面
，所以
平面
.
又
平面
平面
，所以
平面
.
又
，所以平面
平面
，所以动点
在线段
上运动.
设
的中点分别为
，连接
，
则在等腰梯形
中，只需求出点
与线段
上的点的距离的取值范围.
易知
，如图（2），作
，则
，所以
长度的取值范围是
.
故答案为：
.
7．（2024·浙江·模拟预测）三棱锥
的所有棱长均为2，E，F 分别为线段BC 与AD 的中点，M，N 分别
为线段AE 与CF 上的动点，若
平面ABD，则线段MN 长度的最小值为 ．
【答案】
/
【解析】延长CM 交AB 于点I，因为
平面ABD，
由线面平行性质定理可知
，设
，
因为三棱锥
的所有棱长均为2，
所以
，且E 为线段BC 的中点，
所以AE 平分∠BAC，由角平分线定理可知
，
所以
，
因为F 为线段AD 的中点，所以
，
由余弦定理可知
，
所以
，
令
，
，化简可得
，
因为
，所以
，
则
在
时取得最小值，
所以
，
综上当
，即
时MN 取得最小值
．
故答案为：
．
