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16 链条下滑问题
1．(2020·江苏高三月考)如图所示，长为L 的均匀链条放在光滑水平桌面上，让链条从静止开始沿桌边下
滑，若桌子高度大于链条长度，则链条滑至刚离开桌边时的速度大小为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
铁链下滑过程中机械能守恒，则有
解得
故A 正确，BCD 错误。
故选A。
2．长为L 的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的
垂在桌边，如图所示，松手后链条从静
止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为(重力加速度为g)( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
链条下滑时，因桌面光滑，没有摩擦力做功，整根链条总的机械能守恒，设整根链条质量为m，由机械
能守恒定律得
，解得
．
3．(2019·陕西西安·高新一中高三三模)有一条长为1m 的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜
面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为
，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始
释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为( )
A．2.5m/s
B．2.52 m/s
C．5m/s
D．0.535m/s
【答案】A
【详解】
设链条的质量为m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为
链条全部下滑出后，动能为
，重力势能为
由机械能守恒可得
即
解得
故选A。
4．如图所示，将一根长L=0.4m 的金属链条拉直放在倾角
=30°的光滑斜面上，链条下端与斜面下边缘
相齐，由静止释放后，当链条刚好全部脱离斜面时，其速度大小为( )m/s。(g 取10m/s2)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由静止释放到链条刚好全部脱离斜面时，链条的重力势能减小为
由于斜面光滑，只有重力对链条做功，根据机械能守恒定律得
解得
故选A。
5．如图所示，一长
的均匀铁链对称挂在一轻质小滑轮上，由于某一微小的扰动使得链条向一侧滑动，
则铁链完全离开滑轮时的速度大小为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
铁链从开始到刚脱离滑轮的过程中，链条重心下降的高度为
，链条下落过程，由机械能
守恒定律，得
，解得
，故选项C 正确，A、B、D 错误．
6．一条长为L、质量为m 的均匀链条放在光滑水平桌面上，其中有三分之一悬在桌边，如图所示，在链条
的另一端用水平力缓慢地拉动链条，当把链条全部拉到桌面上时，需要做多少功( )
A．
mgL
B．
mgL
C．
mgL
D．
mgL
【答案】C
【详解】
悬在桌边的
长的链条重心在其中点处，离桌面的高度：
它的质量是
当把它拉到桌面时，增加的重力势能就是外力需要做的功，故有
A．
mgL，与结论不相符，选项A 错误；
B．
mgL，与结论不相符，选项B 错误；
C．
mgL，与结论相符，选项C 正确；
D．
mgL，与结论不相符，选项D 错误；
故选C．
【点睛】
如果应用机械能守恒定律解决本题，首先应规定零势能面，确定初末位置，列公式时要注意系统中心的
变化，可以把整体分成两段来分析．
7．质量为m 的均匀链条长为L，开始放在光滑的水平桌面上时，有
的长度悬在桌边缘，如图所示，松
手后，链条滑离桌面，问从开始到链条刚滑离桌面过程中重力势能变化量为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
设桌面为零势能面，开始时链条的重力势能为
当链条刚脱离桌面时的重力势能
所以重力势能的变化量
故C 符合题意，ABD 不符合题意。
8．一条长为L 的均匀链条，放在光滑水平桌面上，链条的一半垂直于桌边，如图所示。现由静止开始使
链条自由滑落，当它全部脱离桌面瞬时的速度为多大( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由静止开始使链条自由滑落到当它全部脱离桌面过程，由于桌面光滑，整个链条的机械能守恒。取桌面
为零势能面，整个链条的质量为
，根据机械能守恒定律得
解得它全部脱离桌面瞬时的速度为
故A 正确，BCD 错误。
故选A。
9．(2019·湖南师大附中高三月考)如图所示，一条质量分布均匀的长度为L 的铁链置于光滑水平桌面上。
用手按着一端，使另一端长
的一段下垂放开手后使铁链从静止开始下滑，当铁链完全通过桌边的瞬
间，铁链具有的速率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
设铁链单位长度的质量为m0，从放手到铁链完全通过桌边，以水平桌面为参考平面，根据机械能守恒
定律
可以得出
所以D 项正确，ABC 项错误。
故选D。
10．(2020·全国高一课时练习)如图所示，有一条长为
的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高
的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为
，另一半长度竖直下垂在空中，链条由静止释
放后开始滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(
取
)( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
设链条的质量为
，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为
链条全部滑出后，动能为
重力势能为
由机械能守恒定律可得
即
解得
故B 正确，ACD 错误。
故选B。
11．(2019·江西宜春九中高二开学考试)一根全长为L，粗细均匀的铁链，对称地挂在光滑的小定滑轮上，
如图所示，当受到轻微扰动，铁链会从滑轮滑下，铁链脱离滑轮瞬间的速度大小为 ( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
铁链从开始到刚脱离滑轮的过程中，链条重心下降的高度为：
在链条下落过程中，其机械能守恒，则得：
解得：
A.
与计算结果不符，故A 错误。
B.
与计算结果不符，故B 错误。
C.
与计算结果相符，故C 正确。
D.
与计算结果不符，故D 错误。
12．如图所示，光滑长铁链由若干节组成，每一节长度为l0，全长为L，在水平轨道上以某一速度运动．
圆形管状轨道与水平轨道相切，半径为R，L>2πR，R 远大于一节铁链的高度和长度．铁链靠惯性通过
圆形管状轨道继续前进，下列判断正确的是( )
A．每节铁链通过最高点的速度依次减小
B．第一节与最后一节到达最高点的速度大小相等
C．在第一节完成圆周运动的过程中，第一节铁链机械能守恒
D．铁链全部通过圆形管状轨道的过程中，铁链的最小速度为
【答案】B
【详解】
AC．整条长铁链机械能守恒，当长铁链布满圆形管状轨道时，重力势能最大，速度最小，从此时到最
后一节铁链进入轨道之前，重力势能不变，每节铁链通过最高点的速度不变，故A 错误，C 错误；
B．第一节与最后一节铁链到达最高点时整条长铁链的重力势能相等，机械能守恒，则速度大小相等，
故B 正确；
D．整条长铁链机械能守恒，当长铁链布满圆形管状轨道时，重力势能最大，速度最小，但是不知道铁
链的初速度，无法计算出铁链的最小速度，故D 错误．
13．一根质量为m、长为L 的均匀铁链一半放在光滑的水平桌面上，另一半挂在桌边，桌面足够高，如图
(a)所示．若在铁链两端各挂一个质量为
的小球，如图(b)所示．若在铁链两端和中央各挂一个质量
为
的小球，如图(c)所示．由静止释放，当铁链刚离开桌面时，图(a)中铁链的速度为v1，图(b)中铁
链的速度为v2，图(c)中铁链的速度为v3(设铁链滑动过程中始终不离开桌面，挡板光滑)．下列判断正
确的是
A．v1=v2=v3
B．v1<v2<v3
C．v1>v2>v3
D．v1>v3>v2
【答案】D
【解析】
铁链释放之后，到离开桌面，由于桌面无摩擦，对两次释放，桌面下方L 处为0 势能面．则释放前，系
统的重力势能为第一次，Ep1=
mgL+
mg·
=
，第二次，Ep2=(
m+
m)gL+
mg·
+
mg
=
，第三次，Ep3=(
m+m)gL+
mg·
+
mg
=
，释放后Ep1'=m
g，
Ep2'=
mgL+mg
=mgL，Ep3'=
mgL+mg
+
mgL =
mgL，则损失的重力势能，ΔEp1=
mgL，ΔEp2=
mgL，ΔEp3=
mgL，那么ΔEp1=
mva
2，△Ep2=
(2m)vb
2，ΔEp3=
(2.5m)vc
2，解得：
v1
2=
，v2
2=
，v3
2=
，显然v1
2>v3
2>v2
2，所以v1>v3>v2，故选D．
14．如图所示，倾角θ＝30°的光滑斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软
绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平．用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到
软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中( )
A．物块的机械能逐渐增加
B．软绳的重力势能减少了
C．物块重力势能的减少量等于软绳机械能的增加量
D．软绳重力势能减少量小于其动能的增加量
【答案】BD
【详解】
A、D、细线对物块做负功，物块的机械能减少，细线对软绳做功，软绳的机械能增加，故软绳重力势
能的减少量小于其动能增加量，A 错误，D 正确；
C、物块重力势能的减少量一部分转化为软绳机械能，另一部分转化为物块的动能，故C 错误；
B、从开始运动到软绳刚好全部离开斜面，软绳的重心下移了
，故其重力势能减少了
，B 正确.
故选BD.
15．(2020·福建高三一模)如图，一条全长为L、质量为m 的匀质软绳拉直置于水平桌面边缘上，轻微扰动
后使它从静止开始沿桌面边缘下滑，重力加速度为g，空气阻力与摩擦阻力均不计，下列说法止确的是
( )
A．软绳下滑过程中加速度随时间均匀增大
B．软绳有一半下落时加速度大小为
C．软绳刚好全部离开桌面时速度大小为
D．运动过程中留在桌面上软绳的动量最大值为
【答案】BCD
【详解】
A．软绳下滑过程中加速度
解得
，可知加速度随着位移均匀增长，然而这个物体在加速运动所以后半程位移随时间增长的
快，故加速度随着时间增长加快，故A 错误；
B．软绳有一半下落时加速度大小为
解得
，故B 正确；
C．设下落的速度为
，根据机械能守恒得
解得
，代入
，软绳刚好全部离开桌面时速度大小为
，故C 正确；
D．留在桌面上软绳的动量
当
时留在桌面上软绳的动量最大，为
，故D 正确。
故选BCD。
16．某实验小组在家里研究能量的转化，设计了如下的实验。一根长度为、质量为
的湿滑毛巾挂在水
平晾衣杆上，毛巾的质量分布均匀，毛巾与水平晾衣杆之间的摩擦忽略不计。毛巾分别在图甲、图乙所
示状态下从静止开始竖直下降，两种情况下毛巾刚好离开水平晾衣杆时的速度分别为
、
，已知重
力加速度大小为
，下列说法正确的是( )
A．湿滑毛巾在水平晾衣杆上的运动满足机械能守恒定律
B．湿滑毛巾的右侧部分在水平晾衣杆上的运动满足机械能守恒定律
C．图甲所示情况下毛巾刚好离开水平晾衣杆时的速度
D．图乙所示情况下毛巾刚好离开水平晾衣杆时的速度
【答案】AC
【详解】
AB．湿滑毛巾在水平晾衣杆上运动过程中，只有重力做功，满足机械能守恒定律选项A 正确，B 错误；
CD．取水平晾衣杆顶部为零势能面，对毛巾在两种情况下的运动过程，由机械能守恒定律，分别有
解得
故选项C 正确，D 错误。
故选AC。
17．质量分布均匀、长度为L 且不可伸长的链条位于光滑水平桌面上，一端位于光滑桌面的边缘，由于
微小扰动便开始沿桌面下滑，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．下滑三分之一时，链条的速度为
B．下滑三分之一时，链条的速度为
C．链条下滑过程中加速度不断增大
D．链条下滑过程中链条水平部分与竖直部分间拉力不断增大
【答案】BC
【详解】
AB．链条位于光滑水平桌面下滑，对链条构成的系统只有重力做功，系统的机械能守恒，三分之一(即
质量为
)的铁链下滑，其重心下降
，有：
解得铁链的瞬时速度为：
故A 错误，B 正确；
C．随着下滑垂下来的部分越来越长，垂下来的那一段链子的质量
增大，软链总质量
保持不变，
对整体根据牛顿第二定律
得加速度a 也不断增大，是一个变加速运动，故C 正确；
D．对水平部分的铁链由牛顿第二定律：
将
带入可得：
可知当
时，拉力有最大值
，则链条下滑过程中链条水平部分与竖直部分间拉力先
增大后减小，故D 错误。
故选BC。
18．如图所示，在竖直平面内半径为R 的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC 与斜面CD 平滑连接在一起，
斜面足够长．在圆弧轨道上静止着N 个半径为
的光滑刚性小球，小球恰好将圆弧轨道铺满，
从最高点A 到最低点B 依次标记为1、2、3……N．现将圆弧轨道末端B 处的阻挡物拿走，N 个小球由
静止开始沿轨道运动，不计摩擦与空气阻力，下列说法正确的是
A．N 个小球在运动过程中始终不会散开
B．第1 个小球到达最低点的速度
C．第N 个小球在斜面上向上运动时机械能增大
D．N 个小球构成的系统在运动过程中机械能守恒，且总机械能
【答案】AC
【解析】
在下滑的过程中，水平面上的小球要做匀速运动，而曲面上的小球要做加速运动，则后面的小球对前面
的小球要向前压力的作用，所以小球之间始终相互挤压，冲上斜面后后面的小球把前面的小球往上压，
所以小球之间始终相互挤压，故N 个小球在运动过程中始终不会散开，故A 正确；把N 个小球看成整
体，若把弧AB 的长度上的小球全部放在高度为R 的斜面上，通过比较可知，放在斜面上的N 个小球的
整体的重心位置比较高．而放在斜面上时，整体的重心的高度为：
R，选择B 点为0 势能点，则整体
的重力势能小于
NmgR，小球整体的重心运动到最低点的过程中，根据机械能守恒定律得：
Nmv2
＜Nmg•
R；解得：v＜
，即第1 个小球到达最低点的速度v＜
，故B 错误，D 错误；冲上
斜面后，前面的小球在重力沿斜面向下的分力的作用下，要做减速运动，而后面的小球由于惯性想变成
匀速运动，所以后面的小球把前面的小球往上推，后面的小球对前面的小球做正功，所以可得第N 个
小球在斜面上向上运动时机械能增大．故C 正确．故选AC．
点睛：本题主要考查了机械能守恒定律的应用，要求同学们能正确分析小球得受力情况，能把N 个小
球看成一个整体处理．
19．(2020·新绛县第二中学高一月考)质量为m 的均匀链条长为L，开始放在光滑的水平桌面上时，有
的
长度悬在桌边缘，如图所示，松手后，链条滑离桌面，问：从开始到链条刚好滑离桌面过程中重力势能
变化了多少？
【答案】
【详解】
设桌面为参考平面，开始时重力势能
末态时重力势能
所以重力势能变化
mgL
20．如图所示，有一条长为2L 的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为30°，另一半长度
沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，重力加速度为g，求链条刚好全部滑出斜
面(未触地)时的速度是多少？
【答案】
【详解】
取斜面最高点为零势能点，链条总质量为m。
开始时左半部分的重力势能
右半部分的重力势能
链条全部滑出斜面时的重力势能
Ep=-mgL
由机械能守恒定律得
解得
21．(2020·奈曼旗实验中学高三其他模拟)如图所示的木板由倾斜部分和水平部分组成，两部分之间由一小
段圆弧面相连接．倾斜部分为光滑圆槽；轨道一水平部分左端长为L 的一部分是光滑的，其余部分是粗
糙的，现有质量为 m、长为 L 的均匀细铁链，在外力作用下静止在如图所示的位置，铁链下端距水平
槽的高度为h。现撤去外力使铁链开始运动，最后铁链全部运动到水平轨道粗糙部分．已知重力加速度
为g，斜面的倾角为θ，铁链与水平轨道粗糙部分的动摩擦因数为μ，不计铁链经过圆弧处时的能量损
失。求：
(1)铁链的最大速率；
(2)从释放到铁链达到最大速率的过程中，后半部分铁链对前部分铁链所做的功；
(3)最后铁链的左端离木板倾斜部分底端的距离。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【详解】
(1)铁链在倾斜轨道上下滑时，由机械能守恒定律可得
解得
(2)当铁链刚到水平面时速率最大，以前半部分为研究对象，根据动能定理，可得
解得
(3)设最后铁链的左端离木板倾斜部分底端的距离为s，从铁链开始运动到最后静止的整个过程，由动
能定理得
解得
22．如图所示，有一条长为L 的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，另一半长度沿竖直方向下垂在空
中，斜面倾角为
。当链条由静止开始释放后，链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度。
【答案】
【详解】
设斜面的最高点所在的水平面为零势能参考面，链条的总质量为m。
开始时斜面上的那部分链条的重力势能为
竖直下垂的那部分链条的重力势能为
则开始时链条的机械能为
当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能为
动能为
则机械能为
因为链条滑动过程中只有重力做功，所以其机械能守恒，则由机械能守恒定律得
即
解得
23．如图所示，质量均匀的链条放在光滑的水平桌面上，链条全长l，质量为m，有
的长度悬于桌面下。
链条由静止开始下滑，设桌面的高度大于l，则从链条开始下滑到刚离开桌面的过程中重力势能改变了
多少？重力做功多少？(重力加速度大小为g)
【答案】
，
【详解】
末态时链条呈竖直状，上端与桌面相平，比较初态和末态，链条从开始下滑到刚离开桌面的过程可等效
成将初态桌面上的
长度的链条移至末态中整个竖直链条的下端
长度处，故这
长度的链条的重心
下降了
，所以重力势能减少了
即
重力做功
24．(2020·河北衡水·高三专题练习)如图所示，一条长为L 的柔软匀质链条，开始时静止在光滑梯形平台上，
斜面上的链条长为x0，已知重力加速度为g，L<BC，∠BCE=α，试用x0、x、L、g、α 表示斜面上链条
长为x 时链条的速度大小(链条尚有一部分在平台上且x＞x0)。
【答案】
【详解】
链条各部分和地球组成的系统机械能守恒，设链条的总质量为m，当斜面上链条长为x 时，链条的速度
为v，以平台所在位置为零势能面，则有：
解得：
答：当斜面上链条长为x 时，链条的速度为
。
25．类比法是物理学中常见思维方法，如左图链条滑动和右图连接体可相类处理，一质量为M、长度为L
的均匀链条如图放置，一段拉直放在桌上，另一段深处桌外竖直悬挂在桌边，伸出桌外的链条长度为全
长的
，链条由静止释放，恰好能开始滑动，假设桌子边缘光滑(可视为定滑轮)，链条与桌面间的最大
静摩擦力大小与滑动摩擦力相等，求：
(1)链条与桌面的滑动摩擦力因数μ；
(2)若链条末端离开桌面时速度为v，则链条滑动过程克服摩擦力所做的功；
(3)若链条与桌面的滑动摩擦力因数μ 已知，链条滑落过程不被拉断，则桌面外链条多次时承受的拉力
最大，及相应的最大拉力大小．
【答案】(1)0.25 (2)
(3)
【解析】
(1)桌面上0.8L 长的链条恰能被拉动，由力平衡有：
，
解得μ=0.25；
(2)链条由静止释放到末端离开桌面过程，由动能定理
；
解得
；
(3)设桌面外链条长度为x 时，链条运动加速度大小为a，桌面边缘处链条拉力为F，
对竖直段链条，由牛顿第二定律可得
对水平段链条，由牛顿第二定律可得
解得
由上式可知当
时，F 最大，为
．
点睛：此题考查动能定理以及牛顿第二定律的应用；注意在链条向下滑动的过程中水平部分和竖直部分
的质量都要变化，摩擦力也不断变化，所以要抓住某一状态列方程．
26．如图所示，在光滑水平桌面上，用手拉住长为L 质量为M 的铁链，使其1/3 垂在桌边．松手后，铁链
从桌边滑下，取桌面为零势能面．
(1)求整条铁链开始时的重力势能为多少？
(2)求铁链末端经过桌边时运动速度是多少？
【答案】(1)
(2)
【解析】
试题分析：松手后，铁链在运动过程中，受重力和桌面的支持力，支持力的方向与运动方向垂直，对铁
链不做功，只是垂在桌外部分的重力做功，因此，从松手到铁链离开桌边，铁链的机械能守恒．
(1) 取桌面为零势能面
桌外部分的质量为
，其重心在桌面下
处
此时铁链的重力势能为：
；
(2)铁链末端经桌面时，整条铁链都在空中，其重心在桌面下
处
此时铁链的重力势能为：
设此时铁链的速度为v，由机械能守恒定律有：
解得：
点晴：绳子、铁链运动的问题，对于每一部分来讲都是变力，运用动能定理难以解决过程中变力做功，
但运用机械能守恒定律只要知道绳子的两个运动状态，不必考虑运动过程，因此解题就简单了，注意选
好参考平面，尽量使解题简捷．
27．如图所示，AB 为光滑的水平面，BC 是倾角为α 的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动，AB、BC 间
用一小段光滑圆弧轨道相连，一条长为L 的俊宇柔软链条开始是静止地放在ABC 面上，其一端D 至B
的距离为L-a，其中a 未知，现自由释放链条，当链条的D 端滑到B 点时链条的速率为v，求a。
【答案】a=√L
2- v
2 L
gsin α
【解析】
设链条质量为m，可以认为始末状态的重力势能变化是由L-a 段下降引起的
高度减少量h=(a+ L-a
2
)sin α = L+a
2
sin α
该部分的质量为m' = m
L ( L-a)
由机械能守恒定律可得m
L ( L-a)gh= 1
2 mv
2，解得a=√L
2- v
2 L
gsin α
28．光滑弯折杆ABC 处于竖直平面内，分为倾斜部分AB 与水平部分BC，在B 点有一小段圆弧与两部分平
滑连接，杆AB 的倾斜角为37°．有50 个相同的带孔小球套在AB 杆上，小球能沿杆无碰撞地从AB 段上
下滑到BC 段上，每个小球的质量均为m=0.02kg，直径d=1cm，现通过作用在最底部的1 号小球的水平
外力F，使所有小球都静止在AB 杆上，此时1 号小球球心离水平部分BC 的高度H=20cm．(g 取10m/s2)
试求：
(1)水平外力F 的大小；
(2)撤去外力F 后，小球沿杆下滑，当第20 号小球刚到达水平部分BC 上时的速度大小？
【答案】(1)水平外力F 的大小为7.5N．
(2)撤去外力F 后，小球沿杆下滑，当第20 号小球刚到达水平部分BC 上时的速度大小为
【解析】
【详解】
(1)把50 个小球当作一个整体进行受力分析，整体处于平衡状态得：
F＝Gtan37°＝7.5N；
(2)撤去外力后小球将整体沿杆下滑，各小球速度大小相等，且系统机械能守恒。取小球在BC 杆上时重
力势能为零，则：
即：
解得
。
