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动量守恒的十种模型解读和针对性训练
模型四 人船模型
模型解读
1.模型图示
2.模型特点
(1)两物体满足动量守恒定律：mv 人－Mv 船＝0。
(2)两物体的位移大小满足：m－M＝0，s 人＋s 船＝L 得s 人＝L，s 船＝L。
3.运动特点
(1)人动则船动，人静则船静，人快船快，人慢船慢，人左船右。
(2)人船位移比等于它们质量的反比；人船平均速度(瞬时速度)比等于它们质量的反比，即＝
＝。
“人船模型”的拓展(某一方向动量守恒)
【典例分析】
【典例】 如图，质量为M 的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑
1
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轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为a 和b，长轴水平，短轴竖直。质量为m 的小球，初始
时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑。以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在
竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系xOy，椭圆长轴位于x 轴上。整个过程凹槽不翻转，
重力加速度为g。
(1)小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小；
(2)凹槽相对于初始时刻运动的距离。
答案 (1) (2)
解析 (1)小球从静止到第一次运动到轨道最低点的过程，小球和凹槽组成的系统水平方向上
动量守恒，有0＝mv1－Mv2
对小球与凹槽组成的系统，由机械能守恒定律有
mgb＝mv＋Mv
联立解得v2＝。
(2)根据人船模型规律，在水平方向上有mx1＝Mx2
又由位移关系知x1＋x2＝a
解得凹槽相对于初始时刻运动的距离x2＝。
【名师点拨】
应用“人船模型”解题的两个关键点
(1)“人船模型”的应用条件：相互作用的物体原来都静止，且满足动量守恒条件。
(2)人、船位移大小关系：m 人x 人＝m 船x 船，x 人＋x 船＝L(L 为船的长度)。
【针对性训练】
1. （2024 河南名校联考）.如图，棱长为a、大小形状相同的立方体木块和铁块，质量为m
的木块在上、质量为M 的铁块在下，正对用极短细绳连结悬浮在平静的池中某处，木块上表
面距离水面的竖直距离为h。当细绳断裂后，木块与铁块均在竖直方向上运动，木块刚浮出
水面时，铁块恰好同时到达池底。仅考虑浮力，不计其他阻力，则池深为( )
2
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A.h
B.(h＋2a)
C.(h＋2a)
D.h＋2a
答案 D
解析 设铁块竖直下降的位移为d，对木块与铁块组成的系统，系统外力为零，由动量守恒
定律(人船模型)可得0＝mh－Md，池深H＝h＋d＋2a，解得H＝h＋2a，D 正确。
2.（2024 全国高考模拟）一小船停靠在湖边码头，小船又窄又长(估计重一吨左右)。一位同学想用一
个卷尺粗略测定它的质量，他进行了如下操作：首先将船平行于码头自由停泊，轻轻从船尾上船，走到船
头停下，而后轻轻下船。用卷尺测出船后退的距离d，然后用卷尺测出船长L。已知他的自身质量为m，水
的阻力不计，船的质量为
A．
B．
C．
D．
【参考答案】A
【名师解析】设人走动时船的速度大小为v，人的速度大小为v′，人从船尾走到船头所用时间为t，取
船的速度为正方向，则
，
，根据动量守恒定律Mv－mv′＝0，解得船的质量
，
故选A。
3.如图所示，一个倾角为α 的直角斜面体静置于光滑水平面上，斜面体质量为M，顶端高度为h.今有一质
量为m 的小物体，沿光滑斜面下滑，当小物体从斜面顶端自由下滑到底端时，斜面体在水平面上移动的距
离是( )
A．
B．
C．
D．
【参考答案】C
【名师解析】 此题属于“人船模型”问题，m 与M 组成的系统在水平方向上动量守恒，设m 在水平
3
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方向上对地位移为x1，M 在水平方向上对地位移为x2．
因此0＝mx1－Mx2，
①
且x1＋x2＝hcot α，
②
由①②可得x2＝，选项C 正确．
4 光滑水平面上放有一上表面光滑、倾角为α 的斜面A，斜面质量为M、底边长为L，如图所示。将
一质量为m 可视为质点的滑块B 从斜面的顶端由静止释放，滑块B 经过时间t 刚好滑到斜面底端。此过程
中斜面对滑块的支持力大小为FN，则下列说法中正确的是( )
A．FN＝mgcos α
B．滑块下滑过程中支持力对B 的冲量大小为FNtcos α
C．滑块B 下滑的过程中A、B 组成的系统动量守恒
D．此过程中斜面向左滑动的距离为L
【名师解析】 当滑块B 相对于斜面加速下滑时，斜面A 水平向左加速运动，所以滑块B 相对于地面
的加速度方向不再沿斜面方向，即沿垂直于斜面方向的合外力不再为零，所以斜面对滑块的支持力FN不等
于mgcos α，A 错误；滑块B 下滑过程中支持力对B 的冲量大小为FNt，B 错误；由于滑块B 有竖直方向的
分加速度，所以系统竖直方向合外力不为零，系统的动量不守恒，C 错误；系统水平方向不受外力，水平
方向动量守恒，设A、B 两者水平位移大小分别为x1、x2，则Mx1＝mx2，x1＋x2＝L，解得x1＝L，D 正确。
[答案] D
5 （2022 北京平谷模拟）如图所示，质量为M 的小车静止在光滑的水平桌面上，小车的上表面是半径为
R 的光滑半圆形轨道。小车两侧距离桌面边缘的水平距离均为R。质量为m 的小球从小车上圆形轨道
右侧的最高点由静止释放，已知M >m。下列说法正确的是
A．小球由静止释放后，小球的机械能守恒
4
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B．小球由静止释放后，小球和小车组成的系统的动量守恒
C．小球到达圆弧轨道左侧最高处时，小车的速度为零
D．小车的左边外侧始终不会伸出桌面左边缘，小车的右边外侧会伸出桌面右边缘
【参考答案】C
【名师解析】此题为人船模型。小球由静止释放后，小球和小车组成的系统的机械能守恒，选项A 错误；
小球由静止释放后，小球和小车组成的系统水平方向的动量守恒，竖直方向的动量不守恒，选项B 错
误；由动量守恒定律，小球到达圆弧轨道左侧最高处时，小车的速度为零，选项C 正确；由于M
>m，当小球到达圆弧轨道左侧最高处时，由人船模型，mx=M（2R-x），解得：x=
，小车向右
移动距离s=2R-x=
＜R，即小车的左边外侧始终不会伸出桌面左边缘，小车的右边外侧不会伸出
桌面右边缘，选项D 错误。
6.（2021 辽宁模拟预测12）如图所示，质量为M 的车静止在光滑水平面上，车右侧内壁固定有发射装置。
车左侧内壁固定有沙袋。把质量为m 的弹丸最终射入沙袋中，这一过程中车移动的距离是S，则小球初位
置到沙袋的距离d 为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在发射弹丸到弹丸落到沙袋运动中，弹丸和车组成的系统动量守恒，由动量守恒定律，则有
mv 弹−Mv 车=0
可得
解得
R
M
m
R
R
O
5
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A 正确，BCD 错误。
7. （2024 年4 月湖北部分重点高中期中联考物理）如图所示，质量为M 的带有四分之一光滑圆弧轨道的
小车静止置于光滑水平面上，圆弧的半径为R(未知)，一质量为m 的小球以速度v0水平冲上小车，恰好达
到圆弧的顶端，此时M 向前走了0.25 R，接着小球又返回小车的左端。若M =2m，重力加速度为 g，则
( )
A. 整个过程小车和小球组成系统动量和机械能都守恒
B. 圆弧的半径为R = v0
2
3 g
C. 小球在弧形槽上上升到最大高度所用的时间为8 v0
15 g
D. 整个过程小球对小车做的功为4 m v0
2
9
【参考答案】BD
【思路分析】本题考查了单一方向动量守恒、系统机械能守恒、动能定理等。
整个过程小车和小球组成系统仅在水平方向动量守恒；根据系统水平方向动量守恒和机械能守恒分析解题。
求变力做功时往往使用动能定理。
本题涉及到了第二类人船模型，即分析初始动量不为零的系统位移问题，同学们应该掌握解答中描述的这
种方法。
6
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【名师解析】
整个过程小车和小球组成系统仅在水平方向动量守恒，系统的机械能守恒，故A 错误；
从滑上轨道到到达顶端，规定向右为正，根据水平方向动量守恒可得m v0=(M +m)v，根据机械能守恒可
得1
2 mv0
2=mgR+ 1
2
(M +m)v
2，联立可得v = v0
3
、R = v0
2
3 g
，故B 正确；
规定向右为正，设小球返回小车左端时的速度大小为v1、小车的速度大小为v2，根据水平方向动量守恒可
得m v0= M v2-m v1，
根据机械能守恒可得1
2 m v0
2= 1
2 m v1
2+ 1
2 M v2
2，其中M =2m，联立可得v2= 2v0
3
，对小车根据动能定理可
得W = 1
2 M v2
2-0= 4 mv0
2
9
，故D 正确；
小球从滑上轨道到到达顶端，设小球与弧形槽相对地面的水平位移分别为x1，x2，
则根据题意可得x1=1.25 R，x2=0.25 R，
在水平方向任一时刻都满足m v0=m v1' + M v2'，
则有m v0t =∑m v1' t +∑M v2' t =m x1+ M x2，
结合M =2m，R = v0
2
3 g
，
可解得t = 7 v0
12 g
，故C 错误。
8. （2024 山东青岛市平度一中期末）如图，质量为2m 的物块B 放在光滑水平面上，B 上方用铰链连接一
根长为L 的轻杆，轻杆顶端固定一质量为m 的小球A，开始时轻杆竖直。给小球A 一个向左的轻微扰动，
已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
7
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A. 若物块B 固定，在轻杆转动过程中，小球A 水平方向的速度先增大后减小
B. 若物块B 固定，在轻杆转动过程中，重力做功的最大功率为
C. 若物块B 不固定，A、B 组成的系统水平方向的动量不守恒
D. 若物块B 不固定，当轻杆转到水平方向时，小球A 在水平方向上的位移大小为
【参考答案】ABD
【名师解析】
若物块B 固定，在轻杆转动过程中，开始时小球A 水平速度为零，到达最低点时水平速度又为零，可知在
轻杆转动过程中小球A 水平方向的速度先增大后减小，选项A 正确；
若物块B 固定，在轻杆转动过程中，当小球到达最低点时竖直速度最大，根据机械能守恒
则重力做功的功率最大，最大为
选项B 正确；
若物块B 不固定，A、B 组成的系统水平方向受合外力为零，则系统的动量守恒，选项C 错误；
若物块B 不固定，当轻杆转到水平方向时，小球A 在水平方向上的位移为x，则由人船模型可知
解得
选项D 正确。
9. （2024 安徽安庆市二中第四次质检）如图，质量均为m 的木块A 和B，并排放在光滑水平面上，A 上固
8
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定一竖直轻杆，轻杆上端的O 点系一长为L 的细线，细线另一端系一质量为m0的球 C。现将 C 球拉起使
细线水平伸直，并由静止释放C 球。求 A、B 两木块分离时，A、B、C 的速度大小？
【参考答案】
；
【名师解析】
小球C 下落到最低点时，AB 开始分离，此过程水平方向动量守恒．根据机械能守恒有
取水平向左为正方向，由水平方向动量守恒得
m0vC-2mvAB=0
联立解得
10．（16 分）（2024 湖南新高考教研联盟一模）如图，质量为m 的a 球（中间有一个小孔）穿在足够长
的光滑水平杆上。b 球质量为km，a 球和b 球用长为L 的轻杆相连。从图示位置，先给b 球一个竖直向上
的初速度
，让b 球越过最高点，假设b 球连同轻杆在运动过程中均不会与水平杆相碰（稍微错开，但错
开距离忽略不计，重力加速度为g）。
9
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（1）求b 球到达最高点时，a 球的位移大小；
（2）以a 球初始位置为坐标原点，水平向右为x 轴正方向，竖直向上为y 轴正方向，求b 球运动的轨迹方
程；
（3）当b 球运动到水平杆下方，且轻杆与水平杆正方向夹角为
时，求b 球的速度大小。
【参考解析】（1）b 球运动到最高点，水平方向动量守恒：
，
即：
①，
几何关系：
②，
由①②得
。
（2）设球b 的坐标为
时，a 球水平向左移动距离为
，b 球水平向右距离为
：
以a 球和b 球为整体，水平方向动量守恒：
，
用小球水平方向位移表示为
③，
以a 球为参考系，b 球轨迹为圆
④，
由③④得
或
。
b 球的轨迹是一个椭圆。
（3）设b 球的水平速度为
，竖直速度为
，a 球水平速度为
，
以a 球和b 球为整体，水平方向动量守恒：
⑤，
以a 球和b 球为整体，机械能守恒，以水平杆为零势能面：
⑥，
当b 球运动到水平杆下方，且轻杆为水平杆正方向夹角
时，以a 球为参考系，此时b 球速度方向与水
10
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平方向夹角为
：
⑦，
⑧，
由⑤⑥⑦⑧得
。
11．(2024 江西赣州质检) (12 分)如图所示，半径为R 的光滑
圆弧槽静止在足够长的光滑水平面上，圆弧
底端与水平面相切，其右侧距离为R 处有厚度不计的薄木板，薄木板的左端放置一个小滑块，右端固定一
竖直轻质挡板，挡板左侧连有一轻质弹簧。现将一小球从圆弧槽左侧内切点正上方的一定高度由静止释放，
小球落入圆弧槽后又滑离；然后以大小为v0的速度与小滑块发生弹性碰撞，碰撞时间极短；随后小滑块拖
动薄木板向右滑动，压缩弹簧后反弹，且恰好能回到薄木板的最左端而不掉下。已知小球的质量为m，圆
弧槽和小滑块的质量均为3m，薄木板的质量为6m，小球和小滑块均可视为质点，重力加速度为g。求：
（1） 小球开始下落时离水平地面的高度h；
（2） 小球与滑块碰撞的瞬间，小球与圆弧槽底端的距离x；
（3） 弹簧的最大弹性势能EPm。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】（1）设小球滑离圆弧槽时，圆弧槽的反冲速度大小为v1，方向水平向左
由动量守恒定律得
解得
从小球开始下落至球、槽第一次分离过程，系统机械能守恒。由机械能守恒定律得
11
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解得
（2）设小球从开始下落至刚好滑离圆弧槽，相对地面向右滑过x1，圆弧槽反冲相对地面后退x2，由平均动
量守恒可得
解得
，
小球要继续向右滑过
，历时t，则
圆弧槽在t 时间内向左继续滑行的距离为
小球与滑块碰撞的瞬间，小球与圆弧槽底端的距离
（3）规定向右为正方向，小球与滑块发生弹性碰撞，动量守恒，机械能守恒
解得
方向向左；
方向向右。
滑块与薄木板共速时弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律得
解得
因滑块恰好回到薄木板的最左端，故薄木板与滑块间一定有摩擦，且相对薄木板向右运动和返回向左运动
的摩擦生热相同，设为Q，则
12
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滑块恰好回到薄木板的最左端时仍共速，速度仍为v，故
解得
12. （2023 湖北四市七校联盟期中联考） 如图所示，质量为3m、半径为R 的光滑圆弧形槽静止在光滑水
平面上，质量为m 的小钢球从槽的顶端A 处静止释放，不计一切阻力，重力加速度为g，在此后的过程中，
下列说法正确的是（ ）
A. 小钢球和圆弧形槽组成的系统动量不守恒
B. 小钢球运动到圆弧槽B 处时速度为
C. 小钢球运动到圆弧槽B 处时，此圆弧槽的对地位移大小可能为
R
D. 小钢球运动到圆弧槽B 处时，此小钢球的对地位移大小可能为
R
【参考答案】ACD
【名师解析】
小钢球在竖直方向受重力作用，合力不为零，小钢球和槽组成的系统动量不守恒，A 正确；
小钢球和槽组成的系统水平方向上不受外力，所以系统在水平方向上动量守恒，由题意知水平方向上初动
量为零，则有
mv1= 3mv2
又因为整个过程系统机械能守恒又有
13
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解得
，
，B 错误；
设小钢球小钢球下滑到底端B 的过程中所用时间为t，圆弧向左移动的距离为x，则小钢球向右移动的距离
为R－x，根据水平方向动量守恒得
解得
，
由于小钢球在竖直方向运动了R，则小钢球运动到圆弧槽B 处时，此小钢球的对地位移大小可能为
，CD 正确。
13. . (2023 湖南名校5 月质检) 气球质量为
，载有质量为
的人，静止在空中距地面
的地
方，气球下悬一根质量可忽略不计的绳子，此人想从气球上沿绳慢慢下滑至安全到达地面，则这根绳长至
少为（ ）
A.
B.
C.
D.
【参考答案】C
【名师解析】
以人和气球组成的系统为研究对象，系统动量守恒，设人在沿绳缓慢下滑时的速度为v1，气球的速度为
v2，经过时间t 人安全到达地面，人运动的位移为s1=20m,气球上升的位移为s2，因为人从气球上沿绳慢慢
下滑，所以在整个过程可看成匀速直线运动，有
则
14
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解得
所以绳长最短为20m+10m=30m，故选C。
14. （2023 湖北孝感重点高中期中联考）如图，质量为m 的人站在质量为M 的车的一端，m>M，车相对
于地面静止。在人由一端走到另一端的过程中，人重心高度不变，空气阻力、车与地面间的摩擦力均可以
忽略不计（ ）
A. 人对车的冲量大小大于车对人的冲量大小
B. 人发生的位移大小大于车发生的位移大小
C. 人运动越快，人和车的总动量越大
D. 不管人运动多快，车和人的总动量不变
【参考答案】D
【名师解析】
在人由一端走到另一端的过程中，对于人和车组成的系统，所受的合外力为零，系统的动量守恒，C 错误，
D 正确。根据
，人对车的作用力等于车对人的作用力，作用时间相等，所以人对车的冲量大小等于
车对人的冲量大小，A 错误；
根据动量守恒定律
两边同时乘于时间，则得
即
，m>M
解得
，B 错误。
15. （2023 湖北六校期中联考）生命在于运动，体育无处不在，运动无限精彩。如图所示，质量为450kg
的小船静止在平静的水面上，质量为50kg 的人在甲板上立定跳远的成绩为2m，不计空气和水的阻力，下
15
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列说法正确的是（ ）
A. 人在甲板上向右散步时，船也将向右运动
B. 人在立定跳远的过程中船相对地面保持静止
C. 人在立定跳远的过程中船相对地面后退了0.4m
D. 人相对地面的成绩为1.8m
【参考答案】D
【名师解析】
根据动量守恒定律知，人在甲板上散步时，船将向后退，即船向左运动，故A 错误；
根据“人船模型”动量守恒有
代入数据解得
即人在立定跳远的过程中船后退了0.2m，故BC 错误；
人相对地面的成绩为
，故D 正确；
16. （2023 高考湖南卷）如图，质量为
的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光
滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为
和
，长轴水平，短轴竖直．质量为
的小球，初始时刻从椭圆
轨道长轴的右端点由静止开始下滑．以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地
面的直角坐标系
，椭圆长轴位于
轴上．整个过程凹槽不翻转，重力加速度为
．
（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离；
16
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（2）在平面直角坐标系
中，求出小球运动的轨迹方程；
（3）若
，求小球下降
高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用
及
表示）．
【思维导图】
（1）人船模型→水平方向动量守恒→机械能守恒定律→凹槽速度大小→凹槽相对于初始时刻向右运动的
距离
（2）椭圆标准方程→人船模型→小球运动的轨迹方程
（3）M/m=
→小球运动的轨迹方程→小球轨迹为半径为b 的圆→水平方向动量守恒→机械能守恒定
律→小球相对于地面速度大小
【名师解析】
（1）小球第一次运动到轨道最低点的过程，水平方向由动量守恒定律，m v1=Mv2，
由机械能守恒定律，mgb=
+
联立解得：v2=
根据人船模型，mx1=Mx2，x1+x2=a
解得：凹槽相对于初始时刻向右运动的距离x
2=
（2）小球向左运动过程中凹槽向右运动，当小球的坐标为
时，此时凹槽水平向右运动的位移为
，
根据人船模型有
则小球现在在凹槽所在的椭圆上，根据数学知识可知此时的椭圆方程为
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整理得
（
）
（3）将
代入小球的轨迹方程化简可得
即此时小球的轨迹为以
为圆心，b 为半径的圆，则当小球下降的高度为
时有如图
此时可知速度和水平方向的的夹角为
，小球下降
的过程中，系统水平方向动量守恒
系统机械能守恒
联立得
【参考答案】（1）
，
；
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（2）
；（3）
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