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动量守恒的八种模型解读和针对性训练
模型二 弹性碰撞模型
模型解读
1． 碰撞过程的四个特点
（1）时间短：在碰撞现象中，相互作用的时间很短。
（2）相互作用力大：碰撞过程中，相互作用力先急剧增大，后急剧减小，平均作用力很大。
（3）位移小：碰撞过程是在一瞬间发生的，时间极短，在物体发生碰撞的瞬间，可忽略物体的位移，认
为物体在碰撞前后仍在同一位置。
（4）满足动量守恒的条件：系统的内力远远大于外力，所以即使系统所受合外力不为零，外力也可以忽
略，系统的总动量守恒。
（5）.速度要符合实际
（i）如果碰前两物体同向运动，则后面物体的速度必大于前面物体的速度，即v 后>v前 ，否则无法实现
碰撞。碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来在前的物体的速度大于或等于原来在后的物体的
速度v前
' ≥v 后
' 。
（ii）如果碰前两物体是相向运动，则碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均
为零。若碰后沿同向运动，则前面物体的速度大于或等于后面物体的速度，即v前
' ≥v 后
' 。
2. 动动弹性碰撞
已知两个刚性小球质量分别是m1 、m2 ，
m1v1+m2v2＝m1v1’+m2v2’，
m1v+m2v2
2＝m2v’＋m 乙v，
3. 一动一静"弹性碰撞模型
如图所示，已知A 、B 两个刚性小球质量分别是m1 、m2 ，小球B 静止在光滑水平面上，A 以初
速度v0 与小球B 发生弹性碰撞，
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取小球A 初速度v0 的方向为正方向，因发生的是弹性碰撞，碰撞前后系统动量守恒、动能不变，有
m1v0=m1v1+m2v2
1
2 m1v0
2= 1
2 m1v1
2+ 1
2 m2v2
2
联立解得v1= (m1-m2)v0
m1+m2
,v2= 2m1v0
m1+m2
讨论：（1）若m1>m2 ，则0<v1<v0 、v2>v0 ，物理意义：入射小球质量大于被碰小球质量，则入射小
球碰后仍沿原方向运动但速度变小，被碰小球的速度大于入射小球碰前的速度。
（2）若m1=m2 ，则v1=0 、v2= v0 ，物理意义：入射小球与被碰小球质量相等，则碰后两球交换速度。
（3）若m1<m2 ，则v1<0 （即v1 与v0 方向相反) 、v2<v0 ，物理意义：入射小球质量小于被碰小球质
量，则入射小球将被反弹回去，被碰小球的速度小于入射小球碰前的速度。
（4）若m1m2 ，则v1 趋近于v0 、v2 趋近于2v0 ，物理意义：入射小球质量比被碰小球质量大得多，则
入射小球的速度几乎不变，被碰小球的速度接近入射小球碰前速度的2 倍，也就是说被碰小球对入射小球
的运动影响很小，但入射小球对被碰小球的运动影响不能忽略，例如用一个铅球去撞击一个乒乓球。
（5）若m1m2 ，则v1 趋近于- v0 、v2 趋近于0，物理意义：入射小球质量比被碰小球质量小得多，则入
射小球几乎被以原速率反弹回去，被碰小球几乎不动，例如乒乓球撞击铅球。
注意：上面讨论出的结果不能盲目套用，应用的前提条件是一个运动的物体去碰撞一个静止的物体，且是
弹性碰撞。
4."一动一静"弹性碰撞模型的类比应用
广义地讲，“碰撞”就是一种相互作用，弹性碰撞模型的应用不仅仅局限于“碰撞”，如果相互作用
前后系统满足动量守恒、动能不变，具备了这一特征的物理过程，就可理解为“弹性碰撞”过程，就可以
类比弹性碰撞的规律解题。
如图所示，光滑水平地面上静止放置由弹簧相连的木块A 和B ，开始时弹簧处于原长，现给A 一个
向右的瞬时冲量，让A 开始以速度v0 向右运动，若mA>mB ，则当弹簧再次恢复原长时，木块A 和B
通过弹簧相互作用，系统动量守恒，机械能守恒，A 和B 之间的相互作用可以视为弹性碰撞，弹簧再次
恢复原长时，相当于木块A 与木块B 之间的弹性碰撞结束，则此时A 、B 的速度分别为
v A = (mA -mB)v0
mA+mB
，vB= 2mA v0
mA+mB
，由于mA>mB
，所以此时A 的速度向右，且A 的速度小于B 的速
度。
处理碰撞问题的几个关键点
（1）选取动量守恒的系统：若有三个或更多个物体参与碰撞，要合理选取所研究的系统。
（2）弄清碰撞的类型：弹性碰撞、完全非弹性碰撞还是其他非弹性碰撞。
（3）弄清碰撞过程中存在的关系：能量转化关系、几何关系、速度关系等。
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碰撞的可能性
【典例分析】
【典例】（2024 江西吉安一中期末） 如图所示，内壁光滑的圆弧轨道ABC 固定在竖直面内，与在光滑的
水平面相切于A 点，O 是圆心，OA、OB 分别是竖直半径和水平半径，∠COB=37°。甲、乙两小球（均视为
质点）静置在A 点的右侧，乙的质量为3m，现让甲获得一个水平向左的速度2v0，甲、乙发生弹性碰撞，
碰刚结束时甲、乙的速度正好等大反向，然后乙从A 点进入圆弧轨道向上运动，重力加速度大小为g，
sn37°=0.6，cos37°=0.8。
（1）求甲球的质量；
（2）若乙球到达C 点（即将离开轨道还未离开轨道）与圆弧轨道间的弹力刚好为0，则圆弧轨道的半径为
多少？
（3）在第（2）问中，当乙球运动到B 点时，重力的瞬时功率为多少。
【针对性训练】
1．（2024 年4 月北京东城区模拟）如图所示，质量为M、倾角为
的光滑斜劈置于光滑水平地面上，质
量为m 的小球第①次和第②次分别以方向水平向右和水平向左、大小均为
的初速度与静止的斜劈相碰，
碰撞中无机械能损失。重力加速度用g 表示，下列说法正确的是
A．这两次碰撞过程小球和斜劈组成的系统动量都守恒
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B．第②次碰撞后斜劈的速度小于
C．第②次碰撞过程中地面对斜劈的支持力等于
D．第①次碰撞前、后小球的速度方向一定在同一直线上；第②次碰撞前、后小球速度方向与斜面法线的
夹角一定相等
2. （2024 山东济南历城二中质检）半径为R 的竖直放置的光滑半圆轨道如图所示，质量为3m 的小球B 静
止在轨道最低点，质量为m 的小球A 从轨道边缘由静止下滑，A、B 间碰撞为弹性碰撞，则（ ）
A. A、B 两球总动量一直不变
B. 碰撞前A 球重力的功率一直变大
C. A、B 两球此后的碰撞位置一定还在轨道最低点
D. 每次碰撞前的瞬间，两球对轨道压力一定相等
3.（2024 湖南名校期末联考）（14 分）质量为m 的钢板B 与直立轻弹簧的上端连接,弹簧下端固定在
地上.平衡时,弹簧的压缩量为x0,如图所示.一质量为2m 的物块A 从钢板正上方距离为3x0处自由落下,打在
钢板上。
（1）若两物体发生的是弹性碰撞，则碰撞后A、B 两物体的速度v1、v2为多少？
（2）若两物体发生的是完全非弹性碰撞，碰撞后一起向下运动,但不粘连.它们到达最低点后又向上运动.且物
块与钢板回到O 点时,还具有向上的速度.求物块向上运动到达的最高点与O 点的距离.已知弹性势能Ep 与形变x
的关系式为
E p=1
2 kx 2
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4. （2024 辽宁省葫芦岛期末） 如图所示，一半径为R=0.8m 的四分之一光滑圆弧轨道与光滑水平轨道cd
在d 处平滑连接，且与足够长的粗糙水平轨道ab 在同一竖直平面内。在ab 的最右端放置一个质量M=4kg
的木板，其上表面与cd 等高，木板与轨道ab 间的动摩擦因数
，质量
的滑块Q 置于cd
轨道上且与c 点距离为6m。现在圆弧轨道的最高点处由静止释放一质量
的滑块P，一段时间后
滑块P 与Q 发生弹性正碰，碰撞时间极短。从P 与Q 碰撞结束开始计时，3s 末Q 从木板左端飞出（飞出后
立即被取走，对其他物体的运动不造成影响）。已知P、Q 与木板间的动摩擦因数均为
，滑块
P、Q 均可视为质点，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，g 取10m/s2，求：
（1）碰撞后P、Q 速度的大小和方向；
（2）木板的长度L；
（3）若P 滑块滑上木板
瞬间，地面变为光滑，问P 滑块能否从木板左端滑离木板?
若能，求P 从木板左端滑离时的速度；若不能，求P 滑块相对木板静止时P 滑块木板上的位置距木板右端
的距离
。
5. （2024 江苏泰州3 月调研）如图所示，可视为质点的两个小物块A、B 并排放在粗糙水平面上，一根轻
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绳一端固定于水平面上的O 点，另一端系在小物块A 上。已知
，A、B 与水平面间的
动摩擦因数
，轻绳长
取
取3.14 且
。现给A 一个向左的初速度
，使其绕O 点做圆周运动，运动一周时与B 发生弹性碰撞。求：
（1）A 刚开始运动时所受轻绳拉力的大小
；
（2）A 与B 碰前瞬间的加速度大小a；
（3）A 与B 碰后B 滑行的距离s。
6. （2024 河北保定部分学校期末） 如图所示，固定在竖直平面内的轨道由倾角θ 可调的倾斜轨道AB、足
够长的水平轨道BC 和半径为R=0.3m 的竖直圆轨道构成，P 为圆轨道的最高点，AB 段轨道粗糙，其余轨
道光滑，各段轨道均平滑连接，当倾角θ=30°时，质量为m1=0.6kg 的物块a 恰好能沿轨道AB 匀速下滑。现
将倾角调为θ=60°，让物块a 从距水平面BC 高度为h=1.2m 处静止滑下，过一段时间后与静止在水平轨道
BC 上的物块b 发生弹性碰撞，若物块a、b 均可视为质点，物块a 始终不会脱离轨道，取重力加速度
g=10m/s2，求：
（1）物块a 与轨道AB 间的动摩擦因数；
（2）物块a 第一次经过圆轨道最高点P 时对轨道的压力大小；
（3）若物块a 只经过一次P 点且能与物块b 发生两次碰撞，求物块b 的质量范围。
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