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专题18 动量及其守恒定律
考点01：动量 冲量
1．（2023 高三·河北·学业考试）滑雪运动员在如图所示滑道上滑行，滑道弧形部分最末端的切线与斜坡垂
直，从末端滑出时的速度大小为，运动员始终能落到斜坡上。不考虑空气阻力，运动员可视为质点，下
列说法正确的是（ ）
A．运动员在空中运动过程所受重力的冲量与
成正比
B．运动员到斜坡的最大距离与成正比
C．运动员落到斜坡上前瞬间重力的瞬时功率与成正比
D．运动员落到斜坡上时速度方向与斜坡夹角的正切值与成正比
【答案】C
【详解】A．设斜坡倾角为
，将运动员的运动沿垂直斜坡方向和平行斜坡方向进行分解，在垂直斜坡方
向上，运动员做匀变速运动，初速度大小为，加速度大小为
，则运动员在空中运动的时间为
在空中运动过程重力的冲量为
1
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故A 错误；
B．当运动员垂直斜坡方向的速度为零时，运动员到斜坡距离最大，为
故B 错误；
D．运动员在平行斜坡方向上，做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小为
，运动员落到斜坡
上时垂直斜坡方向的速度大小为，平行斜坡方向的速度大小为
速度方向与斜坡夹角的正切值为
故D 错误；
C．落到斜坡上时，运动员重力的瞬时功率为
故C 正确。
故选C。
2．（2020 高三·山东·学业考试）江南多雨，屋顶常常修成坡度固定的“人”字形，“人”字形的尖顶屋可
以看做由两个斜面构成，斜面与水平方向的夹角均为
，房屋长度2x 为一定值，将雨滴从“人”字形坡顶
开始的下滑过程简化为如图所示的模型，雨滴从光滑斜面顶端由静止下滑，做匀变速直线运动，不考虑雨
滴滑下时质量的变化，下列说法正确的是（ ）
A．
越大，雨滴滑下的时间越长
B．
越大，雨滴滑下的时间越短
C．
越大，雨滴滑下时的动能越大
2
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D．
越大，雨滴滑下时的动量越小
【答案】C
【详解】AB．将雨滴从“人”字形坡顶开始的下滑看做由静止开始的匀变速直线运动，加速度为
则由
可知雨滴运动的时间
可知当
时，雨滴滑下时所用的时间最短，故AB 错误；
C．由
可知α 越大，雨滴滑下时的动能越大，故C 正确；
D．动量
可知动能越大，动量也越大，故D 错误。
故选C。
3．（2023 高三上·江苏南通·学业考试）如图所示为某名运动员保持固定姿势欲骑车飞跃宽度d=2 m 的壕沟
AB。已知两沟沿的高度差h=0.4 m，g 取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．运动员在空中飞行的过程中，重力的功率逐渐增大
B．运动员离开A 点时的速度越大，在空中运动的时间越长
C．运动员在空中飞行的过程中，动量变化量的方向斜向右下方
D．运动员离开A 点时的速度大于5 m/s 就能安全越过壕沟
3
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【答案】A
【详解】A．运动员在空中飞行的过程为平抛运动，竖直方向做自由落体落体运动，而自由落体运动任意
时刻的速度
则重力在任意时刻的功率
可知，运动员在空中飞行的过程中，重力的功率逐渐增大，故A 正确；
B．根据平抛运动在竖直方向做自由落体运动，则有
由运动的独立性与等时性可知，其在空中运动的时间由下落高度决定，与初速度大小无关，故B 错误；
C．平抛运动速度的变化量
其方向竖直向下，根据
可知动量变化量的方向同样竖直向下，故C 错误；
D．根据平抛运动的研究规律，设运动员恰好越过壕沟的初速度为，则在竖直方向有
在水平方向有
代入数据解得
可知，运动员离开A 点时的速度大于
就能安全越过壕沟，故D 错误。
故选A。
4．（2020 高二·山东·学业考试）a、b 两物体的质量之比 ma：mb＝2：1，只在摩擦力作用下，它们同时以
不同的初速度在水平面上做匀减速直线运动，恰好同时停止，其v-t 图像如图所示。此过程中（ ）
4
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A．a、b 两物体受到的摩擦力之比Fa:Fb=2:1
B．a、b 两物体与水平面的摩擦系数之比μa:μb=2:1
C．a、b 两物体受到的摩擦力的冲量之比Ia:Ib=1:1
D．a、b 两物体受到的摩擦力做的功之比Wa:Wb=1:1
【答案】C
【详解】A．由图像可知 a、b 两物体加速度之比为1:2，则由f=ma 可知受到的摩擦力之比Fa:Fb=1:1，选项
A 错误；
B．根据
可知，a、b 两物体与水平面的摩擦系数之比μa:μb=1:2，选项B 错误；
C．根据I=ft 可知，a、b 两物体受到的摩擦力的冲量之比Ia:Ib=1:1，选项C 正确；
D．由图像可知a、b 两物体位移之比为1:2，根据W=fs 可知，两物体受到的摩擦力做的功之比
Wa:Wb=1:2，选项D 错误。
故选C。
5．（2023 高三·河北·学业考试）如图所示，质量为m=0.2kg、长度为L=6m 的长木板静置在粗糙水平地面
上，质量为m=0.2kg 的木块（可视为质点）静置在长木板最左端。木块与长木板间的动摩擦因数为
，长
木板与水平地面间的动摩擦因数为
（
），t=0 时给木块一水平向右的瞬时冲量
，木
块经t=2s 离开木板。取水平向右为正方向，g 取
，则0~2s 内木块对长木板摩擦力的冲量与地面对长
木板摩擦力的冲量之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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【答案】B
【详解】木块在长木板上运动时，由牛顿第二定律有
由匀变速直线运动规律有
由于
，木块对木板的滑动摩擦力小于木板与地面间的滑动摩擦力，木板保持静止，其中
解得
木块对长木板的摩擦力方向水平向右、大小为
，则木块对长木板摩擦力的冲量为
对木板进行受力分析可知，地面对长木板的摩擦力等于木块对长木板的摩擦力、方向水平向左有
则0~2s 内木块对长木板摩擦力的冲量与地面对长木板摩擦力的冲量之比为
B 正确，ACD 错误。
故选B。
6．（2023 高二·北京·学业考试）如图所示，一质量为m = 0.05kg 的子弹以水平向右初速度v0= 100m/s 打
入竖直墙体并留在墙内，设打入墙体时间t = 0.01s。求：
（1）求子弹的加速度a 的大小；
（2）求子弹打入墙体的过程中受到的平均合外力F 的大小；
（3）若用物体的质量m 与速度v 的乘积表示物体的动量p，求子弹打入墙壁这段时间内动量变化量p 的
大小。
6
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【答案】（1）10000m/s2；（2）500N；（3）5kg∙m/s
【详解】（1）根据加速度定义式
，取水平向左为正，可得
（2）根据牛顿第二定律F = ma，取水平向左为正，可得
F = 0.05 × 10000N = 500N
（3）取水平向左为正，子弹动量的变化量为
p = 0－(－mv0) = 5kg∙m/s
动量变化量大小为5kg∙m/s。
7．（2020 高二上·北京·学业考试）我国自主研制了运-20 重型运输机。飞机获得的升力大小F 可用
表示，式中k 是已知常量；v 是飞机在平直跑道上的滑行速度。当升力与重力相等时，飞机的速度称为起
飞离地速度。已知飞机装载货物后的总质量为m，重力加速度为g。
（1）求装载货物后，飞机起飞离地速度的大小v1；
（2）物理学中，力对时间的累积效应用冲量I 表示，冲量是矢量，恒力f 在时间Δt 内的冲量I=fΔt，其方向
与恒力f 的方向相同。若该飞机装载货物后，从静止开始加速滑行一段时间至起飞离地，将该过程看作匀
加速直线运动。求在滑行过程中，飞机所受合力冲量的大小I 合。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）飞机升力F 与所受重力相等时，达到起飞离地速度
解得
（2）飞机装载货物后，从静止开始匀加速运动至起飞离地，根据牛顿第二定律
7
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力f 对时间Δt 的累积效应
I=fΔt
飞机在滑行过程中所受合力的冲量大小
解得
8．（2021 高二上·北京·学业考试）如图所示，一位滑雪者沿倾角θ=30°的山坡滑下，将他的运动看作匀加
速直线运动。已知滑雪者的初速度v0=1m/s，在t=5s 时间内滑下的距离x=55m，滑雪者与装备的总质量
m=80kg，取重力加速度g=10m/s2。
（1）求滑雪者在5s 末速度的大小v；
（2）求滑雪者在下滑过程中所受阻力的大小Ff；
（3）力在空间上的累积效应可以用功表示。力在时间上也有累积效应，可以用冲量I 表示。冲量是矢量，
恒力F 在时间Δt 内的冲量I=FΔt，其方向与恒力F 的方向相同。求滑雪者在下滑5s 的过程中，所受合力的
冲量大小I 合。
【答案】（1）
；（2）
；（3）1600N·s
【详解】（1）根据匀变速直线运动的规律
解得
8
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（2）根据牛顿第二定律
解得
（3）设滑雪者所受重力、支持力、阻力的合力为F 合。F 合的冲量大小为
解得
9．（2023 高二·北京·学业考试）滑板是年轻人喜欢的运动项目。滑板爱好者及滑板总质量m = 60kg，以
v0=2.0m/s 的初速度沿斜坡匀加速滑下，斜坡的倾角θ = 30°，经t =4.0s 的时间下滑位移x=40m 到达坡底。
将人和滑板整体看作质点，设其在下滑过程中所受阻力的大小不变，重力加速度g 取10m/s2，求下滑过程
中
（1）滑板及人的加速度的大小a；
（2）滑板及人受到的阻力的大小f；
（3）力在空间上的累积效应可以用功表示。力在时间上也有累积效应，可以用冲量I 表示。冲量是矢量，
恒力F 在时间 Δt 内的冲量
，求滑板及人受到的合力的冲量大小I。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据匀变速直线运动规律
代入数据解得
（2）根据牛顿第二定律，有
解得
9
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（3）合力的冲量大小
10．（2023 高二·北京·学业考试）如图所示，是巴西足球明星——内马尔练习用头颠球的图片，我们可以
简化为左图。某一次足球由静止下落到头顶的速度大小
，被重新顶起离开头顶时的速度大小
。已知足球与头部的作用时间为0.1s，足球的质量为0.4kg，空气阻力不计。重力加速度g 取
10m/s2，在此过程中，求：
（1）足球与头顶相互作用过程中的加速度
的大小；
（2）求足球受到头顶的平均作用力F 的大小；
（3）物理学中，把物体的质量与速度的乘积用动量
来表示，
，动量是矢量，运算的方法和我们
之前学习的矢量类似，求足球与头顶作用过程中的动量变化量
的大小，并思考在足球与头部的作用时
间不变的情况下，足球受到的平均作用力F 的大小与足球的动量变化量
之间有怎样的关系，请定性说
明。
【答案】（1）
；（2）
（3）
，
越大F 也越大
【详解】（1）根据加速度定义式
，可以球的加速度为
（2）根据牛顿第二定律和足球的受力情况可得
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可以求解
（3）动量变化量表示为
可得
在足球与头部的作用时间不变的情况下，足球受到的平均作用力F 的大小与足球的动量变化量
之间有
怎样的关系为，
越大F 也越大。
考点02：动量定理
1．（2022 高三·广东·学业考试）如图所示，P 是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度v 不
同的微粒。P 的右侧有一探测屏AB 竖直放置。对于打在探测屏上的微粒，不计微粒的阻力，下列说法正确
的是（ ）
A．v 越大，在空中飞行的时间越长
B．v 越大，打在探测屏上时速度的偏转角越小
C．v 越小，相等时间内动量的变化量越小
D．v 越小，打在探测屏上时的动能变化量越小
【答案】B
【详解】AB．根据
解得
v 越大，在空中飞行的时间越短，打在探测屏上时的竖直速度vy 越小，速度的偏转角越小，A 错误，B 正
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确；
C．对于平抛运动，根据动量定理得
相等时间内动量的变化量ΔP 相等，C 错误；
D．v 越小，微粒在空中飞行的时间越长，竖直下落的位移越大，重力做的功越多，由动能定理可知，打在
探测屏上时的动能变化量越大，D 错误。
故选B。
2．（2022 高三·河北·学业考试）当船在水面上移动时，设作用在船上的阻力与船速成正比，即
。设
有一模型船的质量
，当它以
的初速度开始运动时，测得船在水面上移动
的路程
后完全停下，由此可以求出比例系数k 为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对船运动的极短时间
内，由动量定理有
即
对运动全过程求和可得
解得
故ACD 错误，B 正确。
故选B。
3．（2022 高三·河北·学业考试）一正方体物块A 置于风洞内的水平面上，其右侧面与风速垂直，当风速为
v 时刚好能推动该物块．风与物块相互作用后速度减为零，S 为物块迎风的面积。当风速变为
时，刚好
能推动用同一材料做成的另一正方体物块B，则A、B 两物块的质量之比为（最大静摩擦力等于滑动摩擦
力）（ ）
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A．1：4
B．1：8
C．1：16
D．1：64
【答案】D
【详解】设物块A 的边长为a，风刚好能推动物块A 时物块A 受到地面的最大静摩擦力与风对物块A 的作
用力等大反向，有
其中
设一小段时间
内，与物块A 作用的风（模型化成长方体）的长度是
，横截面积为S，则风与物块A
相互作用前后根据动量定理有
其中
计算可得
若风速变为原来2 倍能推动物块B，则物块B 体积
为物块A 的64 倍，质量也为物块A 的64 倍，故ABC 错误D 正确。
故选D。
4．（2021 高三·重庆·学业考试）如图所示，小车运动速度大小保持不变、沿竖直面内的圆弧形拱桥桥面上
升过程中，则（ ）
A．小车所受合外力的冲量为零
B．小车所受合外力做功为零
C．小车的重力的功率不变
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D．小车发动机的功率不变
【答案】B
【详解】A．汽车在行驶过程中，速度大小不变，方向不断改变，根据
p=mv
可知动量大小不变，方向不断改变，所以初动量与末动量大小相等，方向不同，根据动量定理
可知小车所受合外力的冲量不为零，故A 错误；
B．小车在行驶过程中，速度大小不变，方向不断改变，动能不变，根据动能定理
可知小车所受合外力做功为零，故B 正确；
C．汽车在行驶过程中，速度大小不变，方向不断改变，重力大小和方向均不变，根据
（其中
为重力与速度方向的夹角），因为
不断变化，所以小车的重力的功率不断变化，故C 错误；
D．小车在运动过程中，重力先做负功后做正功，根据能量守恒可知小车发动机做的功在变化，则小车发
动机的功率也在变化，故D 错误。
故选B。
5．（2020 高二下·贵州·学业考试）水平面上质量为4kg 的木块在摩擦力作用下做匀减速直线运动，初速度
为4m/s，经2s 停下，木块所受摩擦力的大小为（ ）
A．2N
B．4N
C．8N
D．10N
【答案】C
【详解】依题意，根据动量定理可得
代入数据求得摩擦力大小
故选C。
6．（2019 高三上·浙江·学业考试）2019 年10 月29 日，由航天科技集团六院801 所承担推进分系统的火星
探测器完成悬停、避障、缓速下降及着陆试验，充分验证了探测器到达火星后在降落阶段的控制和推进工
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作性能。已知火星的质量和半径分别约为地球的十分之一和二分之一。则下列说法正确的是（ ）
A．火星表面的重力加速度是地球表面加速度的五分之一
B．火星探测器要悬停，可以保持向下喷出燃料的速度不变和单位时间内喷出燃料的质量逐渐减小
C．火星探测器要向左水平平移，合外力的冲量方向为右偏下
D．火星探测器要缓速下降，不需要任何方向喷出燃料
【答案】B
【分析】根据万有引力与重力的关系，求出火星的重力加速度；根据动量定理与对探测量进行受力分析，
可求出探测器运动及受力问题。
【详解】A．由题可知
，
根据
代入数据，可得
A 错误；
B．火星探测器悬停时，受到向外喷出燃料时的反冲力与火星探测器的重力平衡，反冲力大小
由于火星探测器喷出燃料后总质量减小，因此反冲力也会减小，若喷出的燃料速度不变，则单位时间内喷
出燃料的质量逐渐减小，B 正确；
C．火星探测器要向左水平平移，合外力的冲量方向为水平向左，C 错误；
D．火星探测器要缓速下降，需要向下方喷出燃料，产生向上的反冲力，以减缓下降的速度，D 错误。
故选B。
7．（2024 高三下·湖北·学业考试）临近盛夏，池中的荷叶已经宽大而厚实，像一把巨大的绿色伞盖，为小
生命们提供了遮阳避雨的场所。若在雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得时间t 内杯中水面上升的高度为
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h。为估算池中荷叶叶面承受雨滴撞击产生的平均压强p，建立以下模型：假设荷叶叶面呈水平状，雨滴竖
直下落的速度为v，所有落到叶上的雨滴，约有
向四周溅散开，溅起时竖直向上的速度大小为
，另约
的雨滴撞击叶面后无反弹留在叶面上；忽略叶上的积水以及雨滴落在叶面上时重力的影响；忽略风力以
及溅起的水珠对下落雨滴的影响。已知水的密度为
，则p 约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设芭蕉叶的面积为S，则t 时间内落到芭蕉叶上面雨滴的质量为
根据题意，有
的雨滴向四周散开，取竖直向上为正方向；根据动量定理有
另
留在叶面上，根据动量定理有
根据压强的定义式
，可得
联立解得
故选C。
8．（多选）（2022 高二下·贵州·学业考试）在光滑水平面上，质量为m 的物体在水平恒力F 作用下，从静
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止开始做匀加速直线运动，经过时间t，速度变成v，可推出
。该式中的物理量属于矢量的是
（ ）
A．F
B．v
C．m
D．t
【答案】AB
【详解】力和速度具有大小和方向，所以为矢量，质量和时间只有大小没有方向，为标量，AB 正确，CD
错误。
故选AB。
9．（2024 高二·重庆·学业考试）某匀强电场的电场强度E 随时间t 变化的关系图像如图所示（以竖直向上
为电场强度的正方向），电场范围足够大，
时刻，将一质量为m、电荷量为q 的带正电微粒从该电场
中距地面足够高的位置由静止释放；
时刻，该微粒速度为零。已知重力加速度为g，下列说法正确的
是（ ）
A．
时刻，该微粒的加速度大小为g
B．
时刻，电场强度大小为
C．
时间段内，该微粒的最大速度为
D．
时间段内，该微粒所受电场力的冲量大小为
【答案】AC
【详解】B．根据图像可知，
时间段内，电场强度与时间成线性关系，由于粒子所受电场力大小为
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可知，电场力与时间也成线性关系，则电场力随时间变化的图像与时间轴所围几何图形的面积表示电场力
的冲量，根据动量定理有
解得
故B 错误；
A．根据上述可知，
时刻，电场力大于重力，加速度方向向上，根据牛顿第二定律有
结合上述解得
时刻，该微粒的加速度大小为
故A 正确；
D．根据上述，由于电场强度与时间成线性关系，则电场力与时间也成线性关系，则电场力随时间变化的
图像与时间轴所围几何图形的面积表示电场力的冲量，时间轴上方的面积表示的冲量与时间轴下方的面积
表示的冲量方向相反，根据数学函数规律可以解得
时间段内，图像与时间轴交点坐标为
，则该
微粒在
时间段内，所受电场力的冲量大小为
故D 错误；
C．根据上述，
时间段内，微粒所受电场力的冲量大小为0，由于0 时刻，微粒由静止释放，则
时间段内，合力的冲量等于重力的冲量，结合图像分析可知，合力冲量的最大值等于
，根据
动量定理有
解得
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故C 正确。
故选AC。
10．（2022 高三·广东·学业考试）为欢庆北京冬奥会，学校举行冰上比赛，一小组同学参加冰上滑板游戏，
木板放在水平冰面上，儿童坐在静止的木板上，如图甲所示。已知儿童质量和木板质量均为
，木
板与冰面间的动摩擦因数
，儿童与木板间的动摩擦因数
。现对木板施加水平向有的推力
F，F 随时间t 变化的图像如图乙所示。为保证儿童安全，当儿童即将与木板发生相对滑动时撤去推力。取
。
（1）经多长时间，撤去推力？
（2）求撤去推力时，木板的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）当木板与儿童之间的摩擦力达到最大时，二者将要发生相对滑动，此时加速度为a，根据牛
顿第二定律得
代入数据，解得
对木板与儿童整体分析，有
代入数据，解得
由图线得
推力刚好达到120N 时
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（2）木板与地面之间的最大静摩擦力
则在2s 后木板开始滑动，则在2s～6s 内根据动量定理可得
其中
解得
11．（2022 高三·河北·学业考试）如图甲是倾角
、长
的斜面，将质量
、可看作质点
的小物块由斜面顶端静止释放，物块与斜面间的动摩擦因数
随物块到斜面顶端的距离x 变化如图乙所示，
其函数关系为一次函数。重力加速度
，
，
。求：
（1）物块滑到斜面底端时的加速度大小；
（2）物块在斜面上滑行时间约为t=1.3s，求物块所受摩擦力的冲量大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）由图象可知当物体滑到斜面底端
时
，
由牛顿第二定律有
解得
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（2）设物块在斜面顶端的动摩擦因数为
，对物块下滑过程运用动能定理有
解得
对下滑过程运用动量定理有
解得
12．（2022 高二上·北京房山·学业考试）城市进入高楼时代后，高空坠物已成为危害极大的社会安全问题。
图为一则安全警示广告，非常形象地描述了高空坠物对人伤害的严重性。小明用下面的实例来检验广告词
的科学性：他建立了如图所示的模型，一个质量为
的鸡蛋从15 楼的窗户（距地面高度h 约为
45m）自由落下，与地面撞击时鸡蛋的竖直高度为
，认为鸡蛋底端落地后，鸡蛋顶端的运动是匀
减速运动，并且顶端运动到地面时恰好静止，以鸡蛋的底端、顶端落地的时间间隔作为鸡蛋与地面的撞击
时间，不计空气阻力。
（1）求鸡蛋落地前瞬间的速度大小v；
（2）忽略鸡蛋的重力，试估算从15 楼的窗户落下，鸡蛋撞击地面过程中对地面的平均冲击力大小F；
（3）根据（2）的计算结果分析，为什么不允许高空拋物。
【答案】（1）30m/s；（2）375.5N；（3）见详解
【详解】（1）不计空气阻力，鸡蛋落地前做自由落体运动，根据速度位移公式
解得鸡蛋落地前瞬间的速度大小
21
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（2）鸡蛋底端落地后，鸡蛋顶端的运动是匀减速运动，并且顶端运动到地面时恰好静止，根据运动学公
式
解得
规定竖直向上为正，由动量定理有
可得鸡蛋撞击地面过程中地面对鸡蛋的平均冲击力大小
根据牛顿第三定律，可得鸡蛋撞击地面过程中对地面的平均冲击力大小
（3）根据（2）的计算结果分析可知，一个小小的鸡蛋从15 楼的窗户可产生375.5N 这么大的作用力，换
成更重的物体或从更高的楼层抛物，冲击力会更大，所以不允许高空抛物。
13．（2024 高三·河北·学业考试）如图（a）所示，物块a、b 紧贴着静置在粗糙水平面上，
时刻对
施加水平方向的外力，外力随时间的变化规律如图（b）所示，规定向右为正方向。已知物块a、b 的质量
分别为
、
，与粗糙水平面间的动摩擦因数均为
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
重力加速度
。求：
（1）两物块的最大速度和
内运动的距离；
（2）从两物块分离到
静止的过程
运动的距离。
【答案】（1）
，
；（2）
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【详解】（1）根据题意可知两物块一起所受的最大静摩擦力
根据图（b）可知
时外力
，此后两物块开始运动；
时两物块的速度达到最大，从
到
对两物块由动量定理有
又
图像与横轴围成的面积表示冲量大小，可知
其中
，
，
，
联立解得两物块的最大速度为
同理有
可解得4s 时两物块的速度为
内，根据动能定理有
解得
（2）
内两物块一起做减速运动，
时，外力
反向，两物块分离，物块
向右做匀减速直线运
动，物块
在外力和摩擦力作用下做加速度减小的减速运动，假设
在16s 之前停止运动；根据动量定理
有
23
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其中
，
解得
（
不符合题意，舍去）
时外力
的大小小于
所受的最大静摩擦力，假设成立；即
从两物块分离到物块
静止，物块
运动的时间为
则有
解得
考点03：动量守恒定律及其应用
1．（2021 高二上·浙江·学业考试）如图所示，质量m＝60kg 的人，站在质量M＝300kg 的车的一端，车长
L＝3m，均相对于水平地面静止，车与地面间的摩擦可以忽略不计，人由车的一端走到另一端的过程中，
（ ）
A．人对车的冲量大小大于车对人的冲量大小
B．由于人与车之间有摩擦力，故系统动量不守恒
C．车后退0.5m
D．人的速率最大时，车的速率最小
【答案】C
【详解】A、人对车的作用力与车对人的作用力是作用力与反作用力，它们大小F 相等、方向相反、作用
时间t 相等，作用力的冲量
I＝Ft
大小相等、方向相反，A 错误；
B、人与车间的摩擦力属于系统内力，人与车组成的系统在水平方向所受合外力为零，人与车组成的系统
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在水平方向动量守恒，B 错误；
C、设车后退的距离为x，则人的位移大小为L﹣x，人与车组成的系统在水平方向动量守恒，以向右为正方
向，由动量守恒定律得
mv 人﹣Mv 车＝0
则
m
﹣M
＝0
代入数据解得
x＝0.5m
C 正确；
D、人与车组成的系统在水平方向动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得
mv 人﹣Mv 车＝0
则
v 车＝
m、M 一定，v 人越大v 车越大，D 错误。
故选C。
2．（2020 高二上·山东·学业考试）如图所示，光滑的水平导轨上套有一质量为3kg、可沿杆自由滑动的滑
块A，滑块下方通过一根长为1m 的轻绳悬挂着质量为1.99kg 的木块B。开始时滑块和木块均静止，现有质
量为10g 的子弹C 以500m/s 的水平速度击中木块并留在其中（作用时间极短），此后继续运动，取重力加
速g=10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．子弹、木块、滑块组成的系统动量守恒
B．子弹和木块摆到最高点时速度为零
C．滑块在运动中的最大速度为2m/s
D．子弹和木块摆起的最大高度为0.3125m
【答案】C
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【详解】A．子弹击中木块过程子弹与木块组成的系统在水平方向动量守恒，子弹击中木块后，子弹、木
块、滑块组成的系统水平方向动量守恒，故A 错误；
B．由子弹、木块、滑块组成的系统在水平方向上动量守恒，故当子弹和木块摆到最高点时三者具有相同
的速度，且速度方向水平，故子弹和木块摆到最高点时速度不为零，B 错误；
C．设子弹质量为
，木块质量为
，滑块质量为
，只要轻绳与杆之间的夹角为锐角，轻绳拉力对滑
块做正功，滑块就会加速，所以当轻绳再次竖直时滑块速度最大，设此时滑块速度为
，子弹和木块速度
为
，系统在水平方向动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
代入数据解得
或
即滑块的最大速度为2m/s，故C 正确；
D．当子弹和木块摆到最高点时三者具有相同的速度v，在水平方向，由动量守恒定律得
代入数据解得
由子弹进入木块后系统机械能守恒可得
代入数据解得
h＝0.1875m
故D 错误。
故选C。
3．（2023 高三·河北·学业考试）课间几个同学做游戏，如图所示，将一物块Q 放在课桌上的
点，在另一
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与物块Q 完全相同的物块P 上粘一小块橡皮泥（质量不计），并置于A 点，在课桌上的
点有一标记，
A、
、
三点在同一直线上，且
，游戏时给物块P 一瞬时冲量使其沿直线
运动，经过一
段时间物块P 与物块Q 发生碰撞并粘合为一体，粘合体距离
点最近者获得胜利。某同学对物块P 施加的
瞬时冲量为
（
未知）时，粘合体刚好停在
点。已知两物块的质量均为
，与桌面间的动摩擦因数均
为
，重力加速度为
。下列说法正确的是（ ）
A．该同学对P 施加的瞬时冲量为
B．整个过程因摩擦产生的热量为
C．碰后瞬间物块P 的速度为
D．两物块因碰撞损失的机械能为
【答案】C
【详解】C．设游戏时物块P 的初速度大小为
，碰前瞬间物块P 的速度大小为
，碰后瞬间粘合体的速
度大小为
，对物块P 由A 到
的过程，由动能定理有
两物块碰撞过程动量守恒，则有
碰后粘合体由
到
的过程由动能定理有
整理得
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故C 正确；
A．该同学对物块P 施加的瞬时冲量为
故A 错误；
B．整个过程，两物块克服摩擦力做的功为
由功能关系可知整个过程因摩擦产生的热量为
故B 错误；
D．两物块因碰撞损失的机械能为
解得
故D 错误。
故选C。
4．（2023 高三·广东·学业考试）如图，材料有差异的冰壶甲每次以相同的动量与静止在O 处的另一冰壶发
生正碰，碰后冰壶甲最终停止的位置不同，已知四次碰撞中冰壶甲与冰面间的动摩擦因数相同，冰壶均可
视为质点，则碰撞后，被碰冰壶获得动量最大的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
【详解】设冰壶甲与另一冰壶碰撞前的动量为
，碰后甲的动量为
，被碰冰壶的动量为
，以甲的初
速度方向为正方向，两冰壶碰撞过程满足动量守恒，有
由于冰壶甲每次以相同的动量与静止在O 处的另一冰壶发生正碰，由图可知，选项A 图碰后甲的动量为
，选项B 图碰后甲的动量为
，选项C、D 图碰后甲的动量为
，可知碰撞后，选项B 图对
应被碰冰壶获得动量最大。
故选B。
5．（2022 高三上·湖南湘潭·学业考试）可视为质点的质量分别为M、m 的A、B 两个小球（
），用
轻杆固定连接。现将两球按图示放置在光滑水平面上，轻杆处于竖直状态，B 放在水平面上O 点处。当A
受轻微扰动随轻杆向右无初速度倒下，A 球落地前瞬间速度大小为v，A 球落地点为P（图中未画出）。若
将A、B 两小球上下位置互换，A 放在O 点，B 球随轻杆无初速度向右倒下，空气阻力不计。下列说法正确
的是（ ）
A．B 球落地的速度大小为v，落在P 点右侧
B．B 球落地的速度大小为v，落在P 点左侧
C．B 球落地的速度小于v，落在P 点右侧
D．B 球落地的速度大于v，落在P 点左侧
【答案】A
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【详解】设杆长为
，当
球随轻杆倒下时，
、
的落地点到
点的距离分别
、
，因为水平面光
滑，故两球在水平方向上动量守恒，有
且
解得
同理可得，
、
位置互换后
球随轻杆倒下时，有
故
球落在
点右侧；轻杆两次倒下的过程，
球或
球接触地面的瞬间，由水平方向动量守恒定律可知，
水平方向速度均为0；根据机械能守恒定律有
解得
故选A。
6．（多选）（2020 高二上·山东·学业考试）如图所示，在光滑的水平面上有一静止的物体M，物体上有一
光滑的半圆弧轨道，半径为R，最低点为C，两端AB 一样高，现让小滑块m 从A 点由静止下滑，则（ ）
A．M 与m 组成的系统机械能守恒，水平方向动量守恒
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B．M 所能获得的最大速度为
C．m 从A 到C 的过程中，M 向左运动发生的位移大小为
D．m 从A 到B 的过程中，M 先向左运动，再向右运动
【答案】AC
【详解】AB．M 和m 组成的系统水平方向受合外力为零，则水平方向动量守恒，由于只有重力做功，则机
械能守恒，当m 到达最低点时，M 的速度最大，则
解得
选项A 正确，B 错误；
C．设m 从A 到C 的过程中，m 发生的水平位移大小为x，则M 产生的位移大小为R-x，取水平向右方向为
正方向．则根据水平方向平均动量守恒得
解得
所以M 产生的位移的大小为
R-x=
故C 正确；
D．M 和m 组成的系统水平方向动量守恒，m 从A 到C 的过程中以及m 从C 到B 的过程中m 一直向右运动，
所以M 一直向左运动．由机械能守恒可知，m 恰能达到小车上的B 点，到达B 点时M 与m 的速度都是0．
故D 错误；
故选AC。
7．（多选）（2023 高三·河北·学业考试）如图甲所示，物块A、B 静止在光滑水平地面上，中间用一轻质
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弹簧连接，初始时弹簧处于原长，给A 一水平向右的瞬时速度
，之后两物块的速度随时间变化的图像如
图乙所示，已知弹簧始终处于弹性限度内，
、
时刻弹簧的弹性势能分别为
、
，则下列说法正
确的是（ ）
A．A、B 的质量之比为
B．
时刻B 的速度为
C．
时刻弹簧的弹性势能为
D．
时刻A、B 的速率之比为
【答案】BC
【详解】A．根据图乙可知
时刻两物块速度相等，根据动量守恒定律有
解得
A 错误；
B．根据图乙可知
时刻A 的速度为零，则根据动量守恒定律有
又
可得
时刻B 的速度为
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B 正确；
C．从
时间内，根据能量守恒可得
从
时间内，根据能量守恒可得
联立解得
C 正确；
D．
时刻，根据动量守恒定律有
根据能量守恒定律有
结合以上分析联立解得
，
或
，
结合图乙可知第二种结果不符合题意，则
时刻A、B 的速率之比为
D 错误。
故选BC。
8．（多选）（2023 高三·河北·学业考试）如图所示，水平地面上放有两个滑块a、b，质量均为m，与地面
间的动摩擦因数均为
，两滑块用劲度系数为k 的轻质弹簧连接，开始弹簧处于原长。t＝0 时刻起，对滑
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块a 施加一水平向右的恒力
。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g，弹簧形
变量为x 时储存的弹性势能
，弹簧始终处于弹性限度内。下列分析正确的是（ ）
A．从t＝0 时刻起，系统动量守恒
B．滑块b 刚要运动时，滑块a 的动能为
C．最终两滑块都将做匀速运动
D．弹簧储存的弹性势能可能大于
【答案】BD
【详解】A．初始时系统动量为零，a 运动后动量不为零，则动量不守恒，A 错误；
B．滑块b 刚要运动时，设弹簧的形变量为
，有
可得
由能量守恒定律有
可得
B 正确；
C．滑块b 开始运动后，弹簧长度做周期性变化，两滑块速度也做周期性变化，C 错误；
D．从滑块b 刚要运动时开始研究，设此时a 的速度为
，有
当弹簧第一次拉伸到最长时，设两滑块的速度为v，由动量守恒定律有
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此过程系统动能的减小量
设a、b 此过程的位移分别为
、
，则拉力做的功
因摩擦产生的热量
弹簧弹性势能增加量
结合能量守恒定律有
又
可得
可知
即
可得
D 正确。
故选BD。
9．（多选）（2022 高三·广东·学业考试）如图所示，光滑水平面上有大小相同的A、B 两球在同一直线上
相向运动，A、B 两球的质量分别为m 和
，A、B 两球发生正碰，碰撞后A 球的速率是原来的两倍，B 球
恰好静止。则（ ）
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A．碰撞前A、B 两球的速度大小之比为1 1∶
B．碰撞前A、B 两球的速度大小之比为3 2∶
C．A、B 两球发生的碰撞是弹性碰撞
D．A、B 两球发生的碰撞是非弹性碰撞
【答案】AC
【详解】AB．设向右为正方向，根据动量守恒定律
得
A 正确，B 错误；
CD．碰撞前系统动能为
碰撞后系统动能为
可知，碰撞前后系统机械能相等，A、B 两球发生的碰撞是弹性碰撞，C 正确，D 错误。
故选AC。
10．（2021 高一下·广东·学业考试）在一次“看谁滑得远”的比赛中，参赛者站在静止于水平地面的滑板
车上，向前扔出同一袋沙包，滑板车向后滑行一段距离后停下来，将滑板车和参赛者看成一个整体，请简
要回答：
（1）参赛者如何扔沙包可使滑板车向后滑行的距离更大；
（2）从能量转化的角度，解释滑板车最终停下来的原因。
【答案】（1）以较大的速度扔出沙包；（2）滑板车克服摩擦力做功，动能转化为内能
【详解】（1）设沙包的质量为
，参赛者的质量为
，沙包被扔出的速度大小为
，人扔出沙包后获得
的速度大小为
，将沙包和人视为系统，根据动量守恒定律有
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得
可知，以较大的速度扔出沙包后参赛者获得较大初速度，滑行的距离更大一些。
（2）滑板车克服摩擦力做功，动能转化为内能。
11．（2024 高三·河北·学业考试）如图所示，一游戏装置由多个部分组成。左侧由半径
的光滑
圆
弧轨道AB、长度
的粗糙水平轨道BC 以及足够长的光滑水平轨道CD 组成。物块P 质量
、
物块Q 质量
，两物块间有一锁定的压缩弹簧，弹性势能
（物块与弹簧不连接），两物块
静止在CD 段，物块P、Q 可视为质点。紧靠D 点的右侧有一长度为
的水平传送带EF。P、Q 与
BC，EF 间的动摩擦因数均为
，现解除弹簧锁定，物块P、Q 由静止被弹出，P、Q 脱离弹簧后立即
撤走弹簧，其中物块P 进入CBA 轨道，而物块Q 滑上传送带。不计物块经过各连接点时的机械能损失。
（1）物块P 能否运动到A 点?请通过计算说明；
（2）若传送带静止，请分析物块Q 能否冲出传送带；
（3）若传送带可沿不同方向转动，求传送带转动速度和物块Q 到达F 点的速度的关系（答案可用根号表
示）。
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】（1）从解除弹簧锁定到P、Q 脱离弹簧，由动量守恒定律和能量守恒定律可得
物块P 达到最高点过程中，有
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解得
故物块P 不能到达A 点；
（2）由第（1）问可得
假设物块Q 不能冲出传送带，则在传送带上向右运动过程，由动能定理得
解得
即物块Q 能冲出传送带；
（3）若传送带静止或者逆时针转动，物块Q 在传送带上运动过程，由动能定理得
解得
传送带顺时针转动时，若物块一直在传送带上加速，则由动能定理得
解得
综上所述，若传送带静止、逆时针转动或者顺时针转动的速度
，物块到达传送带右端的速度为
；若传送带顺时针转动，速度大于
，小于
，物块到达传送带右端的速度等于传送带速
度v；若传送带顺时针转动，速度大于
，物块到达传送带右端的速度等于
。
12．（2024 高三·河北·学业考试）在某爆炸基地进行一次爆炸测试，地面处的竖直发射器（高度可不计）
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用
的时间将质量为
的爆炸物发射出，爆炸物上升到
高度处时速度为
，此时发生爆炸，
若爆炸过程极短且炸药仅提供水平方向的力，爆炸物分成两物体
，质量分别为
，
，重力加速度
取
，不计空气阻力。
（1）求爆炸物发射过程竖直方向所受发射器对其平均作用力大小；
（2）若两物体落地时速度方向相互垂直，求爆炸过程系统增加的机械能和两物体落地时的距离。
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）设爆炸物离开发射器时的速度大小为
，根据竖直上抛运动规律有
解得
爆炸物发射过程根据动量定理有
解得
（2）爆炸过程水平方向，根据动量守恒定律有
设物体
落地时速度方向与地面间的夹角为
，根据题意有
解得
根据能量守恒定律有
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联立解得
从爆炸物爆炸后瞬间到两物体落地，根据匀变速直线运动规律有
解得
两物体落地时的距离为
解得
13．（2024 高三·河北·学业考试）如图所示，光滑水平地面上有一长为L、质量为m 的平板小车a，其左侧
紧贴着竖直墙壁但不粘连。物块b、c 的质量分别为m、4m。b 以水平向左的速度大小
从右侧冲上小车，
当小车上不放c 时，b 与墙壁碰撞，反弹后恰好停在小车的最右端。b、c 均可视为质点，且与小车间的动
摩擦因数相同，所有碰撞均为弹性碰撞且时间极短。
（1）小车上不放c，求最终b 的速度大小；
（2）小车上放c，且b 与c 碰撞后，c 最后恰好停在小车的最左端，求c 初始位置到墙壁的距离；
（3）试判断小车上是否存在一位置，c 放在该位置时，b 与c 碰撞后，最终b、c 都停在小车上，且c 没有
与墙壁发生碰撞（需要写出具体的推导过程）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）设物块b、c 与小车间的动摩擦因数为
，小车上不放c 时，b 到达小车左端时度大小为
，
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最终b 与小车共同向右的速度大小为
，运动图像如图所示，
b 向左运动过程，由动能定理有
b 与墙壁碰撞后反弹，速度向右，大小仍为
，碰撞后到共速，b 与小车组成的系统
动量守恒，有
全过程系统动能的减少量等于内能的增加量，由能量守恒有
可得
（2）设初始时c 到墙壁的距离为x，b 与c 碰前瞬间的速度大小为
，碰后瞬间b、c 速度大小为
、
，
对b，碰前运动过程，由动能定理有
b、c 碰撞前后动量守恒，有
b、c 碰撞前后总动能不变，有
可得碰后b 速度大小
方向向右
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碰后c 速度大小
方向向左
碰后c 对小车的摩擦力
方向向左
b 对小车的摩擦力
方向向右
由于
，c 向左运动时小车保持静止；假设b、c 碰撞后c 向左运动x 时静止，c 向左运动过程，由动能
定理有
可得
设c 向左做减速运动的时间为t，由动量定理有
若时间t 内b 一直在向右减速，末速度大小为
，由动量定理有
可得
方向向右
时间t 内，b 发生的位移为
，由动能定理有
可得
42
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由于
可知b 先从小车右侧飞出，b 飞出后，c 继续向左减速，时间t 内小车保持静止，假设成立。
（3）当
时，b 反弹后的速度增加，反弹时b 到小车右端距离减小，则b 从小车右端冲出，不能满
足要求，当
时，假设c 与墙壁碰撞，碰前速度为
，有
可得
当
时，
，可知c 一定与墙壁碰撞，不能满足要求。
综上，不管c 放在小车上何处，b 与c 碰撞后，不可能b、c 都停在小车上，且c 没有与墙壁碰撞。
14．（2024 高三·河北·学业考试）如图所示，倾角为θ 的光滑斜面底端固定一垂直挡板，劲度系数为k 的
轻质弹簧一端连接挡板，一端与静止的物块B 相连。物块A 从距B 一定距离处静止释放，与B 发生碰撞，
碰后A、B 粘连，碰撞时间不计。碰后B 上升到最高点时，弹簧恰好恢复原长。已知物块A、B 的质量均为
m，弹簧弹性势能
（x 为弹簧形变量），弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g。
（1）求物块B 的最大速率vB；
（2）求物块A 与B 碰后瞬间的速率vA；
（3）若已知物块A、B 碰后到第一次运动至最低点经历的时间为t0，求物块A 从静止释放到第一次上升到
最高点所用的时间。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）分析可知，两物块碰后一起做简谐运动，到平衡位置处物块B 的速度达到最大，此时弹簧
的压缩量为
物块B 的最大速率为vB，从受力平衡位置到弹簧处于原长的位置，由机械能守恒定律有
解得
（2）碰撞前，弹簧的压缩量
从A、B 碰后瞬间到两物块的速度第一次达到最大，由机械能守恒定律有
解得
（3）设物块A 碰前瞬间速度大小为v0，根据动量守恒定律有
物块A 匀加速运动时间设为t1，则
解得
联立可得
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物块A 的v-t 图像如图所示
根据简谐运动特点可知，同一个周期内从最低点到最高点所用时间为
总时间为
15．（2023 高三上·江苏南通·学业考试）如图所示的游戏装置放置在水平地面上，该装置由水平直轨道
OB、两个相同的四分之一圆弧构成的竖直细管道BC、水平直轨道CD 和水平传送带DE 平滑连接而成，传
送带以恒定速度做顺时针转动。一轻质弹簧左端固定，原长时右端处于O 点。质量m1=0.5 kg 的滑块M 将
弹簧压缩至A 处（图中未标出），此时弹性势能Ep=14 J。释放后滑块通过ABC 段，进入轨道CD 与质量
m2=0.7 kg 的滑块N 发生弹性碰撞，碰后滑块N 从E 点水平飞出。已知OB 段长L1=1 m，滑块M 与OB 段的
动摩擦因数μ1=0.2，圆弧半径R=0.4 m，传送带长L2=3 m，滑块N 与传送带的动摩擦因数μ2=0.4，滑块均可
视为质点，装置其余部分均光滑，g 取10 m/s2，不计空气阻力。求：
（1） 滑块M 首次到达竖直光滑细管道C 点时的速度大小及滑块M 受到管道的作用力大小；
（2） 滑块M 最终静止的位置与管道最低点B 的距离；
（3） 滑块N 平抛的水平距离x 与传送带速度大小v 的关系。
【答案】（1）6 m/s，40 N；（2）B 点左侧0.25 m 处；（3）见解析
【详解】（1）从A 到C 的过程，根据功能关系有
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解得
在C 点，根据牛顿第二定律有
解得
（2）与滑块N 发生弹性碰撞，则动量守恒且能量守恒，则有
解得
，
而由于
则滑块不会再弹上C，则由能量守恒有
解得
s=4.25 m
而由于
故滑块最终停在B 点左侧0.25 m 处。
（3） 根据平抛运动规律有
解得
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若一直减速则有
解得
若一直加速，则有
解得
则若
则
若
则
若
则
16．（2023 高三·河北·学业考试）如图所示，光滑轨道PQO 的水平段足够长，轨道在
点与粗糙水平地面
平滑连接。一质量为
的小物块
从高为
处由静止开始沿轨道下滑，在
点与质量为
的静止小物块B
发生碰撞。假设A、B 间的碰撞为弹性碰撞，每一次碰撞前B 已停止，碰撞时间极短。已知A、B 均可视为
质点，A、B 与地面间的动摩擦因数均为
，重力加速度大小为
。
（1）求第一次碰后瞬间B 的速度大小。
（2）若A、B 间只能发生一次碰撞，求B 的质量
满足的条件。
（3）若B 的质量
，求A、B 碰撞的次数和A、B 均停止运动后二者之间的距离。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）2 次，
【详解】（1）设第一次碰撞前瞬间
的速度为
，由机械能守恒定律有
设第一次碰撞后瞬间A、B 的速度分别为
、
，取水平向右为正方向。A、B 第一次碰撞过程由动量守
恒定律和机械能守恒定律，有
联立解得
（2）由（1）可知碰后瞬间
若
则
A、B 之间只能发生一次碰撞；
若
则碰后
的速度反向，经过光滑轨道滑下时，速度大小仍为
，故要保证A、B 之间只发生一次
碰撞，只需
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化简得
解得
综上当
时，A、B 间只能发生一次碰撞。
（3）若B 的质量
可得第一次碰后瞬间A、B 速度分别为
，
向右运动的距离
向左冲上光滑轨道返回后，在地面向右滑行距离
时，速度减为
，由动能定理，有
解得
第二次与静止的B 发生碰撞，设碰后瞬间A、B 的速度分别为
、
，同理可得
，
B 向右滑行距离
向左滑行距离
由以上分析可知
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即
末返回
点，全过程A、B 间只发生2 次碰撞。
A、B 均停止运动后二者之间的距离为
17．（2023 高三·河北·学业考试）如图所示，质量为M=2kg 的小车静止在光滑水平面上，AB 段为光滑的四
分之一圆弧，半径为R=1m，BC 段是长度为2.5R 的水平粗糙轨道，小车右侧有一光滑圆弧轨道，轨道半径
也为R，水平面和圆弧轨道的交点为D，D 和圆心的连线与竖直方向的夹角为53°，F 点与圆心等高，圆弧
轨道最低点静置一质量为m2=0.5kg 的滑块b，现让质量为m1=1kg 的滑块a 从A 点由静止释放，从C 点飞出
后无碰撞从D 点进入圆弧轨道，之后与滑块b 发生弹性碰撞，已知两滑块均可视为质点，滑块a 与BC 段
轨道间的动摩擦因数为0.13，重力加速度为g=10m/s2，sin53°=0.8。求：
（1）滑块a 从C 点抛出时C、D 间的水平距离；
（2）第一次碰撞后滑块b 能上升到的最高点与E 点的高度差。
【答案】（1）1.2m；（2）
【详解】（1）滑块a 从释放至运动到C 点的过程中，滑块a 与小车组成的系统水平方向动量守恒，设滑块
a 从C 点滑出瞬间的速度大小为v1，小车的速度大小为v2，由动量守恒定律有
由能量守恒有
联立可得
由于滑块a 无碰撞从D 点进入圆弧轨道，则有
滑块a 从C 点运动到D 点的过程竖直方向有
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水平方向有
联立解得滑块a 从C 点抛出时C、D 间的水平距离为
（2）对滑块a 从D 到碰撞前瞬间的过程，根据机械能守恒定律有
在D 点时有
两滑块碰撞过程，动量和机械能均守恒，则有
对碰撞后滑块b 运动到最高点的过程有
联立解得
18．（2023 高三·河北·学业考试）如图所示，光滑水平面上有质量分别为m、2m、3m 的物块A、B、C，其
中物块A、B 拴接在轻质弹簧两端，并在将弹簧压缩一段距离后用轻绳固定静置在水平面上，物块C 保持
静止。现剪断轻绳，物块A 运动过程的最大速度为v，向右运动的最大位移为L，B 向左运动过程不会与C
发生碰撞。
（1）当A 向右运动的位移为L 时，求弹簧的弹性势能和B 运动的位移大小；
（2）若物块C 以速度v 向右运动，与B 碰撞后粘在一起，求C 与B 碰撞后弹簧的最大弹性势能。
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）当物块A 速度最大时，加速度为零，即弹簧恢复原长状态，设此时物块B 的速度大小为
，
根据动量守恒定律有
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此时系统的动能
当A 向右运动的位移为L 时，A 的速度为零，此时B 的速度也为零，根据能量守恒定律可知，此时弹簧弹
性势能
由于A、B 系统动量始终守恒，则有
可知
则有
解得
（2）取水平向右为正方向，设碰撞前瞬间B 的速度为
，C 与B 碰撞后瞬间速度为
，根据动量守恒定律
有
设损失的机械能为
，则有
解得
由（1）可得B 的最大速度为
，方向水平向左或向右，所以
，则有
则碰后瞬间A、B、C 系统的总能量为
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解得
当A、B、C 系统共速时，弹簧的弹性势能最大，根据动量守恒定律有
则C 与B 碰撞后弹簧的最大弹性势能
19．（2023 高三·河北·学业考试）如图所示，水平传送带AB 长为
，其左右两侧为与传送带紧邻的
等高水平面，右侧水平面
长为
，左侧足够长。质量分别为
和
的甲、乙两物块（均
可视为质点）紧靠
点静止在右侧的水平面上，两物块间锁定一原长可以忽略的轻质弹簧，开始时弹簧处
于压缩状态。在
点右侧有一半径
且与
平滑连接的光滑竖直半圆弧轨道
，在圆弧的最高
点
处有一固定挡板，物块撞上挡板后会被原速率弹回。已知两物块与传送带和左右两侧水平面间的动摩
擦因数均为
，传送带以速度沿顺时针匀速转动，
。某一时刻弹簧解除锁定，两物块弹
开后甲刚好能从
点离开传送带，甲、乙运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。求：
（1）物块乙被弹簧弹开时的速度大小；
（2）乙首次到达圆弧轨道最高点
时对轨道的作用力大小；
（3）甲、乙两物块最后均静止时，相距的距离
与传送带的速度
之间的关系。
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析
【分析】高考物理压轴题重视对综合性的考查，可能以开放性设问考查考生的逻辑推理能力、分析综合能
力。本题将传送带模型、圆周运动模型结合考查，符合高考设题角度，对高考具有一定的预测性。
【详解】（1）弹簧解除锁定至两物块完全弹开过程中，甲、乙组成的系统动量守恒，有
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由于甲恰好能离开传送带，由动能定理有
解得
（2）乙从
运动至
的过程中，由动能定理有
在
点对乙分析，有
联立解得
由牛顿第三定律可知乙首次到达圆弧轨道最高点
时对轨道的作用力大小为
。
（3）乙从
运动至
的过程中，由动能定理有
甲、乙在
点发生弹性碰撞，有
碰后甲向左运动，则有
解得
对碰后的乙分析，若乙在传送带上一直加速，设乙离开传送带时的速度为
，则有
解得
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若乙离开传送带后恰能运动到
点，设离开传送带时的速度为
，则有
可得
①
时，乙最终静止时到
点的距离为
此时
②当
时，乙滑上半圆轨道，有
则乙滑上半圆轨道后沿轨道返回，此时
③当
时，乙离开传送带时的速度恒为
，乙滑上半圆轨道后沿轨道返回，则有
20．（2023 高三·重庆万州·学业考试）如图1 所示，质量均为
且可视为质点的两个相同小物块a、b
停靠在竖直墙壁处，a、b 之间由细线连接并夹着一根压缩的轻弹簧。虚线AB 左侧粗糙水平地面与物块间
的动摩擦因数处处相同，大小
；虚线AB 右侧粗糙水平地面对物块的摩擦力与物块速率成正比，满
足
（k 为未知常数）。
时刻，水平向右的恒力F 作用在b 上；
时刻，b 运动到虚线AB 处，速
度大小
，此时a、b 间细线突然断开，作用在b 上的力F 此后在
时间内满足
；
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时刻撤去力F。图2 为b 的速度
随时间t 变化的图像，最终a、b 都停在虚线AB 处并且恰好不发生碰撞。
弹簧与a、b 均未栓接，弹簧恢复原长后立即与a、b 分离，若a 与墙壁碰撞时没有机械能损失，弹簧长度、
弹簧释放弹性势能的时间及空气阻力均忽略不计，重力加速度g 取
，求：
（1）
时刻弹簧的弹性势能大小；
（2）
时间内，恒力F 的大小；
（3）
的大小。
【答案】（1）1J；（2）
；（3）
【详解】（1）依题意，细线断开瞬间，弹簧弹力远大于外力F，a、b 系统动量守恒，可得
解得
即二者分开后，a 向左运动，速度大小为
，由功能关系可得
解得
（2）物块a、b 在恒力作用过程中，根据牛顿第二定律可知
由图像可知
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二者分离后，a 物块先向左减速，与墙壁碰撞后接着向右减速，恰好停在AB 处，有
联立，解得
（3）b 物块从
过程，做匀变速运动，有
即
可知
设t3的速度为v，根据动能定理可得
t3之后的运动过程，根据动量定理有
有图像可知
联立，解得
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