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专题13 机械能守恒与多物体组成的连接体模型及非质点类模型
模型一、多物体组成的系统机械能守恒问题
1．当动能、势能仅在系统内相互转化或转移时，系统的机械能守恒。
一般选系统为研究对象来列机械能守恒方程。含弹簧的系统，要注意与弹簧接触的物体往往机械能不守恒，
而是含有弹簧和物体的整个系统机械能守恒。常见情景如图所示：
2．机械能守恒定律表达式的选取技巧
(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解。
(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：
①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp
来求解。
②若A 物体的机械能增加，B 物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。
③从机械能的转化角度来看，系统中某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用
E 减＝E 增来列式。
3．对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系、位移与高度变化
量Δh 的关系。
模型二、非质点类物体的机械能守恒问题
1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将
发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
2．物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分
1
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段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
【模型演练1】．（2024·全国·高一专题练习）如图所示，倾角为
的光滑斜面固定在水平地面上，在斜
面体左侧的适当位置固定一光滑竖直硬杆，质量均为
的两小球（均视为质点）用长为
的轻质硬杆连
接，甲套在竖直硬杆上，乙放置在斜面上，甲、乙由静止释放时，轻质硬杆与竖直硬杆的夹角为
，当
轻质硬杆与斜面刚好平行时，乙的动能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】甲下降的高度为
乙下降的高度为
2
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当轻质硬杆与斜面刚好平行时，把甲的速度
分别沿着轻质硬杆和垂直轻质硬杆分解，沿着轻质硬杆方向
的分速度为
小球乙的速度
沿着斜面，轻质硬杆与斜面平行，则
沿着轻质硬杆
由机械能守恒定律可得
甲+
乙的动能为
综合解得
故选B。
【模型演练】（2024·全国·高一专题练习）如图所示，水平光滑长杆上套有小物块A，细线跨过位于
点
的轻质光滑定滑轮，一端连接A，另一端悬挂小物块A，物块A、B 质量相等。
为
点正下方杆上的点，
滑轮到杆的距离
，重力加速度为
。开始时A 位于
点，
与水平方向的夹角为
，现将A、B
由静止释放，下列说法正确的是（ ）
3
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A．物块A 运动到
点过程中机械能变小
B．物块A 经过
点时的速度大小为
C．物块A 在杆上长为
的范围内做往复运动
D．在物块A 由
点出发第一次到达
点过程中，物块B 克服细线拉力做的功等于B 重力势能的减少量
【答案】D
【详解】A．物块A 运动过程中，细线对
始终做正功，其他力不做功，则物块
的速度始终增大，故A
错误；
B．物块
经过
点时，细线与物块
的运动方向垂直，则物块
的速度为0，根据系统机械能守恒
此时物块
的速度为
故B 错误；
C．由于机械能守恒，物块
在水平光滑杆上往复运动，运动范围为
故C 错误；
D．在物块
由
点出发第一次到达
点过程中，物块
的动能变化量为0，则物块
克服细线拉力做的功
等于
重力势能的减少量，故D 正确。
4
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故选D。
【模型演练3】（2024·全国·高一专题练习）如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A，轻质定滑轮下方悬挂
重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，重物A、B 处于静止状态，释放后A、B 开始运动。已知A、
B 的质量均为m，假设摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为g，当A 的位移为h 时（ ）
A．B 的位移为2h，方向向下
B．A、B 速度大小相等
C．A 的速度大小为
D．B 的机械能增加2mgh
【答案】A
【详解】A．设细线的拉力为T，由图示可知，A 受到两细线的拉力为2T，方向向上，B 受到细线的拉力
为T 向上，A、B 所受重力大小相等，A、B 释放后，A 向上运动，B 向下运动，若A 上升的高度为h 时，
则连接动滑轮两侧的细线上升高度均为h，而细线固定端不移动，所以细线自由端下降的高度为2h，故B
下降的高度为2h，B 的位移为2h，方向向下，故A 正确；
B．由于B 下降的位移是A 上升位移的两倍，它们的运动时间相等，由
可知，B 的加速度是A 加速度的两倍，由速度公式
可知，同一时刻B 的速度是A 的两倍，故B 错误；
5
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C．设当A 的位移为h 时，速度为v，则B 的速度大小为2v，B 下降的高度为2h，以A、B 两个物体组成的
系统为研究对象，由机械能守恒定律得
解得
故C 错误；
D．由上述分析可知，重物B 下降的高度为
，此时重物B 的速度为
则重物B 的机械能变化量为
即B 的机械能减少
，故D 错误；
故选A。
【模型演练4】（2023 下·山东济南·高一统考期末）如图所示，有一条长为
的均匀金属链条，有
在光滑的足够高的斜面上，另
竖直下垂在空中，在外力作用下静止不动。斜面顶端P 是一个很小
的光滑圆弧，斜面倾角为
。忽略空气阻力，g 取
。当撤去外力后链条滑动，则链条
刚好全部越过P 时的速率为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设链条质量为m，斜面部分质量为
，该部分链条沿斜面方向的重力分力为
竖直下垂部分链条的质量为
，其重力为
由
可知链条沿着斜面下滑，链条沿斜面下滑的过程只有重力做功，机械能守恒，以P 点所在平面为零势能面，
则
解得链条刚好全部越过P 时的速率
故选B。
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【模型演练5】（2024·全国·高一专题练习）某实验小组用如图（a）所示装置测量重力加速度。将小球
和手机B 分别系在一条跨过定滑轮的不可伸长的软绳两端。打开手机
的phyphox 软件，令小球
和手机
B 静止，细绳拉紧，然后释放小球
和手机B，通过phyphox 软件测得手机的加速度随时间变化的图线如
图（b），实验室提供的物理量有：小球
的质量
，手机B 的质量
，当地实际重力加速
度
。
（1）实验测得的重力加速度大小为
。（结果保留两位有效数字）
（2）实验测得的重力加速度与实际重力加速度有明显差异，除实验中的偶然误差外，请写出一条可能产
生这一结果的原因： 。
（3）有同学提出本实验还可以研究机械能是否守恒，在小球
上方高处安装光电门和配套的数字计时器。
测量出小球的直径d，令小球
和手机B 静止，细绳拉紧，然后释放小球
和手机B，数字计时器记录小
球
通过光电门的时间，则需要验证的原理式为 （用物理量符号
表示）。
【答案】 9.4 物体运动过程中受空气阻力
【详解】（1）[1]由图（b）读出加速度为
根据牛顿第二定律
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代入数据得
（2）[2]测量的重力加速度小于实际值，除偶然误差外，可能是由于物体运动过程中受空气阻力造成的。
（3）[3]根据机械能守恒定律知需要验证的原理式为
一、单选题
1.（2024 下·高一课时练习）如图所示，在两个质量分别为m 和2m 的小球a 和b 之间，用一根轻质细杆连
接，两小球可绕过细杆中心的水平轴无摩擦转动，现让细杆水平放置，静止释放小球后，小球b 向下转动，
小球a 向上转动，在转动90°的过程中，以下说法正确的是（ ）
A．b 球的重力势能减少，动能增加
B．a 球的重力势能增大，动能减少
C．a 球和b 球各自的机械能保持不变
D．a 球和b 球的机械能总和不断减小
【答案】A
【详解】在b 球向下、a 球向上转动过程中，两球均在加速转动，使两球动能增加，同时b 球重力势能减
少，a 球重力势能增加，a、b 两球的总机械能守恒，杆对a 和b 都做功，故a、b 各自的机械能不守恒。
故选A。
2．（2024·全国·高一专题练习）如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆
、
，两杆不接触，且两
杆间的距离忽略不计，两个小球
（视为质点）质量均为
，
球套在竖直杆
上，
球套在水平杆
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上，
、
通过铰链用长度为的刚性轻杆
连接，将
球从图示位置（轻杆与
杆夹角为
）由静止释
放，不计一切摩擦，己知重力加速度为
。在此后的运动过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．
球和
球所组成的系统机械能不守恒B．
球的速度为零时，
球的加速度大于
C．
球的最大速度为
D．
球的最大速度为
【答案】C
【详解】A．
球和
球所组成的系统只有重力做功，则机械能守恒，A 错误；
B．
的速度为零时，
达到
所在面，在竖直方向只受重力作用，则加速度为
，B 错误；
C．当
球运动到两杆的交点后再向下运动
距离，此时
达到两杆的交点处，
的速度为0，
的速度最
大为
，由机械能守恒得
解得
C 正确；
D．
球运动到两杆的交点处，
的速度为0，此时
的速度为
，由机械能守恒得
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解得
但此后杆向下运动，会再加速一段距离后达到一最大速度再减速到0，则其最大速度要大于
，D 错
误；
故选C。
3．（2024 下·高一课时练习）如图所示，一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑的定滑轮，绳两端各系一小球a
和b。a 球质量为m，静止于地面；b 球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧。从静止开始
释放b，则当b 刚落地时a 的速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】a、b 两球组成的系统机械能守恒，设b 刚落地时的速度大小为v，则整个过程动能增加量
ΔEk 增＝
（m＋3m）v2＝2mv2
重力势能的减少量
ΔEp 减＝3mgh－mgh＝2mgh
由机械能守恒得
ΔEk 增＝ΔEp 减
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所以
2mv2＝2mgh
解得
v＝
故选A。
4．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，质量为m 的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的定
滑轮与质量为M 的砝码相连，已知M=3m，让绳拉直后使砝码从静止开始下降。若砝码底部与地面的距离
为，砝码刚接触地面时木块仍没离开桌面，此时木块的速率为（ ）
ℎ
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】以木块和砝码组成的系统为研究对象，只有重力做功，系统的机械能守恒，则有
又
解得
故选A。
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5．（2023 下·四川内江·高一统考期末）如图所示，匀质铁链质量为m，长度为L，现使其
放在倾角为
30°的光滑斜面上，其余部分竖直下垂。若由静止释放使铁链自由运动，则铁链下滑至整条铁链刚好全部离
开斜面时，铁链的速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】把铁链分成两个部分，下一半铁链重心下落的高度为
上一半铁链重心下落的高度为
对整条铁链从刚释放到刚好全部离开斜面由动能定理得
解得
故选D。
6．（2023·高一校考单元测试）如图，有一条长为
的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的
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斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，链条由静止释放后
开始滑动，重力加速度g=10m/s2，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为（ ）
A．
m/s
B．5m/s
C．
m/s
D．
m/s
【答案】B
【详解】设链条的质量为
，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为
链条全部滑出后，动能为
重力势能为
由机械能守恒定律可得
即
解得
故选B。
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7．（2023 下·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）如图所示，柔软的绳索放置在光滑水平桌面上，
a、c 为绳索端点，b 为绳索中点，且恰好处于桌面边缘。开始时绳索在外力的作用下处于静止状态，由静
止释放绳索后，绳索开始滑动，直至刚离开桌面，此过程中c 点未落至地面。已知质量分布均匀的绳索总
质量为m，总长度为L。整个过程中，绳索的（ ）
A．重力势能减少了
B．末速度为
C．动能增加了
D．机械能增加了
【答案】B
【详解】以桌面为零势能参考平面，整个过程中，绳索重力势能减少了
整个过程中，绳索满足机械能守恒，机械能保持不变，可知绳索动能增加了
设绳索末速度大小为，则有
解得
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故选B。
二、多选题
8．（2024·全国·高一专题练习）如图所示，质量为2m 的金属环A 和质量为m 的物块B 通过光滑铰链用长
为2L 的轻质细杆连接，金属环A 套在固定于水平地面上的竖直杆上，物块B 放在水平地面上，原长为L
的轻弹簧水平放置，右端与物块B 相连，左端固定在竖直杆上O 点，此时轻质细杆与竖直方向夹角
。现将金属环A 由静止释放，A 下降到最低点时
变为
。不计一切阻力，重力加速度为g，则
在金属环A 下降的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．金属环A 和物块B 组成的系统机械能守恒
B．金属环A 的机械能一直减小
C．A 达到最大动能时，B 对地面的压力大小为mg
D．弹簧弹性势能最大值为
【答案】BD
【详解】A．在金属环下滑的过程中，弹簧逐渐伸长，对金属环和物块组成的系统，弹簧弹力对其做负功，
系统机械能减小，故A 错误；
B．A、B 与弹簧组成的系统，只有重力和弹力做功，机械能守恒，A 下降过程中，弹簧的弹性势能一直增
大，由机械能守恒定律可知，A、B 组成的系统机械能一直减小。在金属环A 下滑的过程中，A、B 都是从
静止开始运动，最后又静止，因此A、B 都是先加速运动后减速运动。开始做加速运动时，B 的动能增大，
重力势能不变，因此B 的机械能增加，而弹簧的弹性势能一直增加，因此A 的机械能减小。减速运动时，
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根据牛顿第二定律可知杆对A 在竖直方向上的分力大于A 的重力使其减速，杆对A 的力为斜上方，杆对A
的力做负功，A 的机械能机械减小，故整个过程金属环A 的机械能一直减小，故B 正确；
C．达到最大动能时，A 的加速度为零，则金属环A 和物块B 组成的系统在竖直方向加速度为零，对系统
受力分析可得，此时物块B 受到的地面支持力大小等于金属环A 和物块B 的总重力，即
故C 错误；
D．当金属环下滑到最低点时，弹簧的弹性势能最大，对金属环A 和物块B 及弹簧组成的系统，根据机械
能守恒，弹簧弹性势能最大值为
故D 正确。
故选BD。
9．（2023·全国·高一随堂练习）轻杆AB 长2L，A 端连在固定轴上，B 端固定一个质量为2m 的小球，中点
C 固定一个质量为m 的小球．AB 杆可以绕A 端在竖直平面内自由转动．现将杆置于水平位置，如图所示，
然后由静止释放，不计各处摩擦与空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．AB 杆转到竖直位置时，角速度为
B．AB 杆转到竖直位置的过程中，B 端小球的机械能的增量为
mgL
C．AB 杆转动过程中杆CB 对B 球做正功，对C 球做负功，杆AC 对C 球做正功
D．AB 杆转动过程中，C 球机械能守恒
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【答案】AB
【详解】A．在AB 杆由静止释放到转到竖直位置的过程中，以B 端的球的最低点为零势能点，根据机械能
守恒定律有
解得角速度
A 正确；
B．在此过程中，B 小球机械能的增量为
B 正确；
C．AB 杆转动过程中，杆AC 对C 球不做功，杆CB 对C 球做负功，对B 球做正功，C 错误；
D．由C 选项分析可知C 球机械能不守恒，B、C 球系统机械能守恒，D 错误。
故选AB。
10．（2024·全国·高一专题练习）如图所示，将质量为2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质
量为m 的环，环套在竖直固定的光滑直杆上A 点，光滑定滑轮与直杆的距离为d、A 点与定滑轮等高，B
点在距A 点正下方d 处。现将环从A 处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是（ ）
A．环从A 到B，环减少的机械能等于重物增加的机械能
B．环到达B 处时，重物上升的高度
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C．环从A 点能下降的最大高度为
D．当环下降的速度最大时，轻绳与竖直方向的夹角为
【答案】AC
【详解】A．不计一切摩擦阻力，则环与重物组成的系统机械能守恒，所以环从A 到B，环减少的机械能
等于重物增加的机械能，故A 正确；
B．环到达B 处时，由几何知识可得
故B 错误；
C．设环从A 点能下降的最大高度为H，则根据机械能守恒有
解得
故C 正确；
D．当环下降的速度最大时，绳子与杆的夹角为
，环和重物的加速度为0，设绳子上的拉力为
，则有
联立解得
即当环下降的速度最大时，轻绳与竖直方向的夹角为
，故D 错误。
故选AC。
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11．（2023 下·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考阶段练习）如图所示，一长为L，质量为m 的匀质链条，开
始时用手按住A 端，放在距地面高2L 的光滑的桌面上，有
的长度悬在桌边缘，松手后链条开始运动滑离
桌面，下列说法正确的是（ ）
A．链条开始运动到触地前机械能守恒
B．链条滑离桌面过程中动能在增加
C．链条全部滑离桌面时重力势能减少
D．链条刚好触到地面时的速度大小为
【答案】ABC
【详解】A．链条开始运动到触地前的过程中，只有重力做功，因此机械能守恒，A 正确；
B．链条滑离桌面过程中，重力势能不断减小，动能不断增加，B 正确；
C．设桌面为零势能面，初始状态，重力势能为
刚好滑离桌面时，重力势能为
因此重力势能减少量
C 正确；
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D．链条刚好触到地面时的重力势能
根据机械能守恒可知
解得链条刚好触到地面时的速度
D 错误。
故选ABC。
三、实验题
12．（2024·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）物理兴趣小组的同学利用如图甲所示实验装置
验证
组成的系统机械能守恒。
从一定高度由静止开始下落，
上拖着的纸带打出一系列的点，
对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律。如图乙给出的是实验中获取的一条纸带：
是打下
的第一个点，打点计时器的工作频率为
。
为纸带上标注的三个计数点，每相邻两计数点间
还有4 个点（图中未标出）。各计数点到
点的距离已在图中标出。已知
，重力加速
度
取
。
（1）下面列举了该实验的几个操作步骤：
A．按照图示的装置安装器件，将打点计时器接到交流电源上
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B．先释放
，再接通电源打出一条纸带
C．测量纸带上某些点间的距离
D．根据测量的结果，分别计算系统减少的重力势能和增加的动能
其中操作不当的步骤是 。（填选项前对应的字母）
（2）在纸带上打下计数点
时的速度大小
。（结果保留两位小数，下同）
（3）在打计数点
至
过程中系统动能的增加量
，系统重力势能的减少量
。
实验结果显示
（选填“>”“<”或“=”）
，那么造成这一现象的主要原因是 。
（4）某同学根据选取的纸带的打点情况做进一步分析，作出
获得的速度的平方
随下落高度的变化
图像如图丙所示，据此可计算出当地的重力加速度
。
【答案】 B 2.05 0.63 0.64 > 运动过程要克服阻力做功，机械能有损失
9.78
【详解】（1）[1]步骤B 中应该是先接通电源，再释放
；
（2）[2]两计数点时间间隔为
在纸带上打下计数点B 时的速度
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（3）[3]在打计数点O 至B 过程中系统动能的增加量
[4]重力势能的减少量
[5][6]实验结果显示
那么造成这一现象的主要原因是运动过程要克服阻力做功，机械能有损失。
（4）[7]由关系式
可得
由图像可知
解得
g=9.78m/s2
13．（2024·全国·高一专题练习）某同学利用下面方法间接测量物体质量M，并利用此装置验证系统机械
能守恒。装置如图甲所示，一根轻绳跨过轻质定滑轮与两个相同的重物P、Q 相连，重物P、Q 质量均为
m=200g，在重物Q 的下面通过轻质挂钩悬挂待测物块Z，重物P 的下端与穿过打点计时器的纸带相连，已
知当地重力加速度为g=9.8m/s2。
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（1）某次实验中，先接通频率为50Hz 的交流电源，再由静止释放系统，得到如图乙所示的纸带，其中
s1=4.47cm，s2=5.34cm，s3=6.21cm，s4=7.10cm，s5=7.98cm，s6=8.86cm。则系统运动的加速度a=
m/s2，5 点的速度v5= m/s（保留三位有效数字）；
（2）忽略各类阻力，求出物块Z 质量的测量值为M= kg(保留三位有效数字)；
（3）利用纸带还可以验证系统机械能守恒，测量纸带得出1 点到5 点的距离为h，求出1 点速度为v1，5
点的速度为v5，根据以上数据，可求重物由1 点运动到5 点时系统重力势能减少量等于 ，系统动
能的增加量等于 ，通过数据可得出在误差允许的范围内系统重力势能的减少量等于系统动能的增
加量，则系统机械能守恒(表达式用题中M、m、v1、v5、g、h 字母表示)。
【答案】 5.50 2.11 0.512
【详解】（1）[1]由题图可知，相邻计数点间的时间间隔为
根据逐差公式可得，系统运动的加速度为
[2]打5 点时的速度为
（2）[3]对Q、Z 整体分析，根据牛顿第二定律有
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对P 分析，根据牛顿第二定律有
联立解得，物块Z 质量的测量值为
（3）[4]重物由1 点运动到5 点时系统重力势能减少量等于
[5]系统动能的增加量等于
14．（2023 上·江西宜春·高一校考阶段练习）某同学用如图甲所示的装置验证轻质弹簧和小物块（带有遮
光条）组成的系统机械能守恒。图中光电门安装在铁架台上且位置可调。小物块释放前，细线与轻质弹簧
和小物块的拴接点（A、B）在同一水平线上，且轻质弹簧处于原长。滑轮质量不计且滑轮凹槽中涂有润滑
油，以保证细线与滑轮之间的摩擦可以忽略不计，细线始终伸直。小物块连同遮光条的总质量为m，轻质
弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，遮光条的宽度为d，小物块释放点与光电门之间的距离为l（d 远远
小于l）。现将小物块由静止释放，记录小物块通过光电门的时间t。（轻质弹簧的弹性势能
，x
为弹簧的形变量）
（1）改变光电门的位置，重复实验，每次小物块均从B 点静止释放，记录多组和对应的时间t，做出
图像如图乙所示。若要验证轻质弹簧和小物块组成的系统机械能守恒，则在误差允许的范围内，需
要验证正确确的关系式是
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A．
B．
C．
D．
（2）在（1）中的条件下，取某个值时，可以使小物块通过光电t 时的速度最大，则速度最大值为
（用
、g 表示）。
（3）在（1）中的条件下，当= 和=
时，小物块通过光电门时轻质弹簧具有的弹性势能分别为
、
，则
= （用、
、
、k 表示）。
【答案】 C
【详解】（1）[1]小球经过光电门的速度为
若系统机械能守恒，则有
整理得
即图像若能在误差允许的范围内满足上式，即可验证弹簧和小物块组成的系统机械能守恒。
故选C。
（2）[2]小物块经过光电门的速度越大，则小物块经过光电门所用时间越短，故由（1）可知，当
时，
小物块通过光电t 时的速度最大时，且此时小物块的加速度为零。对其进行受力分析有
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解得
即此时小物块经过光电门的速度最大，代入（1）中可得最大速度为
（3）[3]当
和
时，物块通过光电门的时间相等，即物块经过光电门的速度相等，故动能也相等，
根据机械能守恒定律分别有
又
整理可得
15．（2023·全国·高一课堂例题）如图甲所示的装置叫做阿特伍德机，是英国数学家和物理学家阿特伍德
（G·Atwood 1746~1807）创制的一种著名力学实验装置，用来研究匀变速直线运动的规律。某同学对该装
置加以改进后用来验证机械能守恒定律，如图乙所示。
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（1）实验时，该同学进行了如下操作：
①将质量均为M（A 的含挡光片、B 的含挂钩）的重物用绳连接后，跨放在定滑轮上，处于静止状态。测
量出 （填“A 的上表面”、“A 的下表面”或“挡光片中心”）到光电门中心的竖直距
离h。
②在B 的下端挂上质量为m 的物块C，让系统（重物A、B 以及物块C）中的物体由静止开始运动，光电
门记录挡光片挡光的时间为Δt。
③测出挡光片的宽度d，计算有关物理量，验证机械能守恒定律。
（2）如果系统（重物A、B 以及物块C）的机械能守恒，应满足的关系式为 （已知重力加速度为
g）。
（3）引起该实验系统误差的原因有 （写一条即可）。
（4）验证实验结束后，该同学突发奇想：如果系统（重物A、B 以及物块C）的机械能守恒，不断增大物
块C 的质量m，重物B 的加速度a 也将不断增大，那么a 与m 之间有怎样的定量关系？a 随m 增大会趋于
一个什么值？请你帮该同学解决：
①写出a 与m 之间的关系式： （还要用到M 和g）。
②a 的值会趋于 。
【答案】 挡光片中心
绳子有一定的质量、滑轮与绳子之间有摩擦、
重物运动受到空气阻力等
重力加速度g
【详解】（1）[1]需要测量系统重力势能的变化量，则应该测量出挡光片中心到光电门中心的竖直距离。
（2）[2]系统的末速度为
则系统重力势能的减少量
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系统动能的增加量为
若系统机械能守恒，则有
（3）[3]系统机械能守恒的条件是只有重力做功，引起实验系统误差的原因可能有：绳子有一定的质量、
滑轮与绳子之间有摩擦、重物运动受到空气阻力等。
（4）[4][5]根据牛顿第二定律得，系统所受的合力为mg，则系统加速度为
当m 不断增大，则a 趋于g。
16．（2023 下·高一课时练习）用图甲所示实验装置验证
组成的系统机械能守恒，
从高处由静止
开始下落，
上拖着的纸带打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律。图乙
给出的是实验中获取的一条纸带：0 是打下的第一个点，每相邻两个计数点间还有4 个点（图中未标出），
计数点间的距离如图乙所示。已知
，则：（g 取10m/s2，结果均保留两位有效数字）
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（1）在纸带上打下计数点5 时
的速度大小
；
（2）在打点
过程中系统动能的增加量为 J，系统重力势能的减少量为
J，由此得出的结论是： ；
（3）若某同学作出的
图像如图丙所示，则当地的实际重力加速度
【答案】 2.4 0.58 0.60 在误差允许的范围内，
组成的系统机械能守恒 9.7
【详解】（1）[1]根据题意可知，每相邻两个计数点间还有4 个点，则相邻两个计数点间的时间间隔为
，
由匀变速直线运动中时间中点的瞬时速度大小等于该过程中的平均速度，可知打第5 个点时
的速度
大小为
（2）[2]
的初速度均为零，所以动能的增加量为
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[3]系统重力势能的减小量为
[4]由此得出的结论是，在误差允许的范围内，
组成的系统机械能守恒。
（3）[5]本题中根据机械能守恒可知
即有
所以作出的
图像中，图线的斜率
解得
故当地的实际重力加速度
四、解答题
17．（2023 下·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习）一根质量可不计的刚性的轻杆，左端通过铰
链固定于O 点，中点及右端分别固定两个小球A 和B，两球的质量分别是为m 和2m，两球与杆可在竖直
平面内绕O 点无摩擦地转动。开始时杆与竖直方向的夹角α=60°，由静止释放，已知杆长为l，重力加速度
为g，求：
（1）小球B 运动到最低点时，杆的角速度和杆对球B 的拉力；
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（2）小球从静止释放到最低点的过程中，杆对小球A 做的功；
（3）要使小球能绕O 点做完整的圆周运动，则在图示位置释放时，至少给小球B 多大的初动能；
（4）要小球能绕O 点做完整的圆周运动，且在最高点处A 球与杆之间无作用力，则在图示位置至少给小
球B 多大的初动能。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）设小球B 运动到最低点时，杆的角速度ω，则
由机械能守恒定律
联立解得
对球B，有
解得杆对球B 的拉力为
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方向竖直向上；
（2）小球从静止释放到最低点的过程中，对球A，根据动能定理可得
解得杆对小球A 做的功为
（3）要使小球能绕O 点做完整的圆周运动，则小球到达最高点时的速度至少为零，则由能量关系可得
解得
（4）要小球能绕O 点做完整的圆周运动，且在最高点处A 球与杆之间无作用力，则
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解得
18．（2023 下·福建龙岩·高一福建省龙岩第一中学校联考期中）如图所示，在竖直平面内有光滑轨道
ABCD，其中AB 是竖直轨道，CD 是水平轨道，AB 与BC 相切于B 点，BC 与CD 相切于C 点。一根长为
的轻杆两端分别固定着两个质量均为m 的相同小球P、Q（视为质点），将轻杆锁定在图示位置，并使
Q 与B 等高。现解除锁定释放轻杆，轻杆将沿轨道下滑，重力加速度为g。求：
（1）P 球到达C 点时，P、Q 系统重力势能的减小量；
（2）P 球到达C 点时的速度大小；
（3）P 球到达B 点时的速度大小。
【答案】（1）4mgR；（2）
；（3）
【详解】（1）P 球到达C 点时，P 球减小的重力势能
Q 球减小的重力势能
P、Q 系统重力势能的减小量
（2）由机械能守恒定律得
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解得
（3）当P 球到达B 点时杆与水平面的角度为
解得
当P 球到达B 点时有
P、Q 系统机械能守恒
解得
19．（2024·全国·高一专题练习）如图所示，质量为m 的带孔物块A 穿在竖直固定的细杆上，不可伸长的
轻质柔软细绳一端连接物块A，另一端跨过轻质定滑轮连接质量为
物块B，已知定滑轮到细杆的距离为
L，细绳的总长度为
，现将系统从A 与滑轮等高的位置由静止释放，已知重力加速度为g，忽略一切阻
力，定滑轮大小不计，两物块均可视为质点，求：
（1）从系统开始释放到A 下落L 过程中，物块B 的重力势能增加量；
（2）物块A 下落的最大距离d。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设物块A 下落L 时，物块B 上升的高度为h，物块B 重力势能的增加量为
，由几何关
系，有
可得
得
（2）对AB 组成的系统，由机械能守恒定律，有
得
20．（2023·云南保山·高一校考期末）如图所示，轻质动滑轮下方用轻质细线悬挂重物A、轻质定滑轮下
方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线均竖直。开始时，重物A、B 处于静止状态且距地面高度均为h，释放
后A、B 开始运动。已知A、B 质量相等，假设摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为g。求：
（1）重物B 刚要落地时的速度大小；
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（2）若重物A 上升过程中不会碰到动滑轮，求A 离地面的最大高度。
【答案】（1）
；（2）1.6h
【详解】（1）重物B 刚要落地时，重物B 下落的高度为h，重物A 上升的高度为0.5h。因不计滑轮质量和
阻力，A、B 组成系统机械能守恒，取地面为参考平面，根据系统的机械能守恒得
由滑轮组关系可知
联立解得
，
（2）重物B 刚要落地时，重物A 距地面的高度为
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重物B 落地后，设重物A 再上升的高度为
，由动能定理得
解得
则重物A 离地面的最大高度为
21．（2023 下·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考期中）如图所示，长为
的轻杆一端可绕O 点自
由转动，杆的中点和另一端分别固定小球A、B（A 质量为m，B 质量为
）。让轻杆从水平位置由静止
释放，不计空气阻力和转轴处的摩擦，重力加速度大小为g，求：
（1）小球B 运动到最低点时速度
；
（2）小球转至最低点时，杆对B 球的拉力FB；
（3）在转动的过程中，杆对小球A 做的功WA。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）运动过程中机械能守恒，有
由题意可得，A、B 的角速度相同，则有
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解得
（2）在最低点时，对小球B 有
解得
（3）对A 由动能定理得
=mgL+WA
解得
WA=
22．（2024·全国·高一专题练习）如图所示，套在光滑竖直细杆上质量为m 的小球B，由跨过小定滑轮的
不可伸长的轻绳与质量为2m 的重物A 相连。杆与定滑轮的距离为l，初始时B 与定滑轮等高。静止释放重
物A，全程A、B 都未接触滑轮和地面，重力加速度大小为g，求：
（1）小球B 最大下落高度；
（2）当小球B 下落h=l 时，A 的速度大小。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）A、B 组成的系统机械能守恒，有
解得
（2）A、B 组成的系统机械能守恒，有
解得
23．（2023 下·天津和平·高一统考期末）如图所示， 倾角为30°的足够长光滑斜面固定在水平地面上，
一轻绳绕过两个光滑的轻质滑轮连接着固定点P 和物体B，两滑轮之间的轻绳始终与斜面平行，物体A 与
动滑轮连接，开始时， 物体A、B 处于静止状态， 求：
（1） 若静止释放后物体B 开始竖直向下运动，
需要满足什么条件？
（2）若A、B 两物体质量相等均为m，静止释放后， 物体A 的位移为L 时，重力加速度为g，求
①物体A 的速度大小vA；
②物体A 的机械能相比静止时的变化量
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【答案】（1）
；（2）①
；②
【详解】（1）若静止释放后物体B 开始竖直向下运动，则A 沿斜面向上运动，设绳子的拉力为T，由牛
顿第二定律可得：对B 有
对A 有
解得
解得
（2）①若A、B 两物体质量相等均为m，静止释放后，物体A 的位移为L 时，物体B 的位移为2L，物体
A 的速度为vA，物体B 的速度为
由系统机械能守恒可得
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解得
②物体A 的机械能相比静止时的变化量为
解得
24．（2023 下·山东青岛·高一统考期末）如图所示，有一条质量为m、长为L 的均匀绳子，开始时绳子的
部分在水平桌面上，而
垂于桌外，当作用在绳子上水平向左的力为F 时绳子恰好不下滑。
（1）若桌面光滑
，撤去力F，释放绳子，求当绳子刚离开桌面时的速度大小；
（2）若桌面粗糙
，增大F 把绳子全部拉回桌面上，求F 至少要对绳子做多少功。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）若桌面光滑，撤去撤去力F，绳子下滑过程机械能守恒，有
解得
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（2）若
，绳子恰好静止，此时满足
整理得
绳子被拉动x 时
摩擦力与位移成线性关系
把绳子全部拉回桌面上，根据动能定理有
解得
25．（2023 下·河北石家庄·高一河北师范大学附属中学校考期中）一条长为、质量为
的均匀链条放在
光滑水平桌面上，其中有三分之一悬在桌边，用手拉住链条的左端使整个链条保持静止。
（1）若用手缓慢向左拉动链条，当把整个链条都拉到桌面上时需要做多少功？
（2）若撤去F，当整个链条全部脱离桌面时的速度多大？
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据功能关系可知，把整个链条都拉到桌面上时需要做功为
（2）若撤去F，当整个链条全部脱离桌面时，设速度大小为；根据机械能守恒可得
解得
26．（2023·高一单元测试）如图甲所示，AB 为光滑的水平面，BC 是倾角为θ 的足够长的固定光滑斜面，
AB、BC 间用一小段光滑的圆弧管道（图中未画出）相连。一根长为L 的均匀柔软链条开始时静止放在
ABC 上，其一端D 到B 的距离为L-a，现自由释放链条（结果可以用根式表示，重力加速度为g）。
（1）链条的D 端滑到B 点时，链条的速度是多大？
（2）若将此链条放在桌腿足够长的光滑水平桌面上，桌边固定一弧形光滑管道（图中未画出），如图乙
所示，且使长度为
的部分链条悬在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，求链条滑至刚刚离开桌
边时的速度大小（已知链条未着地，且运动过程中无能量损失）。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设链条的D 端滑到B 点时，链条的速度为v，将水平面上长为L-a 的链条填补到斜面上链条
的下端，根据链条重力势能减少量等于动能的增加量，有
解得
（2）设链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为v′，设桌面为零势能面，开始时链条的机械能为
当链条刚脱离桌面时的机械能为
由机械能守恒可得
联立解得
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