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2023 届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
专题33 机械能守恒定律
导练目标 导练内容
目标1 机械能守恒的判断条件
目标2 单个物体的机械能守恒问题
目标3 三类连接体的机械能守恒问题
目标4 非质点类机械能守恒问题
【知识导学与典例导练】
一、机械能守恒的判断条件
1．对守恒条件理解的三个角度
2．判断机械能守恒的三种方法【例1】如图所示为被称为“亚洲撑杆跳女王”的李玲比赛时的英姿，撑杆跳运动的过程大概可以分为助
跑、起跳、下落三个阶段。已知李玲和撑杆总质量为m，某次比赛中，助跑结束时恰好达到最大速度v，
起跳后重心上升高度h后成功越过横杆，落在缓冲海绵垫上，撑杆脱离运动员之后会出现弹跳现象，重力
加速度为g，不计空气阻力，取地面为零势能面，则下列说法正确的是（ ）
A．助跑过程中，运动员所处高度不变，运动员和撑杆整体机械能守恒
B．从运动员离开地面到手脱离撑杆的过程中，撑杆的弹性势能不断增大
C．运动员在最高点的重力势能
D．越过横杆后，落到海绵垫上之前，运动员机械能守恒
【答案】D
【详解】A．助跑加速时，运动员和撑杆的重力势能不变，但运动员和撑杆的总动能增大，则整体的机械
能增加，故A错误；
B．从运动员离开地面到手脱离撑杆的过程中，撑杆的形变量先增大再减小，则撑杆的弹性势能先增大再
减小，故B错误；
C．撑杆脱离运动员之后会出现弹跳现象，说明撑杆的弹性势能并没有全部转化为运动员的机械能，那么
运动员在最高点的重力势能必然小于起跳前人和杆的总动能 ，故C错误；
D．运动员越过横杆后在空中下落过程中，只有重力做功，其机械能守恒，故D正确。故选D。
二、单个物体的机械能守恒问题
1.机械能守恒的三种表达式
项目 守恒角度 转化角度 转移角度表达式 E=E ΔE=-ΔE ΔE =ΔE
1 2 k p A增 B减
表示系统(或物体)机械能守恒时, 若系统由A、B两部分组成,则A
系统初状态机械能的总和与
物理意义 系统减少(或增加)的重力势能等于 部分物体机械能的增加量与B部
末状态机械能的总和相等
系统增加(或减少)的动能 分物体机械能的减少量相等
应用时应选好重力势能的零 应用时关键在于分清重力势能的
常用于解决两个或多个物体组成
注意事项势能面,且初、末状态必须 增加量和减少量,可不选零势能面
的系统的机械能守恒问题
用同一零势能面计算势能 而直接计算初、末状态的势能差
2.应用机械能守恒定律解题的基本思路
【例2】2022年第24届冬奥会在北京-张家口成功举办，图甲为在张家口的国家跳台滑雪中心“雪如意”,
图乙为跳台滑雪的示意图。质量为m的运动员从长直倾斜的助滑道AB的A处由静止滑下，为了改变运动
员的速度方向，在助滑道AB与起跳台D之间用一段弯曲滑道相切衔接，其中最低点C处附近是一段以O
为圆心的圆弧，圆弧轨道半径为R。A与C的竖直高度差为H，弯曲滑道末端即起跳台D与滑道最低点C
的高度差为h，重力加速度为g。不计空气阻力及摩擦，则运动员（ ）A．到达C点时的动能为mgH
B．到达C点对轨道的压力大小为
C．到起跳台D点的速度大小为
D．从C点到D点重力势能增加了mg(H-h)
【答案】AC
【详解】A．由A到C机械能守恒，则到达C点时的动能为E=mgH选项A正确；
k
B．根据 ； 解得 则到达C点对轨道的压力大小为
选项B错误；
C．从A到D由机械能守恒定律 解得到起跳台D点的速度大小为
选项C正确；
D．从C点到D点重力势能增加了mgh，选项D错误。故选AC。
三、三类连接体的机械能守恒问题
1. 轻绳连接的物体系统常见情景
(1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
(2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
三点提醒
(3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系
统，机械能则可能守恒。
【例3】如图所示直角边长为R的光滑等腰直角三角形和半径为R的光滑圆柱的一部分无缝相接，质量分
别为2m和m的物体A和小球B通过一根不可伸长的细线相连，小球B恰好位于桌面上。小球B可视为质
点，若从静止释放小球B，当其运动到圆柱顶点时，则（ ）
A．物体A的速度大小为
B．物体A的速度大小为
C．绳的张力对物体B所做的功为
D．绳的张力对物体B所做的功为 mgR
【答案】BC
【详解】A B．以A、B和绳为研究对象，由机械能守恒得 解得B正确，A错误；
C D．以B为研究对象，根据动能定理得 解得 ，C正确，D错误。故选BC。
2. 轻杆连接的物体系统
常见情景
(1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。
(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守
三大特点 恒。
(3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则
系统机械能守恒。
【例4】如图所示，长直轻杆两端分别固定小球A和B，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为
L。先将杆AB竖直靠放在竖直墙上，轻轻拨动小球B，使小球B在水平面上由静止开始向右滑动，当小球
A沿墙下滑距离为 时，下列说法正确的是（不计一切摩擦，重力加速度为g）（ ）
A．杆对小球A做功为 mgL
B．小球A、B的速度都为
C．小球A、B的速度分别为 和D．杆与小球A、B组成的系统机械能减少了 mgL
【答案】C
【详解】BCD．对A、B组成的系统，整个过程中，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律得
mg· ＝ 又有v cos60°＝v cos30°解得v ＝ ；v ＝ 故C正确，BD错误；
A B A B
A．对A，由动能定理得mg ＋W＝ 解得杆对小球A做的功W＝ －mg· ＝－ mgL
故A错误。故选C。
3. 轻弹簧连接的物体系统
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体
题型特点
的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
(1)对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是压
缩。
两点提醒
(2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。
【例5】如图，光滑水平桌面上，轻弹簧左端固定，右端连接物体A，A和B通过细绳绕过定滑轮连接，已
知A的质量为 ，B的质量为 ，弹簧的劲度系数为k，不计滑轮摩擦，开始时A位于O点，系统处于静
止状态。A在P点时弹簧处于原长，现将A物体由P点静止释放，A物体不会和定滑轮相碰，当B向下运
动到最低点时绳子恰好被拉断且弹簧未超过弹性限度，则（ ）A．释放A物体瞬间，A物体的加速度为零
B．绳子能承受的最大拉力为
C．绳断后，A物体的最大速度是
D．绳断后，弹簧的最大压缩量是
【答案】D
【详解】A．将A、B作为整体，A在P点时弹簧处于原长，根据牛顿第二定律可得
解得释放A物体瞬间，A物体的加速度为 ，A错误；
B．根据对称性，B到达最低点的加速度与初始位置大小相等，因此 解得绳子能承受的最大
拉力为 ，B错误；
D．A处于O位置时，根据平衡条件 物体B下降到最低位置时，根据对称性，弹簧伸长量（压缩量）为2x，可得最大压缩量为 最大弹性势能为 ，D正确；
1
C．绳断后A物体回到位置O时，根据机械能守恒可得 可解得绳断后，A物体的最大速
度为 ，C错误。故选D。
四、非质点类机械能守恒问题
1.物体虽然不能看成质点，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。
2.在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况，将物体分段处理，确定好各部分重心及重心高度的变化
量。
3.非质点类物体各部分是否都在运动，运动的速度大小是否相同，若相同，则物体的动能才可表示为mv2。
【例6】如图所示，有一条长为1 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是
一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则
链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2)( )
A．2.5 m/s
B． m/s
C． m/s
D． m/s【答案】A
【详解】链条的质量为2m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为
E＝E ＋E ＝－ ×2mg· sin θ－ ×2mg· ＋0＝－ mgL(1＋sin θ)链条全部下滑出后，动能为 E ＝
p k k′
×2mv2
重力势能为E ＝－2mg· 由机械能守恒可得E＝E ＋E 即－ mgL(1＋sin θ)＝mv2－mgL
p′ k′ p′
解得 故A符合题意。
【多维度分层专练】
1．如图所示，一轻质弹簧竖直固定在水平地面上，O点为弹簧原长时上端的位置，一个质量为m的物体
从O点正上方的A点由静止释放落到弹簧上，物体压缩弹簧到最低点B后向上运动，不计空气阻力，不计
物体碰撞弹簧动能损失，弹簧一直在弹性限度范围内，重力加速度为g，则以下说法正确的是（ ）
A．物体落到O点后，立即做减速运动
B．物体从O点运动到B点，物体机械能守恒
C．在整个过程中，物体与弹簧组成的系统机械能开始不守恒后来守恒
D．从O点运动到B点的过程中，物体的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大
【答案】D
【详解】A．物体落到O点开始一段时间内，弹簧的弹力小于重力，其合力向下，向下做加速度逐渐减小
的加速运动，运动到某个位置时，合力为零，加速度为零，速度最大，后来弹簧的弹力大于重力，合力方向向上，向下做加速度逐渐增大的减速运动，运动到最低点B时，速度为零，所以速度先增大后减小， A
错误；
B．物体从O点运动到B点的过程中，物体克服弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能增大，物体的机械能减
小，B错误；
C．在整个过程中，只有重力和弹簧弹力做功，物体与弹簧组成的系统机械能守恒，C错误；
D．从O点运动到B点的过程中，根据系统机械能守恒定律可得：重力势能、弹性势能、物体动能之和为
恒量，由于物体的动能先增大后减小，所以物体的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大，D正确。
故选D。
2．如图所示，两个 竖直圆弧轨道固定在同一水平地面上，半径R相同，左侧轨道由金属凹槽制成，右
侧轨道由金属圆管制成，均可视为光滑。在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A和B由静止释放，小球
距离地面的高度分别为h 和h ，下列说法正确的是（ ）
A B
A．若使小球沿轨道运动并且到达最高点，两球释放的最小高度hA<hB
B．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，则在轨道最低点，A球受到的支持力最小值为6mg
C．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，则在轨道最低点，B球受到的支持力最小值为6mg
D．适当调整h 和h ，可使两球从轨道最高点飞出后，均恰好落在轨道右端口处
A B
【答案】B
【详解】A．小球A恰好能到左侧轨道的最高点时，由 解得 根据机械能守恒定律得
解得 小球B恰好能到右侧轨道的最高点时，在最高点的速度 根据机械能守恒定律得 故A错误；
B．小球在最低点受到的支持力与重力的合力提供向心力，则F －mg＝m 可知小球在最低点的速度越小
N
受到的支持力越小，根据机械能守恒定律可得，当小球A开始时的高度是 R时，小球A在最低点的速度
最小，为 联立解得 故B正确；
C．根据机械能守恒定律可得，当小球B开始时的高度是h ＝2R时，小球B在最低点的速度最小，为
B
解得 故C错误；
D．小球A从最高点飞出后下落R高度时，水平位移的最小值为 小球落
在轨道右端口外侧，而适当调整h ，B可以落在轨道右端口处，故D错误。故选B。
B
3．如图所示，物块A和B质量分别为3m和m，用同一根轻质细线将两个物块连接在滑轮组上，滑轮质量
不计，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度为g，现将两物块由静止释放，经过一小段时间，A的位移
为h，则在此过程中（ ）
A．A、B的总重力势能保持不变
B．A的速度为B的两倍C．A的位移为h时，A的速度为
D．细线的拉力大小为
【答案】D
【详解】A．根据系统机械能守恒可知，A、B减小的重力势能全部转化两物体的动能，所以，A和B的重
力势能之和减小，故A错误；
B．根据动滑轮的特点可知A的速度为B的速度的一半，故B错误；
C．根据A和B组成的系统机械能守恒可得 又 解得 故C
错误；
D．根据动滑轮的特点可知，A的加速度为B的加速度的一半，根据牛顿第二定律，对A有
对B有 又因 联立解得，轻绳的拉力大小 ，故D正确。故选D。
4．如图所示，滑块 套在光滑的竖直杆上并通过细绳绕过光滑定滑轮连接物块 ，物块 又与一轻质弹簧
连接在一起，轻质弹簧另一端固定在地面上。开始时用手托住滑块 ，使绳子刚好伸直处于水平位置但无
张力，此时弹簧的压缩量为 现将滑块 从 处由静止释放，经过 处的速度最大，到达 处的速度为零，
此时物块 还没有到达滑轮位置。已知滑轮与杆的水平距离为 间距离为 ，不计滑轮质量、大小
及摩擦。下列说法中正确的是A．滑块 下滑过程中，机械能先增大后减小
B．滑块 经过 处时的加速度不等于零
C．物块 和滑块 的质量之比为
D．若滑块 质量增加一倍，其它条件不变，仍让滑块 由 处从静止滑到 处，滑块 到达 处时，物块
和滑块 的速度之比为
【答案】C
【详解】A．滑块 下滑过程中，绳子拉力一直对滑块 做负功，机械能一直减小，故A错误；
B．滑块 下滑过程中，绳子拉力增大，合力先减小后反向增大，则加速度先减小后反向增大，当滑块 经
过 处时速度最大，其加速度为 ，故B错误；
C．物体 静止时，弹簧压缩量为 当 下滑到 点时，物体 上升的高度为
则当物体 到达 时弹簧伸长的长度为 ，此时弹簧的弹性势能等于物体 静止时的弹性势能。对于 与
及弹簧组成的系统，由机械能守恒定律应有 解得 故C正确。D．根据物体 和 沿绳子方向的分速度大小相等，则得 其中 则得滑块 到达 处
时，物块 和滑块 的速度之比 故D错误。故选C。
5．如图所示，光滑细杆AB倾斜固定，与水平方向夹角为45°，一轻质弹簧的一端固定在O点，另一端连
接质量为m的小球，小球套在细杆上，O与细杆上A点等高，O与细杆AB在同一竖直平面内，OB竖直，
OP垂直于AB，且OP＝L，当小球位于细杆上A、P两点时，弹簧弹力大小相等。现将小球从细杆上的A
点由静止释放，在小球沿细杆由A点运动到B点的过程中（已知重力加速度为g，弹簧一直处于弹性限度
内且不弯曲），下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的弹性势能先减小后增大
B．小球加速度大小等于 g且方向沿杆向下的位置有两个
C．小球运动到B点时的动能为 mgL
D．小球从A点运动到P点，机械能减少了 mgL
【答案】C
【详解】A．由于小球在A、P两点时，弹簧弹力大小相同，则弹簧在OA处被拉伸，在OP处被压缩，且
拉伸量与压缩量相等，则在AP之间必有一个弹簧处于原长状态的位置，由对称性原理可知，在PB之间也
必有一个弹簧处于原长状态的位置。小球在A、P、B三个位置时弹簧的弹性势能相等。在A到P的过程中，
弹簧的弹性势能先减小后增大，在P到B的过程中，弹簧的弹性势能也是先减小后增大，A错误；B．弹簧处于两个原长状态和小球在P点位置，小球加速度大小等于 且方向沿杆向下，B错误；
C．小球从A点运动到B点过程中，由机械能守恒定律可得E＋mg·2Lsin 45°＝E＋E 解得E ＝ mgL
p p kB kB
C正确；
D．A、P两点弹簧的弹性势能相等，因而小球在A、P两点的机械能相等，D错误。故选C。
6．如图，在竖直平面内有光滑轨道ABCD，AB、CD段是竖直轨道，BC段是半径为R的半圆弧轨道，B、
C均与圆心等高，两个质量均为M的相同小球P、Q（可视为质点）用一根长为3R的轻杆连接在一起，套
在AB段轨道上，则从Q球在B点处由静止释放到两球再次上升到最高点过程中，下列说法正确的是（
）
A．整个过程中两球与轻杆组成的系统机械能守恒
B．两球再次上升到最高点时，Q球可能位于C处
C．当小球Q位于半圆弧轨道最低点时，小球Q的速度是小球P速度的2 倍
D．当小球P下降的速度为零时，连接小球P、Q的轻杆与AB成30°角
【答案】ACD
【详解】A．因为整个过程中只有重力对两小球组成的系统做功，系统机械能守恒，A正确；
B．由几何关系可知，若Q球位于C处，则P球位于释放点下方，由机械能守恒定律知此时系统的动能不
为零，故C不可能为两球再次上升到最高点时Q球的位置，B错误；C．如图1，当小球Q位于半圆弧轨道最低点时，小球P和Q的速度在杆上的投影相等，即v cos θ=v sin θ
P Q
解得 =2 ，C正确；
D．当小球P下降的速度为零时，Q球的速度在杆上的投影为零，则速度与杆垂直，又速度与半径垂直，
所以轻杆一定过半圆弧的圆心，如图2，由几何关系可知连接小球P、Q的轻杆与AB成30°角，D正确。
故选ACD。
7．如图所示，半径分别为R和 的两光滑圆轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平
轨道CD相连，在水平轨道CD上一轻弹簧被a、b两小球夹住，同时释放两小球，a、b球都恰好能通过各
自圆轨道的最高点，已知a球的质量为m。则（ ）
A．b球的质量
B．两小球与弹簧分离时，动能相等C．a球到达圆心等高处时，对轨道压力为
D．若 ，要求a、b都能通过各自圆轨道的最高点，弹簧释放前至少应具有的弹性势能为
【答案】AD
【详解】A．设小球离开弹簧后的速度大小为 ， 球恰好能通过圆轨道的最高点，设在最高点速度为 ，
则有 解得 选取最低点所在的水平面为零势能面，根据机械能守恒定律得
解得 同理可得b球离开弹簧后的速度大小为 取向左为正方向，根
据动量守恒定律得 可得 故A正确；
B．两小球与弹簧分离时，动量大小相等，根据动能与动量关系 可知，动能不相等，故B错误；
C．a球到达圆心等高处时，速度为 ，由动能定理可得 轨道对a球的支持力为F，由
牛顿第二定律有 联立解得 由牛顿第三定律可知，a小球对轨道压力为 ，所以C错误；
D．若 ，取向左为正方向，由动量守恒定理有 则分离时两小球速度相等，若要求
a、b都能通过各自的最高点，只需要a球能够通过，b球也能通过，由前面分析可知，a刚好通过最高点
时，分离时速度为 则弹簧释放前至少应具有的弹性势能为 故D正确。故选
AD。
8．如图所示，光滑斜面倾角θ＝60°，其底端与竖直平面内半径R的光滑圆弧轨道平滑对接，位置D为圆弧轨道的最低点。两个质量均为m的小球A和小环B（均可视为质点）用L＝1.5R的轻杆通过轻质铰链相
连。B套在固定竖直光滑的长杆上，杆和圆轨道在同一竖直平面内，杆过轨道圆心，初始轻杆与斜面垂直。
在斜面上由静止释放A，假设在运动过程中两杆不会碰撞，小球通过轨道连接处时无能量损失（速度大小
不变），重力加速度为g，下列判断正确的是（ ）
A．小球A由静止释放运动到最低点时，机械能一直减小
B．小球A运动到最低点时的速度大小为
C．刚释放时，小球A的加速度大小为
D．已知小球A运动到最低点时，小环B的瞬时加速度大小为a，则此时小球A受到圆弧轨道的支持力大小
为
【答案】BD
【详解】A．小球A由静止释放运动到最低点时，速度水平，竖直分速度为0，而B的机械能减小，则A的
机械能增加，A错误；
B．小球A初始位置距水平面高度设为 ，由几何关系得 解得
小球B初始位置距水平面高度设为 ，由几何关系得 解得 由系统机械能守恒解得 ，B正确；
C．由牛顿第二定律得 得 ，C错误；
D．以小环B为研究对象，由牛顿第二定律得 以小球A为研究对象，由牛顿第二定律得
得 ，D正确。故选BD。
9．如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，管中液柱总长度为4h，开始时使两边液面
高度差为h，后来让液体自由流动（不计空气阻力和液体与容器之间的阻力），当两液面高度相等时，右
侧液面下降的速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设管子的横截面积为 ，液体的密度为 ，打开阀门后，液体开始运动，不计液体产生的摩擦阻
力，液体机械能守恒，液体减少的重力势能转化为动能，两边液面高度相等时，相当于右管 高的液体
移到左管中，且重心下降了 ，根据机械能守恒定律有 解得 故BCD错误A正确。故选A。
10．如图所示，光滑长铁链由若干节组成，每一节长度为l，全长为L，在水平轨道上以某一速度运动．
0
圆形管状轨道与水平轨道相切，半径为R，L>2πR，R远大于一节铁链的高度和长度．铁链靠惯性通过圆形
管状轨道继续前进，下列判断正确的是（ ）
A．每节铁链通过最高点的速度依次减小
B．第一节与最后一节到达最高点的速度大小相等
C．在第一节完成圆周运动的过程中，第一节铁链机械能守恒
D．铁链全部通过圆形管状轨道的过程中，铁链的最小速度为
【答案】B
【详解】AC．整条长铁链机械能守恒，当长铁链布满圆形管状轨道时，重力势能最大，速度最小，从此时
到最后一节铁链进入轨道之前，重力势能不变，每节铁链通过最高点的速度不变，故A错误，C错误；
B．第一节与最后一节铁链到达最高点时整条长铁链的重力势能相等，机械能守恒，则速度大小相等，故B
正确；
D．整条长铁链机械能守恒，当长铁链布满圆形管状轨道时，重力势能最大，速度最小，但是不知道铁链
的初速度，无法计算出铁链的最小速度，故D错误．
